導来関手のソースを表示

数学では、一部の関手から'''導来''' (どうらい、{{lang-en|derived}}) することにより、元の関手と密接に関連した新しい[[関手]]を得ることができる。導来という操作は、抽象的ではあるが、数学全体を通して多くの構成を統一する。
<!--== derived functor ==
In [[mathematics]], certain [[functor]]s may be ''derived'' to obtain other functors closely related to the original ones. This operation, while fairly abstract, unifies a number of constructions throughout mathematics. -->

== 動機 ==

さまざまな状況で[[完全系列#短完全列|短完全系列]]が[[完全系列#長完全列|長完全系列]]に持ち上がることが分かっている。導来関手の概念はこれらの結果の多くを明確に根拠づけることができる。
<!--== Motivation ==

It was noted in various quite different settings that a [[short exact sequence]] often gives rise to a "long exact sequence". The concept of derived functors explains and clarifies many of these observations.-->

2つの[[アーベル圏]] '''A''' と '''B''' の間の共変な[[完全関手|左完全関手]] ''F'' : '''A''' → '''B''' が与えられ、0 → ''A'' → ''B'' → ''C'' → 0 を '''A''' の短完全系列とすると、''F'' を適用することで完全系列 0 → ''F''(''A'') → ''F''(''B'') → ''F''(''C'') が得られる。この系列をどのように右へ拡張し長完全系列とするかが問題になるが、与えられた短完全系列を右へ拡張する方法には多数の異なる方法があるので、厳密には、この問は適切とは言えない。しかし、'''A''' が充分に「良い」性質を持っている場合は、''F'' の右導来関手による標準形がひとつ存在する。全ての ''i'' ≥ 1 に対して、関手 ''R<sup>i</sup>F'': '''A''' → '''B''' が存在して、上記の短完全系列は次のように右へと拡張される。

:<math>\begin{align}0 & \rightarrow & F(A) & \rightarrow & F(B) & \rightarrow & F(C) & \\
& \rightarrow & R^1F(A) & \rightarrow & R^1F(B) & \rightarrow & R^1F(C) & \\
& \rightarrow & R^2F(A) & \rightarrow & R^2F(B) & \rightarrow & R^2F(C) & \ \ \rightarrow \dots\ .\end{align}</math>

このことから、''F'' が完全関手であることと、''R''<sup>1</sup>''F'' = 0 であることとは同値であるので、''F'' の右導来関手は ''F'' がその程度完全から乖離しているかの目安であることが分かる。

短完全系列の中の対象 ''A'' が[[単射対象]] (injective object) であれば、系列は[[分裂補題|分裂]]する（分裂補題）。任意の加法関手を分裂する系列へ適用すると、結果も分裂系列になり、特に、''R''<sup>1</sup>''F''(''A'') = 0 である。右導来関手は単射対象では 0 である。このことが以下の構成の動機である。
<!--Suppose we are given a covariant [[left exact functor]] ''F'' : '''A''' → '''B''' between two [[abelian category|abelian categories]] '''A''' and '''B'''. If  0 → ''A'' → ''B'' → ''C'' → 0 is a short exact sequence in '''A''', then applying ''F'' yields the exact sequence 0 → ''F''(''A'') → ''F''(''B'') → ''F''(''C'') and one could ask how to continue this sequence to the right to form a long exact sequence. Strictly speaking, this question is ill-posed, since there are always numerous different ways to continue a given exact sequence to the right. But it turns out that (if '''A''' is "nice" enough) there is one [[canonical form|canonical]] way of doing so, given by the right derived functors of ''F''. For every ''i''≥1, there is a functor ''R<sup>i</sup>F'': '''A''' → '''B''', and the above sequence continues like so: 0 → ''F''(''A'') → ''F''(''B'') → ''F''(''C'') → ''R''<sup>1</sup>''F''(''A'') → ''R''<sup>1</sup>''F''(''B'') → ''R''<sup>1</sup>''F''(''C'') → ''R''<sup>2</sup>''F''(''A'') → ''R''<sup>2</sup>''F''(''B'') → ... . From this we see that ''F'' is an exact functor if and only if ''R''<sup>1</sup>''F'' = 0; so in a sense the right derived functors of ''F'' measure "how far" ''F'' is from being exact.

If the object ''A'' in the above short exact sequence is [[injective object|injective]], then the sequence [[Splitting lemma|splits]]. Applying any additive functor to a split sequence results in a split sequence, so in particular ''R''<sup>1</sup>''F''(''A'') = 0. Right derived functors are zero on injectives: this is the motivation for the construction given below.-->

== 構成と最初の性質 ==

アーベル圏 '''A''' を考える上での重要な仮定は、圏 '''A''' が'''充分単射的'''であることである。この充分単射的とは、'''A''' の全ての対象 ''A'' に対し、'''A''' の[[単射対象]] (injective object) であるような ''I'' が存在して、[[モノ射]] ''A'' → ''I'' が存在することである。

共変的な左完全関手 ''F'' : '''A''' → '''B''' の右導来関手は、次の様に定義される。'''A''' の対象 ''X'' より始めると、充分な単射対象を使って、次の形の長完全系列を構成することができる。
:<math>0\to X\to I^0\to I^1\to I^2\to\cdots</math>
ここに ''I''<sup>&nbsp;''i''</sup> は全て単射的な対象である（これは ''X'' の'''単射分解'''として知られている）。関手 ''F'' をこの完全系列へ適用し、第一項を落とすと、[[鎖複体]]
:<math>0\to F(I^0)\to F(I^1) \to F(I^2) \to\cdots</math>
を得る。
<!--== Construction and first properties ==

The crucial assumption we need to make about our abelian category '''A''' is that it has ''enough injectives'', meaning that for every object ''A'' in '''A''' there exists a [[monomorphism]] ''A'' → ''I'' where ''I'' is an [[injective object]] in '''A'''.

The right derived functors of the covariant left-exact functor ''F'' : '''A''' → '''B''' are then defined as follows. Start with an object ''X'' of '''A'''. Because there are enough injectives, we can construct a long exact sequence of the form
:<math>0\to X\to I^0\to I^1\to I^2\to\cdots</math>
where the ''I''<sup>&nbsp;''i''</sup> are all injective (this is known as an ''injective resolution'' of ''X''). Applying the functor ''F'' to this sequence, and chopping off the first term, we obtain the [[chain complex]]

:<math>0\to F(I^0)\to F(I^1) \to F(I^2) \to\cdots</math>-->

注意：一般にはこれはもはや完全系列ではない。しかし、''i'' 次の[[ホモロジー (数学)|ホモロジー]] (''F''(''I''<sup>''i''</sup>) からの射の核を、''F''(''I''<sup>''i''</sup>) への射の像で割ったもの）を計算することができる。この結果を ''R<sup>i</sup>F''(''X'') と呼ぶ。もちろん、多くのことを検証する必要がある。つまり、最終的な結果は与えられた ''X'' の単射分解に依存せず、射 ''X'' → ''Y'' は自然に射 ''R<sup>i</sup>F''(''X'') → ''R<sup>i</sup>F''(''Y'') を誘導するので、実際に関手となっている。左完全性は、
:<math>0 \rightarrow F(X) \rightarrow F(I^0) \rightarrow F(I^1)</math>
が完全であることを意味するので、<math>R^0F(X) = F(X)</math> であり、<math>i > 0</math> に対しのみ、興味深い何かを得ることができる。

（テクニカルには、''F'' の well-defined な導出のためには、'''A'''の全対象に対し単射分解を固定する必要がある。この単射分解の選択は、関手 ''R<sup>i</sup>F'' をもたらす。異なった分解を選択しても、[[自然変換|自然に同型]]な関手となり、結局、選択は問題でない。）
<!--Note: this is in general ''not'' an exact sequence anymore. But we can compute its [[homology (mathematics)|homology]] at the ''i''-th spot (the kernel of the map from ''F''(''I''<sup>''i''</sup>) modulo the image of the map to ''F''(''I''<sup>''i''</sup>)); we call the result ''R<sup>i</sup>F''(''X''). Of course, various things have to be checked: the end result does not depend on the given injective resolution of ''X'', and any morphism ''X'' → ''Y'' naturally yields a morphism ''R<sup>i</sup>F''(''X'') → ''R<sup>i</sup>F''(''Y''), so that we indeed obtain a functor. Note that left exactness means that
0 →''F''(''X'') → ''F''(''I''<sup>0</sup>) → ''F''(''I''<sup>1</sup>)
is exact, so ''R''<sup>0</sup>''F''(''X'') = ''F''(''X''), so we only get something interesting for ''i''>0.

(Technically, to produce well-defined derivatives of ''F'', we would have to fix an injective resolution for every object of '''A'''. This choice of injective resolutions then yields functors ''R<sup>i</sup>F''. Different choices of resolutions yield [[naturally isomorphic]] functors, so in the end the choice doesn't really matter.)-->

上に述べた短完全系列から長完全系列へ変換する性質は、[[蛇の補題]]の結果である。このことは、導来関手の集まりは{{仮リンク|デルタ関手|label=δ-関手|en|Delta-functor}} (Delta-functor) であることを教えてくれる。

''X'' 自身を単射的とすると、単射分解 0 → ''X'' → ''X'' → 0 を選ぶことができ、全ての ''i'' ≥ 1 に対し、''R<sup>i</sup>F''(''X'') = 0 を得る。実用では、この事実は、長完全系列の性質と組合わせて、右導来関手の値の計算に良く使われる。

''R<sup>i</sup>F''(''X'') の計算には同値な別の方法もある。''X'' の単射分解を上記のように取り、''K<sup>i</sup>'' を射 ''I''<sup>''i''-1</sup> → ''I<sup>i</sup>'' の像とする（''i'' = 0 に対し、''I''<sup>''i''-1</sup> = 0 と定義する）と、これは ''I<sup>i</sup>'' → ''I''<sup>''i''+1</sup> の核と同じになる。φ<sub>''i''</sub>&nbsp;:&nbsp;''I''<sup>''i''-1</sup> → ''K''<sup>''i''</sup> を対応するエピ射とすると、''R<sup>i</sup>F''(''X'') は ''F''(φ<sub>''i''</sub>) の余核となる。
<!--The above-mentioned property of turning short exact sequences into long exact sequences is a consequence of the [[snake lemma]]. This tell us that the collection of derived functors is a [[Delta-functor|δ-functor]].

If ''X'' is itself injective, then we can choose the injective resolution 0 → ''X'' → ''X'' → 0, and we obtain that ''R<sup>i</sup>F''(''X'') = 0 for all ''i'' ≥ 1. In practice, this fact, together with the long exact sequence property, is often used to compute the values of right derived functors.

An equivalent way to compute ''R<sup>i</sup>F''(''X'') is the following: take an injective resolution of ''X'' as above, and  let ''K''<sup>''i''</sup> be the image of the map ''I''<sup>''i''-1</sup>→''I<sup>i</sup>'' (for ''i''=0, define ''I''<sup>''i''-1</sup>=0), which is the same as the kernel of ''I''<sup>''i''</sup>→''I''<sup>''i''+1</sup>. Let φ<sub>''i''</sub>&nbsp;:&nbsp;''I''<sup>''i''-1</sup>→''K''<sup>''i''</sup> be the corresponding surjective map. Then ''R<sup>i</sup>F''(''X'') is the cokernel of ''F''(φ<sub>''i''</sub>).-->

== 変形 ==

共変な'''右完全関手''' ''G'' と圏 '''A''' が充分に射影的（つまり、'''A''' の対象 ''A'' に対し、[[射影加群|射影的対象]] ''P'' とエピ射 ''P'' → ''A'' が存在する）とすると、右導来関手と同様に左導来関手 ''L<sub>i</sub>G'' を定義することができる。'''A''' の対象 ''X'' に対し、まず、次の形の射影的分解を構成する。
:<math>\cdots\to P_2\to P_1\to P_0 \to X \to 0</math>
ここに、各 ''P<sub>i</sub>'' は射影的対象である。''G'' をこの系列に適用し、最後の項を落としホモロジーを計算し、''L<sub>i</sub>G''(''X'') を得る。前と同様に、''L''<sub>0</sub>''G''(''X'') = ''G''(''X'') となる。
<!--== Variations ==

If one starts with a covariant ''right-exact'' functor ''G'', and the category '''A''' has enough projectives (i.e. for every object ''A'' of '''A''' there exists an epimorphism ''P'' → ''A'' where ''P'' is a [[projective module|projective object]]), then one can define analogously the left-derived functors ''L<sub>i</sub>G''. For an object ''X'' of '''A''' we first construct a projective resolution of the form
:<math>\cdots\to P_2\to P_1\to P_0 \to X \to 0</math>
where the ''P''<sub>''i''</sub> are projective. We apply ''G'' to this sequence, chop off the last term, and compute homology to get ''L<sub>i</sub>G''(''X''). As before, ''L''<sub>0</sub>''G''(''X'') = ''G''(''X'').-->

この場合には、長完全系列は右ではなくて'''左側'''へ拡張され、
:<math>0\to A \to B \to C \to 0</math>
が、
:<math>\cdots\to L_2G(C) \to L_1G(A) \to L_1G(B)\to L_1G(C)\to G(A)\to G(B)\to G(C)\to 0</math>
となる。

左導来関手は全ての射影的対象上で 0 である。

また、'''反変''' (contravariant) 左完全関手 ''F'' から始めることもでき、このとき右導来関手はまた反変である。短完全系列

:<math>0\to A \to B \to C \to 0</math>

から長完全系列

:<math>\begin{align}0 & \rightarrow & F(A) & \rightarrow & F(B) & \rightarrow & F(C) & \\
& \rightarrow & R^1F(A) & \rightarrow & R^1F(B) & \rightarrow & R^1F(C) & \\
& \rightarrow & R^2F(A) & \rightarrow & R^2F(B) & \rightarrow & R^2F(C) & \ \ \rightarrow \dots\ .\end{align}</math>

が得られる。

これらの右導来関手は射影的対象上では 0 であるので、射影的分解を通して計算される。
<!--In this case, the long exact sequence will grow "to the left" rather than to the right:
:<math>0\to A \to B \to C \to 0</math>
is turned into 
:<math>\cdots\to L_2G(C) \to L_1G(A) \to L_1G(B)\to L_1G(C)\to G(A)\to G(B)\to G(C)\to 0</math>.

Left derived functors are zero on all projective objects.

One may also start with a ''contravariant'' left-exact functor ''F''; the resulting right-derived functors are then also contravariant. The short exact sequence

:<math>0\to A \to B \to C \to 0</math>

is turned into the long exact sequence

:<math>0\to F(C)\to F(B)\to F(A)\to R^1F(C) \to R^1F(B) \to R^1F(A)\to R^2F(C)\to \cdots</math>

These right derived functors are zero on projectives and are therefore computed via projective resolutions.-->

== 応用 ==

'''[[層コホモロジー]]'''： ''X'' を[[位相空間]]とすると、''X'' 上の全ての[[アーベル群]]の[[層 (数学)|層]]の圏は、充分な単射的対象を持つアーベル圏である。そのような層 ''L'' に大域切断の群 ''L''(''X'') を対応させる関手は左完全であり、右導来関手は[[層コホモロジー]]関手であり、通常、''H''<sup>&nbsp;''i''</sup>(''X'', ''L'') と書かれる。少し一般化し、(''X'', ''O<sub>X</sub>'') を[[環付き空間]]とすると、''O<sub>X</sub>''-加群の全ての層の圏は充分単射的な加群を持つアーベル圏であり、再度、大域切断関手の右導来関手として層コホモロジーを構成することができる。

'''[[エタール・コホモロジー]]'''は、スキーム上のコホモロジー論である。これは[[エタール景]]上のアーベル群の層の大域切断関手の右導来関手である。

'''[[Ext関手]]'''： ''R'' が[[環 (数学)|環]]であれば、全ての左 [[環上の加群|''R''-加群]]の圏は、充分に単射的な対象をもったアーベル圏である。左 ''R''-加群 ''A'' を固定すれば、[[Hom関手]] Hom(''A'', -) は左完全で、その右導来関手はExt関手 Ext<sub>''R''</sub><sup>''i''</sup>(''A'', -) である。
<!--== Applications ==

'''Sheaf cohomology.''' If ''X'' is a [[topological space]], then the category of all [[sheaf (mathematics)|sheaves]] of [[abelian group]]s on ''X'' is an abelian category with enough injectives. The functor which assigns to each such sheaf ''L'' the group ''L''(''X'') of global sections is left exact, and the right derived functors are the [[sheaf cohomology]] functors, usually written as ''H''<sup>&nbsp;''i''</sup>(''X'',''L''). Slightly more generally: if (''X'', O<sub>''X''</sub>) is a [[ringed space]], then the category of all sheaves of O<sub>''X''</sub>-modules is an abelian category with enough injectives, and we can again construct sheaf cohomology as the right derived functors of the global section functor.

'''[[Étale cohomology]]''' is another cohomology theory for sheaves over a scheme. It is the right derived functor of the global sections of abelian sheaves on the étale site.

'''Ext functors.''' If ''R'' is a [[ring (mathematics)|ring]], then the category of all left [[module (mathematics)|''R''-modules]] is an abelian category with enough injectives. If ''A'' is a fixed left ''R''-module, then the functor Hom(''A'',-) is left exact, and its right derived functors are the [[Ext functor]]s Ext<sub>''R''</sub><sup>''i''</sup>(''A'',-).-->

'''[[Tor関手]]'''： 左 ''R''-加群の圏も充分な射影的対象を持っている。''A'' が固定された右 ''R''-加群であれば、''A'' との[[加群のテンソル積|テンソル積]]は左 ''R''-加群上の右完全な共変関手を与え、その左導来関手はTor関手 Tor{{SubSup||''i''|''R''}}(''A'', -) を与える。

'''[[群コホモロジー]]''' (Group cohomology)： ''G'' を[[群 (数学)|群]]とすると、[[群上の加群|''G''-加群]] ''M'' は、自己同型群として ''G'' が[[群作用|作用]]する[[アーベル群]] ''M'' である。この ''M'' は[[群環]] '''Z'''''G'' 上の[[加群]]と同一である。''G''-加群は、充分な単射対象を持つアーベル圏を形成する。''G'' が固定する ''M'' の元の全てから構成される ''M'' の部分群を ''M<sup>G</sup>'' と書く。これは左完全関手であり、この右導来関手は群コホモロジー関手でもあり、一般的には、''H''<sup>&nbsp;''i''</sup>(''G'',&nbsp;''M'') と書かれる。
<!--'''Tor functors.''' The category of left ''R''-modules also has enough projectives. If ''A'' is a fixed right ''R''-module, then the [[tensor product]] with ''A'' gives a right exact covariant functor on the category of left ''R''-modules; its left derivatives are the [[Tor functor]]s Tor<sup>''R''</sup><sub>''i''</sub>(''A'',-).

'''Group cohomology.''' Let ''G'' be a [[group (mathematics)|group]]. A [[G-module|''G''-module]] ''M'' is an [[abelian group]] ''M'' together with a [[group action]] of ''G'' on ''M'' as a group of automorphisms. This is the same as a [[module (mathematics)|module]] over the [[group ring]] '''Z'''''G''. The ''G''-modules form an abelian category with enough injectives. We write ''M''<sup>''G''</sup> for the subgroup of ''M'' consisting of all elements of ''M'' that are held fixed by ''G''. This is a left-exact functor, and its right derived functors are the [[group cohomology]] functors, typically written as H<sup>&nbsp;''i''</sup>(''G'',''M'').-->

== 自然性 ==

導来関手と長完全系列は、いくつかのテクニカルな意味で「自然」である。

第一に、 

:<math>\begin{array}{ccccccccc} 0&\xrightarrow{}&A_1&\xrightarrow{f_1}&B_1&\xrightarrow{g_1}&C_1&\xrightarrow{}&0\\ &&\alpha\downarrow\quad&&\beta\downarrow\quad&&\gamma\downarrow\quad&&\\ 0&\xrightarrow{}&A_2&\xrightarrow{f_2}&B_2&\xrightarrow{g_2}&C_2&\xrightarrow{}&0 \end{array}</math>

（この図の行は完全）の形の[[可換図式]]が与えられると、結果として得られる長完全系列は、次の可換図式により関係付けられる。

[[Image:two long exact sequences.png]]

第二に、η: ''F'' → ''G'' を左完全関手 ''F'' から左完全関手 ''G'' への[[自然変換]]とすると、自然変換 ''R<sup>i</sup>''η: ''R<sup>i</sup>F'' → ''R<sup>i</sup>G'' が引き起こされ、実際、引き起こされた ''R<sup>i</sup>'' は '''A''' から '''B''' へのすべての左完全関手からなる[[関手圏]] (functor category) から、'''A''' から '''B''' へのすべての関手の関手圏への関手となる。さらに、この関手は、次の意味で長完全系列と整合性をもっている。
:<math>0\ \ \xrightarrow{}\ \ A\ \ \xrightarrow{f}\ \ B\ \ \xrightarrow{g}\ \ C\ \ \xrightarrow{}\ \  0</math>
が短完全系列であれば、可換図形

[[Image:two long exact sequences2.png]]

が引き起こされる。

これらの自然性は両方とも、[[蛇の補題]]によりもたらされる系列の自然性から来る。

逆に、次の導来関手の特徴づけが成り立つ。'''A''' のすべての単射的対象 ''I'' とすべての正の整数 ''i'' に対して ''R<sup>i</sup>''&thinsp;(''I'') = 0 が成り立つような、上記を満たす関手の族 ''R<sup>i</sup>'': '''A''' → '''B'''、つまり、短完全系列を長完全系列へ写すものが与えられると、それらの関手は ''R''<sup>0</sup> の右導来関手である。
<!--== Naturality ==

Derived functors and the long exact sequences are "natural" in several technical senses.

First, given a [[commutative diagram]] of the form

<math>\begin{array}{ccccccccc} 0&\xrightarrow{}&A_1&\xrightarrow{f_1}&B_1&\xrightarrow{g_1}&C_1&\xrightarrow{}&0\\ &&\alpha\downarrow\quad&&\beta\downarrow\quad&&\gamma\downarrow\quad&&\\ 0&\xrightarrow{}&A_2&\xrightarrow{f_2}&B_2&\xrightarrow{g_2}&C_2&\xrightarrow{}&0 \end{array}</math>

(where the rows are exact), the two resulting long exact sequences are related by commuting squares:

[[Image:two long exact sequences.png]]

Second, suppose η : ''F'' → ''G'' is a [[natural transformation]] from the left exact functor ''F'' to the left exact functor ''G''. Then natural transformations ''R<sup>i</sup>''η : ''R<sup>i</sup>F'' → ''R<sup>i</sup>G'' are induced, and indeed ''R<sup>i</sup>'' becomes a functor from the [[functor category]] of all left exact functors from '''A''' to '''B''' to the full functor category of all functors from '''A''' to '''B'''. Furthermore, this functor is compatible with the long exact sequences in the following sense: if
:<math>0\xrightarrow{}A\xrightarrow{f}B\xrightarrow{g}C\xrightarrow{} 0</math>
is a short exact sequence, then a commutative diagram

[[Image:two long exact sequences2.png]]

is induced.

Both of these naturalities follow from the naturality of the sequence provided by the [[snake lemma]].

Conversely, the following characterization of derived functors holds: given a family of functors ''R''<sup>''i''</sup>: '''A''' → '''B''', satisfying the above, i.e. mapping short exact sequences to long exact sequences, such that for every injective object ''I'' of '''A''', ''R''<sup>''i''</sup>(''I'')=0 for every positive ''i'', then these functors are the right derived functors of ''R''<sup>0</sup>.-->

== 一般化 ==

より現代的な（より一般的な）導来関手のアプローチは[[導来圏]]のことばで扱われる。
<!--== Generalization ==

The more modern (and more general) approach to derived functors uses the language of [[derived category|derived categories]].-->

== 文献 ==
* {{Citation | last1=Manin | first1=Yuri Ivanovich | author1-link= Yuri Ivanovich Manin | last2=Gelfand | first2=Sergei I. | title=Methods of Homological Algebra | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-3-540-43583-9 | year=2003}}
* {{Weibel IHA}}

{{圏論}}
{{Functors}}

{{DEFAULTSORT:とうらいかんしゆ}}
{{Normdaten}}
[[Category:ホモロジー代数]]
[[Category:関手]]
[[Category:数学に関する記事]]