小平次元のソースを表示

{{要改訳}}
[[代数幾何学]]では、'''小平次元''' (Kodaira dimension)（'''標準次元''' (canonical dimension) とも呼ばれる） κ(''X'') で[[射影多様体]] ''X'' の[[標準環|標準モデル]] (canonical model) の大きさを測る。

{{仮リンク|イーゴル・シャファレビッチ|en|Igor Shafarevich}}は、セミナー [[#refShafarevich1965|Shafarevich 1965]] で、代数曲面のある数値的不変量を記号 κ として導入した。[[飯高茂]](Shigeru Iitaka) は、{{harvtxt|Iitaka|1970}}で、この数値的不変量を拡張し、高次元の多様体の小平次元を定義した（このときは標準次元の名称）。後日 {{harvtxt|Iitaka|1971}} で、[[小平邦彦]]の名前にちなんで「小平次元」とした。
<!---In [[algebraic geometry]], the '''Kodaira dimension''' κ(''X'') (or '''canonical dimension''') measures the size of the [[canonical ring|canonical model]] of a [[projective variety]] ''X''.

[[Igor Shafarevich]] introduced an important numerical invariant of surfaces with the notation κ in the seminar [[#refShafarevich1965|Shafarevich 1965]]. In {{harvs|txt|first=Shigeru|last=Iitaka|year=1970|authorlink=Shigeru Iitaka}} [[Shigeru Iitaka]] extended it and defined the Kodaira dimension for higher dimensional varieties (under the name of canonical dimension), and later named it after [[Kunihiko Kodaira]] in {{harvtxt|Iitaka|1971}}.-->

==多重種数==
ある体の上の次元 ''n'' の{{仮リンク|滑らかなスキーム|label=滑らかな|en|smooth scheme}} (smooth) [[代数多様体]] ''X'' の[[標準バンドル]]は、次の ''n''-形式の[[ラインバンドル]]である。''X'' の[[余接バンドル]]の ''n'' 次の[[外冪]]である。
:<math>\,\!K_X = \bigwedge^n\Omega^1_X</math>
のことを'''標準バンドル'''と言う。整数 ''d'' に対し、''K<sub>X</sub>'' の ''d'' 次テンソル積は、再び、ラインバンドルとなる。''d'' ≥ 0 に対し、[[層 (数学)#大域切断|大域切断]] ''H''<sup>0</sup>(''X'',&nbsp;''K<sub>X</sub><sup>d</sup>'') のベクトル空間は、滑らかな射影多様体 ''X'' の[[双有理不変量]]であるという注目すべき性質を持っている。すなわち、より低い次元の部分集合を除き、''X'' に同型な任意の滑らかな射影多様体のなす空間と、大域切断のなすベクトル空間は標準的に同一視できる．
<!---
The [[canonical bundle]] of a [[smooth scheme|smooth]] [[algebraic variety]] ''X'' of dimension ''n'' over a field is the [[line bundle]] of ''n''-forms,
 		 	
:<math>\,\!K_X = \bigwedge^n\Omega^1_X,</math>

which is the ''n''th [[exterior power]] of the [[cotangent bundle]] of ''X''.
For an integer ''d'', the ''d''th tensor power of ''K<sub>X</sub>'' is again a line bundle.-->

''d'' ≥ 0 に対し、''X'' の ''d'' 番目の '''多重種数(plurigenus)''' は、''K<sub>X</sub><sup>d</sup>'' の大域切断のベクトル空間の次元として定義される。つまり、
:<math>P_d = h^0(X, K_X^d) = \operatorname{dim}\ H^0(X, K_X^d)</math>

である。
<!---For ''d ≥ 0'', the vector space of global sections ''H<sup>0</sup>(X,K<sub>X</sub><sup>d</sup>)'' has the remarkable property that it is a [[birational geometry|birational]] invariant of smooth projective varieties ''X''. That is, this vector space is canonically identified with the corresponding space for any smooth projective variety which is isomorphic to ''X'' outside lower-dimensional subsets.-->

多重種数は代数多様体の重要な双有理不変量であり、特に、多様体が有理的でないこと（つまり、射影空間に双有理的でないこと）を証明する最も簡単な方法は、''d'' > 0 なるある多重種数 ''P<sub>d</sub>'' がゼロではないことを示すことである。もし、''K<sub>X</sub><sup>d</sup>'' の切断の空間がゼロでないならば、''X'' から射影空間への自然な有理写像が存在して、
:<math>\mathbf{P}(H^0(X, K_X^d)) = \mathbf{P}^{P_d - 1}</math>,

となり、これを ''d''-'''標準写像'''と言う。多様体 ''X'' の[[標準環]] ''R''(''K<sub>X</sub>'') は次数付き環で
:<math> R(K_X) :=\bigoplus_{d\geq 0} H^0(X,K_X^d) </math>

である。
<!---The plurigenera are important birational invariants of an algebraic variety. In particular, the simplest way to prove that a variety is not rational (that is, not birational to projective space) is to show that some plurigenus ''P<sub>d</sub>'' with ''d > 0''
is not zero. If the space of sections of ''K<sub>X</sub><sup>d</sup>'' is nonzero, then there is a natural rational map from ''X'' to the projective space

:�5�,

called the ''d''-'''canonical map'''. The [[canonical ring]] ''R(K<sub>X</sub>)'' of a variety ''X'' is the graded ring
:<math> R(K_X) :=\bigoplus_{d\geq 0} H^0(X,K_X^d). </math>-->

脚注の算術種数<ref>''n'' 次元の複素射影多様体の'''算術種数'''は、[[ホッジ数]]の線型結合で定義することができる。すなわち、
:''p<sub>a</sub>'' = ''h''<sup>''n'',0</sup> &minus; ''h''<sup>''n'' &minus; 1, 0</sup> + ... + (&minus;1)<sup>''n'' &minus; 1</sup>''h''<sup>1, 0</sup>
である。''n'' = 1 のときは、χ = 1 &minus; ''g'' であり、ここに ''g'' は普通の（トポロジカルな）意味での曲面の種数であり、この定義と整合性を持っている。

コンパクトな[[ケーラー多様体]] ''M'' に対しては、''h<sup>p,q</sup>'' = ''h<sup>q,p</sup>'' を使い、このことが[[構造層]] <math>\mathcal{O}_M</math> の[[連接層|連接コホモロジー]]の[[オイラー標数]]として再現される。

: <math> p_a=(-1)^n(\chi(\mathcal{O}_M)-1).\,</math></ref>と幾何種数<ref>'''幾何種数'''は、複素射影多様体に対して[[ホッジ数]] h<sup>n,0</sup> として（[[セール双対性]](Serre duality)により、h<sup>0,n</sup> に等しい）、つまり標準線型系の次元として定義される。

言い換えると、複素 ''n'' 次元多様体 ''V'' に対し、幾何種数は ''V'' 上の線型独立な正則 ''n''-形式の数である。定義は、
:''H''<sup>0</sup>(''V'', &Omega;<sup>''n''</sup>)

であるので、任意の基礎体に対して定義できる。ここに Ω はケーラー微分形式の層と最も大きな次数の外積をとった標準バンドルである．</ref>、[[不正則数]]<ref>曲面の場合は、幾何種数と算術種数の差異である
:<math>p_g-p_a</math>

のことを'''不正則数'''と言い、射影空間に埋め込んだときに滑らかになるか否かの基準となるので、この名称が付いた。一般の次元の場合も、ホッジ数 ''h''<sup>0,1</sup> = dim ''H''<sup>1</sup>(''O<sub>X</sub>'') のことを、不正則数 ''q'' と言う。</ref>も参照のこと。
<!---Also see [[geometric genus]] and [[arithmetic genus]].-->

多重種数 ''P<sub>d</sub>'' が全ての ''d'' > 0 に対して 0 となるとき、''X'' の'''小平次元'''を −∞ であると定義する。そうでないとき、''P<sub>d</sub>''/''d''<sup>κ</sup> が有界な最小値 κ となる。''n''-次元多様体の小平次元は −∞ もしくは、0 から ''n'' までの間の整数である。
<!--The '''Kodaira dimension''' of ''X'' is defined to be −∞ if the plurigenera ''P<sub>d</sub>'' are zero for all ''d'' > 0; otherwise, it is the minimum κ such that ''P<sub>d</sub>/d<sup>κ</sup>'' is bounded. The Kodaira dimension of an ''n''-dimensional variety is either −∞ or an integer in the range from 0 to ''n''.-->

==小平次元==
===小平次元の解釈===
次の数値は、それが非負であれば、すべて等しい。{{harvtxt|Lazarsfeld|2004}} の Theorem 2.1.33 を参照のこと。

* {{仮リンク|Proj構成|en|Proj construction}} Proj R(K<sub>X</sub>) の次元、（Proj構成の多様体は ''X'' の'''標準モデル'''と呼ばれ、''X'' の双有理同値類にのみ依存している）
* ある正の整数 ''d''<sub>0</sub> の正の倍数 ''d'' に対する ''d''-標準写像の像の次元
* ''R'' の[[超越次数]]から 1 を引いた値、つまり、''t'' を代数的に独立な生成元の数としたときの ''t'' &minus; 1 の値
* 多重種数の増加率、つまり、''P<sub>d</sub>''/''d''<sup>κ</sup> が有界となる最小の κ、[[ランダウの記号]]では ''P<sub>d</sub>'' = ''O''(''d''<sup>κ</sup>) となる最小の κ である。
<!---The following integers are equal. A good reference is {{harvtxt|Lazarsfeld|2004}}, Theorem 2.1.33.
* The dimension of the [[Proj construction]] Proj ''R(K<sub>X</sub>)'' (this variety is called the '''canonical model''' of ''X''; it only depends on the birational equivalence class of ''X'').
* The dimension of the image of the ''d''-canonical mapping for all positive multiples ''d'' of some positive integer ''d''<sub>0</sub>.
* The [[transcendence degree]] of ''R'', minus one, i.e. ''t'' &minus; 1, where ''t'' is the number of [[algebraically independent]] generators one can find.
* The rate of growth of the plurigenera: that is, the smallest number κ such that ''P<sub>d</sub>/d<sup>κ</sup>'' is bounded. In [[Big O notation]], it is the minimal κ such that ''P<sub>d</sub> = O(d<sup>κ</sup>)''.-->

多重種数 ''P<sub>d</sub>'' が全ての正の ''d'' に対しゼロのとき、小平次元は -1 と定義している古い文献もある。しかし、そのようにすると、加法公式 κ(''X''&nbsp;×&nbsp;Y) = κ(''X'')&nbsp;+&nbsp;κ(''Y'') が成り立たない例を簡単に作れてしまう。従って、この場合の小平次元を -∞ とする解釈は、加法公式を成立させるという意味で、[[飯高予想]]の中でも重要である。
<!---When one of these numbers is undefined or negative, then all of them are. In this case, the Kodaira dimension is said to be negative or to be −∞. Some historical references define it to be −1, but then the formula ''κ(X × Y) = κ(X) + κ(Y)'' does not always hold, and the statement of the [[Kodaira dimension#Application to classification|Iitaka conjecture]] becomes more complicated. For example, the Kodaira dimension of '''P'''<sup>1</sup> × ''X'' is −∞ for all varieties ''X''.-->

===応用===
小平次元は、全ての代数多様体のいくつかのクラスへの大まかな分類に有効である。

小平次元が低い多様体は、特別であると考えられることに対し、最大な'''小平次元'''を持つ多様体は、[[#一般型|一般型]]であると言われている。

幾何学的には、小平次元と曲率の間に非常に大まかな対応関係があり、小平次元が負である場合は正の曲率が対応し、小平次元がゼロの場合は平坦であることが対応し、最大の小平次元（一般型）の場合は負の曲率が対応する。

低い小平次元の多様体の特別な性質は、正の曲率を持つ[[リーマン多様体]]の特別な性質に類似している（一般型は非正な曲率の全体に対応している）。局所と大域をつなぐ古典的な[[定理]]、特に、'''[[リーマン幾何学#挟まれた断面曲率|挟まれた断面曲率]]'''と'''正曲率'''(Positive curvature)を参照のこと。

これらの結果をさらに以下に詳しく述べる。
<!---The Kodaira dimension gives a useful rough division of all algebraic varieties into several classes.

Varieties with low Kodaira dimension can be considered special, while varieties of maximal Kodaira dimension are said to be of [[#General type|general type]].

Geometrically, there is a very rough correspondence between Kodaira dimension and curvature: negative Kodaira dimension corresponds to positive curvature, zero Kodaira dimension corresponds to flatness, and maximum Kodaira dimension (general type) corresponds to negative curvature.

The specialness of varieties of low Kodaira dimension is analogous to the specialness of Riemannian manifolds of positive curvature (and general type corresponds to the genericity of non-positive curvature); see [[Riemannian_geometry#Local_to_global_theorems|classical theorems]], especially on ''Pinched sectional curvature'' and ''Positive curvature''.

These statements are made more precise below.-->

===1次元===
滑らかな射影曲線は、[[種数]]により離散的に分類され、種数は任意の[[自然数]] ''g'' = 0, 1, .... を取ることができる。

「離散化された分類」により、与えられた種数に対し連結で既約な曲線の[[モジュライ空間]]が存在する。

曲線 ''X'' の小平次元は、

* κ = −∞: 種数 0 （[[射影直線]] '''P'''<sup>1</sup>）の場合は、''K<sub>X</sub>'' はエフェクティブでない、任意の ''d'' > 0 に対し ''P<sub>d</sub>'' = 0 である。
* κ = 0: 種数 1 （[[楕円曲線]]）の場合は、''K<sub>X</sub>'' は[[自明バンドル]]であり、任意の ''d'' ≥ 0 に対し ''P<sub>d</sub>'' = 1 である。
* κ = 1: 種数 ''g'' ≥ 2 の場合、''K<sub>X</sub>'' は[[豊富なラインバンドル]]であり、任意の ''d'' ≥ 2 に対し ''P<sub>d</sub>'' = (2''d''−1)(''g''−1) である。

[[一意化定理]]を使うと、曲面（実曲面のことで、複素曲線の実次元は 2 である）の場合、小平次元 −∞ は正の曲率に対応し、小平次元 0 は平坦であることに対応し、小平次元 1 は負の曲率に対応する。注意すべきは、ほとんどの代数曲線が一般型であることである。曲線のモジュライ空間では、2つの連結成分は一般型でない曲線に対応していて、一方で全ての他の成分は一般型に対応している。さらに種数 0 の曲線の空間は一点であり、種数 1 の曲線の空間は（複素）次元 1 であり、種数 ''g'' ≥ 2 の曲線は次元 3''g''&nbsp;&minus;&nbsp;3 である。
<!---Smooth projective curves are discretely classified by [[genus (mathematics)|genus]], which can be any [[natural number]] ''g'' = 0, 1, ....

By "discretely classified", we mean that for a given genus, there is a connected, irreducible [[moduli space]] of curves of that genus.

The Kodaira dimension of a curve ''X'' is:

* κ = −∞: genus 0 (the [[projective line]] '''P'''<sup>1</sup>): ''K<sub>X</sub>'' is not effective, ''P<sub>d</sub> = 0'' for all ''d > 0''.
* κ = 0: genus 1 ([[elliptic curve]]s): ''K<sub>X</sub>'' is a [[trivial bundle]], ''P<sub>d</sub> = 1'' for all ''d ≥ 0''.
* κ = 1: genus ''g ≥ 2'': ''K<sub>X</sub>'' is [[ample line bundle|ample]], ''P<sub>d</sub>=(2d−1)(g−1)'' for all ''d ≥ 2''.

Compare with the [[Uniformization theorem]] for surfaces (real surfaces, since a complex curve
has real dimension 2): Kodaira dimension −∞ corresponds to positive curvature, Kodaira dimension 0 corresponds to flatness, Kodaira dimension 1 corresponds to negative curvature. Note that most algebraic curves are of general type: in the moduli space of curves, two connected components correspond to curves not of general type, while all the other components correspond to curves of general type. Further, the space of curves of genus 0 is a point, the space of curves of genus 1 has (complex) dimension 1, and the space of curves of genus ''g ≥ 2'' has dimension 3''g''-3.-->

:{| class="wikitable" style="text-align:center"
! colspan="3"| 代数曲線の分類表
|-
! rowspan="2"| 小平次元 <br /> κ(C)
|-
! C の[[種数]] : g(C)
! 構造
|-
! <math>1</math>
|   <math>\ge 2</math>
| [[#一般型|一般型]]の曲線
|-
! <math>0</math>
|   <math>1</math>
|  [[楕円曲線]]
|-
! <math>-\infty</math>
|   <math>0</math>
| [[射影空間|射影直線]] <math>\mathbb{P}^1</math>
|-
|}
<!---:{| class="wikitable"
! colspan="3"| the classification table of algebraic curves
|-
! rowspan="2"| Kodaira dimension <br /> κ(C)
|-
! [[genus]] of C : g(C)
! structure
|-
! �17�
|   �18�
| curve of general type
|-
! �19�
|   �17�
|  [[elliptic curve]]
|-
! �20�
|   �19�
| �21�  the [[projective space|projective line]] �21�
|-
|}-->

===2次元===
[[エンリケス・小平の分類]]による[[代数曲面]]が分類は、小平次元により荒く分類されている。さらに詳細は、与えられた小平次元の内訳となる。いくつかの単純な例を上げると、積 '''P'''<sup>1</sup> × X は任意の曲線 X に対し小平次元 −∞ である。種数 1 （アーベル曲面）の 2本の曲線の積は小平次元 0 である。種数 1 の曲線と種数がすくなくとも 2 以上の曲線（楕円曲面）の積は小平次元が 1 である。少なくとも種数が 2 以上の 2本の曲線の積は、小平次元が 2 であるので、[[#一般型|一般型]]である。
<!---The [[Enriques-Kodaira classification]] classifies algebraic surfaces: coarsely by Kodaira dimension, then in more detail within a given Kodaira dimension. To give some simple examples: the product '''P'''<sup>1</sup> × ''X'' has Kodaira dimension −∞ for any curve ''X''; the product of two curves of genus 1 (an abelian surface) has Kodaira dimension 0; the product of a curve of genus 1 with a curve of genus at least 2 (an elliptic surface) has Kodaira dimension 1; and the product of two curves of genus at least 2 has Kodaira dimension 2 and hence is of [[#General type|general type]].-->

:{| class="wikitable"
! colspan="4"| 代数曲面の分類表
|-
! rowspan="2"| 小平次元 <br /> κ(C)
|-
! [[#脚注|幾何種数]] <br /> p<sub>g</sub>
! [[不正則数]] <br />q
! 構造
|-
! <math>2</math>
|
|
| [[一般型曲面]]
|-
! <math>1</math>
|
|
| [[楕円曲面]]
|-
! rowspan="4"| <math>0</math>
|   <math>1</math>
|   <math>2</math>
|  [[アーベル曲面]]
|-
|   <math>0</math>
|   <math>1</math>
|  [[超楕円曲面]]
|-
|   <math>1</math>
|   <math>0</math>
|  [[K3曲面]]
|-
|   <math>0</math>
|   <math>0</math>
|  [[エンリケス曲面]]
|-
! rowspan="2"| <math>-\infty</math>
|   <math>0</math>
|   <math>\ge1</math>
| {{仮リンク|線織曲面|en|ruled surface}}
|-
|   <math>0</math>
|   <math>0</math>
| [[有理曲面]]
|-
|}

一般型の曲面 S に対して、d-標準写像は d ≥ 5 のとき、S と双有理となる。
<!---:{| class="wikitable"
! colspan="4"| the classification table of algebraic surfaces
|-
! rowspan="2"| Kodaira dimension <br /> κ(C)
|-
! [[geometric genus]] <br /> p<sub>g</sub>
! [[irregularity of a surface|irregularity]] <br />q
! structure
|-
! �24�
|
|
| surface of [[#general type|general type]]
|-
! �17�
|
|
| the image of <math>\Phi_{mK}</math> becomes of [[elliptic surface]]
|-
! rowspan="4"| �19�
|   �17�
|   �24�
|  [[abelian surface]]
|-
|   �19�
|   �17�
|  [[hyperelliptic surface]]
|-
|   �17�
|   �19�
|  [[K3 surface]]
|-
|   �19�
|   �19�
|  [[Enriques surface]]
|-
! rowspan="2"| �20�
|   �19�
|   �25�
| [[ruled surface]]s
|-
|   �19�
|   �19�
| [[rational surface]]
|-
|}

For a surface ''X'' of general type, the image of the ''d''-canonical map is birational to ''X'' if ''d'' ≥ 5.-->

===任意次元===
[[有理多様体]]（射影空間に有理同値な多様体）は小平次元 −∞ である。[[アーベル多様体]]（射影的なコンパクト[[アーベル多様体#解析的理論|複素トーラス]])は小平次元が 0 である。より一般的に、[[カラビ-ヤウ多様体]]（次元 1 では[[楕円曲線]]、次元 2 では[[アーベル多様体|アーベル曲面]]や[[K3曲面]]であり、有限群でそれらの多様体を割った商）は小平次元が 0 である。次元 1 では[[楕円曲線]]が小平次元ゼロであり、次元 2 では複素トーラスと[[K3曲面]]が小平次元がゼロである（各々平坦な計量であること、リッチ計量が平坦であることに対応）。
<!---[[Rational varieties]] (varieties birational to projective space) have Kodaira dimension −∞. [[Abelian variety|Abelian varieties]] (the compact [[complex tori]] that are projective) have Kodaira dimension zero. More generally, [[Calabi–Yau manifold]]s (in dimension 1, [[elliptic curve]]s; in dimension 2, [[Abelian variety|abelian surfaces]], [[K3 surface]]s, and quotients of those varieties by finite groups) have Kodaira dimension zero (corresponding to admitting Ricci flat metrics).-->

[[有理曲線]]により被覆される任意の標数 0 の多様体（'''P'''<sup>1</sup> からの非定数写像で得られる）を[[単線織多様体]]と言い、小平次元 −∞ を持つ。逆に、[[極小モデル|極小モデル理論]]の主予想（アバンダンス予想として有名）は、全ての小平次元が −∞ の多様体は単線織的ではないだろうかと予想している。この逆問題は、多様体の次元が 3 の場合のみ知られている。
<!--Any variety in characteristic zero that is covered by [[rational curve]]s (nonconstant maps from '''P'''<sup>1</sup>), called a [[Ruled variety|uniruled]] variety, has Kodaira dimension −∞. Conversely, the main conjectures of [[minimal model program|minimal model theory]] (notably the abundance conjecture) would imply that every variety of Kodaira dimension −∞ is uniruled. This converse is known for varieties of dimension at most 3.-->

{{harvtxt|Siu|2002}} は全ての滑らかな複素多様体に対し、変形の下での多重種数の不変性を証明した。特に小平次元は、複素構造の連続的な変形に対して不変である。
<!---Rational varieties (varieties birational to projective space) have Kodaira dimension −∞. [[Abelian variety|Abelian varieties]] and [[Calabi-Yau]] manifolds (in dimension 1, [[elliptic curve]]s; in dimension 2, [[complex tori]] and [[K3 surface]]s) have Kodaira dimension zero (corresponding to admitting flat metrics and Ricci flat metrics, respectively).

Any variety covered by [[rational curve|rational curves]] (nonconstant maps from '''P'''<sup>1</sup>),
called a uniruled variety, has Kodaira dimension −∞. Conversely, the main conjectures of [[minimal model program|minimal model theory]] (notably the abundance conjecture) would imply that every variety of Kodaira dimension −∞ is uniruled. This converse is known for varieties of dimension at most 3.

{{harvtxt|Siu|2002}} proved the invariance of plurigenera under deformations for all smooth complex projective varieties. In particular, the Kodaira dimension does not change when the complex structure of the manifold is changed continuously.-->

:{| class="wikitable"
! colspan="4"| 3次元代数多様体の分類表
|-
! rowspan="2"| 小平次元 <br /> κ(C)
|-
! [[#脚注|幾何種数]] <br /> p<sub>g</sub>
! [[不正則数]] <br />q
! 例
|-
! <math>3</math>
|
|
| [[#一般型|一般型]]の3次元多様体
|-
! <math>2</math>
|
|
| 一般のファイバーが[[楕円曲線]]となるような曲面上のファイバー構造
|-
! <math>1</math>
|
|
| 一般のファイバーが κ = 0 の曲面となるような曲線上のファイバー構造
|-
! rowspan="4"| <math>0</math>
|   <math>1</math>
|   <math>3</math>
|  [[アーベル多様体]]
|-
|   <math>0</math>
|   <math>2</math>
|  ファイバーが楕円曲線となるようなアーベル曲面上の[[ファイバーバンドル]]
|-
|   <math>0</math> or <math>1</math>
|   <math>1</math>
|  ファイバーが κ = 0 の曲面となるような楕円曲線上の[[ファイバーバンドル]]
|-
|   <math>0</math> or <math>1</math>
|   <math>0</math>
|  3次元[[カラビ・ヤウ多様体]]
|-
! rowspan="2"| <math>-\infty</math>
|   <math>0</math>
|   <math>\ge1</math>
| 3次元[[単線織多様体]]
|-
|   <math>0</math>
|   <math>0</math>
| 3次元[[有理多様体]]、3次元[[ファノ多様体]]、その他
|-
|}

正規射影多様体のファイバー構造 X → Y は、連結なファイバーを持つ全射の射(morphism)を意味する。一般型の3次元多様体 X に対して、d-標準写像は d ≥ 61 のときに双有理となる。<ref>J. A. Chen and M. Chen, Explicit birational geometry of 3-folds and 4-folds of general type III, Theorem 1.4.</ref>
<!---:{| class="wikitable"
! colspan="4"| the classification table of algebraic three-folds
|-
! rowspan="2"| Kodaira dimension <br /> κ(C)
|-
! [[geometric genus]] <br /> p<sub>g</sub>
! [[irregularity of a surface|irregularity]] <br />q
! example
|-
! �30�
|
|
| three-fold of [[#general type|general type]]
|-
! �24�
|
|
| fibration over a surface with general fiber an [[elliptic curve]]
|-
! �17�
|
|
| fibration over a curve with general fiber a surface with κ = 0
|-
! rowspan="4"| �19�
|   �17�
|   �30�
|  [[abelian variety]]
|-
|   �19�
|   �24�
|  [[fiber bundle]] over an abelian surface whose fibers are elliptic curves
|-
|   �19� or �17�
|   �17�
|  [[fiber bundle]] over an elliptic curve whose fibers are surfaces with κ = 0
|-
|   �19� or �17�
|   �19�
|  [[Calabi-Yau manifold|Calabi-Yau]] 3-fold
|-
! rowspan="2"| �20�
|   �19�
|   �25�
|  [[ruled variety|uniruled]] 3-folds
|-
|   �19�
|   �19�
|  [[rational variety|rational]] 3-folds, [[Fano variety|Fano]] 3-folds, and others
|-
|}

A '''fibration''' of normal projective varieties ''X'' → ''Y'' means a surjective morphism with connected fibers.For a 3-fold ''X'' of general type, the image of the ''d''-canonical map is birational to ''X'' if ''d'' ≥ 61.<ref>J. A. Chen and M. Chen, Explicit birational geometry of 3-folds and 4-folds of general type III, Theorem 1.4.</ref>-->

==一般型==
'''一般型''' の多様体 X は最大の小平次元を持つ（小平次元は多様体の次元に等しい）。
:<math>\kappa(X) = \operatorname{dim}\ X.</math>

この等号という条件は、ラインバンドル K<sub>X</sub> が[[飯高次元#大きな直線束|大きなラインバンドル]]であるか、もしくは、d-標準写像が十分大きな d に対し単射である（つまり、像への双有理写像である）。

例えば、[[豊富なラインバンドル|豊富]]な標準バンドルは一般型である。

ある意味では、ほとんどの代数多様体が一般型である。例えば、n-次元射影空間の中の次数 d の滑らかな[[超曲面]]が一般型であることと、d > n+1 であることは同値である。従って、射影空間内のほとんどの超曲面は一般型であることが言える。

一般型の多様体は、たとえ曲面の場合であっても、明確に分類することが極めて困難なように見える。にもかかわらず、一般型の多様体に対し強い正しい結果が存在する。例えば、ボンビエリ(Bombieri)は1973年に、任意の一般型の複素曲面の d-標準写像は、全ての d ≥ 5 に対して双有理であることを示した。さらに一般には、ハーコン・マッカナン(Hacon-McKernan)、高山、辻は、2006年に全ての正の n に対し定数 c(n) が存在し、任意の n-次元の一般型複素多様体の d-標準写像が存在し d ≥ c(n) のとき、双有理同値となることを示した。

一般型の代数多様体の双有理自己同型群は有限群である。
<!---A variety of '''general type''' ''X'' is one of maximal Kodaira dimension (Kodaira dimension equal to its dimension):
:�32�

Equivalent conditions are that the line bundle ''K<sub>X</sub>'' is [[big line bundle|big]], or that the ''d''-canonical map is generically injective (that is, a birational map to its image) for ''d'' sufficiently large.

For example, a variety with [[ample line bundle|ample]] canonical bundle is of general type.

In some sense, most algebraic varieties are of general type. For example, a smooth hypersurface of degree ''d'' in the ''n''-dimensional projective space is of general type if and only if ''d > n+1''. So we can say that most smooth hypersurfaces in projective space are of general type.

Varieties of general type seem too complicated to classify explicitly, even for surfaces. Nonetheless, there are some strong positive results about varieties of general type. For example, Bombieri showed in 1973 that the ''d''-canonical map of any complex surface of general type is birational for every ''d ≥ 5''. More generally, Hacon-McKernan, Takayama, and Tsuji showed in 2006 that for every positive integer ''n'', there is a constant ''c(n)'' such that the ''d''-canonical map of any complex ''n''-dimensional variety of general type is birational when ''d ≥ c(n)''.

The birational automorphism group of a variety of general type is finite.-->

==分類への応用==
X を標数 0 の体の上の小平次元が非負の多様体とし、B を X の標準モデル B = Proj R(X, K<sub>X</sub>) とすると、B の次元は X の小平次元に等しい。自然な写像 X → B が存在して、{{仮リンク|ブローアップ (代数幾何学)|label=ブローアップ|en|blowing up}}(blowing up)した X と B から得られる任意の射は、[[飯高次元#飯高予想|飯高ファイバー構造]]と呼ばれる。[[極小モデル]]とアバンダンス予想は、飯高ファイバー構造の一般のファイバーは、[[カラビ・ヤウ多様体]]であるように整形でき、特に小平次元 0 となるであろうことを意味している。さらに、有効な B 上の（一意ではないが） '''Q'''-因子 Δ が存在し、ペア (B, Δ) が[[標準特異点#ペア|川又対数端末]](klt)、つまり、K<sub>B</sub> + Δ が豊富であり、X の標準環が (B, Δ) の標準環のある d > 0 倍の次数と同じである。<ref> O. Fujino and S. Mori, J. Diff. Geom. 56 (2000), 167-188. Theorems 5.2 and 5.4.</ref> この意味で、X は一般型の (B, Δ) を底空間と小平次元 0 の多様体の族へ分解する。（注意することは、多様体 B 自身は一般型である必要はない。たとえば、飯高ファイバーが '''P'''<sup>1</sup> 上の楕円ファイバーである子だら次元 1 の曲面が存在する。）
<!--Let ''X'' be a variety of nonnegative Kodaira dimension over a field of characteristic zero, and let ''B'' be the canonical model of ''X'', ''B'' = Proj ''R''(''X'', ''K''<sub>''X''</sub>); the dimension of ''B'' is equal to the Kodaira dimension of ''X''. There is a natural rational map ''X'' – → ''B''; any morphism obtained from it by [[blowing up]] ''X'' and ''B'' is called the [[Iitaka dimension#Iitaka conjecture|Iitaka fibration]]. The [[minimal model program|minimal model]] and abundance conjectures would imply that the general fiber of the Iitaka fibration can be arranged to be a [[Calabi-Yau]] variety, which in particular has Kodaira dimension zero. Moreover, there is an effective '''Q'''-divisor Δ on ''B'' (not unique) such that the pair (''B'', Δ) is [[Canonical singularities|klt]], ''K''<sub>''B''</sub> + Δ is ample, and the canonical ring of X is the same as the canonical ring of (''B'', Δ) in degrees a multiple of some ''d'' > 0.<ref> O. Fujino and S. Mori, J. Diff. Geom. 56 (2000), 167-188. Theorems 5.2 and 5.4.</ref> In this sense, ''X'' is decomposed into a family of varieties of Kodaira dimension zero over a base (''B'', Δ) of general type. (Note that the variety ''B'' by itself need not be of general type. For example, there are surfaces of Kodaira dimension 1 for which the Iitaka fibration is an elliptic fibration over '''P'''<sup>1</sup>.)-->

上記の予想が正しいとすると、代数多様体の分類は、小平次元−∞, 0 と一般型の場合へとほとんど帰結することができる。小平次元 −∞ と 0 に対しては、分類のアプローチが存在する。極小モデルやアバンダンス予想は、すべての小平次元 −∞ の多様体は、[[線織多様体|単線織多様体]]であり、標数 0 上のすべての単線織多様体は[[極小モデル|ファノファイバー空間]]と双有理同値であることが知られている。極小モデルとアバンダンス予想は、すべての小平次元 0 の多様体は[[標準特異点|端末特異点]]を持つ[[カラビ・ヤウ多様体]]と双有理同値であることを意味する。
<!--Given the conjectures mentioned, the classification of algebraic varieties would largely reduce to the cases of Kodaira dimension −∞, 0 and general type. For Kodaira dimension −∞ and 0, there are some approaches to classification. The minimal model and abundance conjectures would imply that every variety of Kodaira dimension −∞ is [[ruled variety|uniruled]], and it is known that every uniruled variety in characteristic zero is birational to a [[minimal model program|Fano fiber space]]. The minimal model and abundance conjectures would imply that every variety of Kodaira dimension 0 is birational to a [[Calabi-Yau]] variety with [[canonical singularities|terminal singularities]].--><!-- 前のversion
標数 0 の体上の小平次元が 1 ≤ κ(X) ≤ n-1 (n = dim (X)) である多様体 X を考え、X を X に双有理同値な非特異モデルに置き換えておく。[[飯高次元#飯高予想|飯高ファイバー構造]]に従うと、ある整数 m と小平次元が κ(X) である非特異射影多様体 B が存在し、写像
:<math>\Phi_{mK_X}\ :\ X \rightarrow B</math>
が双正則写像となり、B 上の[[豊富なラインバンドル|豊富な因子]] H を使い、{{仮リンク|完全一次系|en|}}(complete linear system) <math>|mK_X|</math> を
:<math>|\Phi^*_{mK_X}H|+(\text{fixed components})\ .</math>
と表わすことができる。このことは、B の上の一般の点上のファイバーが、小平次元が 0 の既約代数多様体であることを意味する。すべての一般の代数多様体は、小平次元が -∞ と 0 と κ(X)=n=dim(X) である多様体に分解である。このようにして、一般型を除くと、小平次元が -∞ と 0 である場合の研究が非常に重要なことがわかる。小平次元が -∞ と 0 の場合は、一見、扱い易いように思えるかもしれない。小平次元が -∞ の場合は、単線織多様体や有理多様体やファノ多様体を含んでいて、0 の場合はアーベル多様体や[[カラビ・ヤウ多様体]]を含んでいる。-->

[[飯高予想]]は、ファイバーを持つ小平次元が、少なくとも基底空間の小平次元と一般のファイバーの小平次元の和となることを言っている。サーベイは {{harvtxt|Mori|1987}} を参照。飯高予想は、1970年代、1980年代の[[極小モデル|極小モデル理論]]の発展を強く促した。多くの場合が、現在でも知られていなく、有名なアバンダンス予想は、極小モデルの理論の主予想に従うという予想である。
<!--Consider the varieties ''X'' with Kodaira dimension 1 ≤ κ(X) ≤ n-1 (n = dim (X)) on a characteistic zero field and replace X by a suitable non-singular model birational to X. Along the [[Iitaka dimension#Iitaka conjecture|Iitaka fibering]], there exist a suitable integer m and a non-singular projective variety B with dimension κ(X) such that
:<math>\Phi_{mK_X}\ :\ X \rightarrow B</math>
is biholomorphic, and using the [[ample divisor]] H on B the [[complete linear system]] <math>|mK_X|</math> can be described as
:<math>|\Phi^*_{mK_X}H|+(\text{fixed components})\ .</math>
This means that the fiber at each general points on B is an irreducible algebraic variety with Kodaira dimension 0. Every general variety will be decomposed into some varieties with Kodaira dimension -∞, 0 and κ(X)=n=dim(X). Thus, except for the general type, it turns out to be very important to study the case of Kodaira dimension -∞ and 0, which might be seemingly tractable. The case of kodaira dimension -∞ contains uniruled, rational and Fano varieties, and the case of 0, abelian varieties and [[Calabi-Yau]] 3-folds.

The Iitaka conjecture states that the Kodaira dimension of a fibration is at least the sum of the Kodaira dimension of the base and the Kodaira dimension of a general fiber; see {{harvtxt|Mori|1987}} for a survey. The Iitaka conjecture helped to inspire the development of [[minimal model program|minimal model theory]] in the 1970s and 1980s. It is now known in many cases, and would follow in general from the main conjectures of minimal model theory, notably the abundance conjecture.-->

==モアシェゾン多様体との関係==
中村（郁）と上野は次の複素多様体の加法公式を証明した ({{harvtxt|Ueno|1975}})。基礎となる空間が代数多様体であるということを要求しないにもかかわらず、全てのファイバーが同型であるという前提は、非常に特別な場合である。この仮定の下でも、ファイバーが[[:en:Moishezon manifold|モアシェゾン多様体]]<ref>'''モアシェゾン多様体''' M とはコンパクトな[[複素多様体]]であって、M の各々の成分の[[有理型函数]]が、成分の複素次元に等しい超越次数を持っている場合を言う。すなわち、
:<math>\text{dim}_\mathbb{C}M=a(M)=\text{tr}.\text{deg}._\mathbb{C}\mathbb{C}(M).</math>
の場合を言う。</ref>でないときには、公式が成立しないことがある。

π:V → W をコンパクト複素多様体の解析的ファイバーバンドル、つまり、ファイバーバンドルでは、π が局所的には積となっているとする（そして、全てのファイバーが複素多様体として同型とする）と F がモアシェゾン多様体であることを仮定すると、
:<math>\kappa(V)=\kappa(F)+\kappa(W)</math>
が成立する。
<!---Nakamura and Ueno proved the following additivity formula for complex manifolds ({{harvtxt|Ueno|1975}}). Although the base space is not required to be algebraic, the assumption that all the fibers are isomorphic is very special. Even with this assumption, the formula can fail when the fiber is not Moishezon.

:Let π: V → W be an analytic fiber bundle of compact complex manifolds, meaning that π is locally a product (and so all fibers are isomorphic as complex manifolds). Suppose that the fiber F is a [[Moishezon manifold]]. Then
:<math>\kappa(V)=\kappa(F)+\kappa(W).</math>-->

== 脚注 ==
{{Reflist|2}}

==参照項目==
* [[双有理幾何学]]
* [[エンリケス・小平の分類]]
* [[飯高次元]]
* [[極小モデル|極小モデル理論]]
* {{仮リンク|モアシェゾン多様体|en|Moishezon manifold}}

==参考文献==
*{{citation | last1=Chen | first1=Jungkai A. | last2=Chen | first2=Meng | title=Explicit birational geometry of 3-folds and 4-folds of general type, III | arxiv=1302.0374 | year=2013 | bibcode=2013arXiv1302.0374M }}
*{{SpringerEOM|title=Kodaira dimension|last=Dolgachev|first=I, |urlname=Kodaira_dimension}}
*{{citation | last1=Fujino | first1=Osamu | last2=Mori | first2=Shigefumi | author2-link=Shigefumi Mori | title=A canonical bundle formula | journal=Journal of Differential Geometry | volume=56 | year =2000 | issue=1 | pages=167-188 | url=http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1090347529 | mr=1863025}}
*{{citation|MR=0285532
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|title=On D-dimensions of algebraic varieties
|journal=Proc. Japan Acad. |volume=46|year= 1970|pages= 487–489|doi=10.3792/pja/1195520260 }}
*{{citation|MR=0285531
|last=Iitaka|first= Shigeru
|title=On D-dimensions of algebraic varieties.
|journal=J. Math. Soc. Japan |volume=23 |year=1971 |pages=356–373|doi=10.2969/jmsj/02320356}}
*{{Citation | last1=Lazarsfeld | first1=Robert | mr=2095471 | title=Positivity in algebraic geometry | volume=1 | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin | year=2004 | ISBN=3-540-22533-1}}
*{{Citation | last1=Mori | first1=Shigefumi | mr =0927961 | title=Algebraic geometry (Bowdoin, 1985) | chapter=Classification of higher-dimensional varieties | pages = 269–331 | series = Proceedings of Symposia in Pure Mathematics | volume = 46, Part 1 | publisher=American Mathematical Society | year=1987}}
*{{Citation | ref=refShafarevich1965 | last1=Shafarevich | first1=Igor R. | last2=Averbuh | first2=B. G. | last3=Vaĭnberg | first3=Ju. R. | last4=Zhizhchenko | first4=A. B. | last5=Manin | first5=Ju. I. | last6=Moĭshezon | first6=B. G. | last7=Tjurina | first7=G. N. | last8=Tjurin | first8=A. N. | title=Algebraic surfaces |mr=0190143 | year=1965 | journal=Akademiya Nauk SSSR. Trudy Matematicheskogo Instituta imeni V. A. Steklova | issn=0371-9685 | volume=75 | pages=1–215 | zbl=0154.21001 }}
*{{Citation | last1=Siu | first1 = Y.-T. | title=Complex geometry (Gottingen, 2000) | chapter=Extension of twisted pluricanonical sections with plurisubharmonic weight and invariance of semi-positively twisted plurigenera for manifolds not necessarily of general type | mr=1922108 | year=2002 | pages = 223–277 | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin}}
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*{{Citation | last1=飯高 |first1=茂 |title=代数多様体の種数と分類 I | publisher=日本数学会 | journal=数学 | year=1972 | volume=24 | number=1 | page=14-27 | url=https://doi.org/10.11429/sugaku1947.24.14 }}
*{{Citation | last1=飯高 |first1=茂 |title=代数多様体の種数と分類 II | publisher=日本数学会 | journal=数学 | year=1977 | volume=29 | number=4 | page=334-349 | url=https://doi.org/10.11429/sugaku1947.29.334 }}
*{{Citation | last1=飯高 |first1=茂 |title=種々の双有理幾何と小平次元 | publisher=日本数学会 | journal=数学 | year=1982 | volume=34 | number=4 | page=289-300 | url=https://doi.org/10.11429/sugaku1947.34.289 }}

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