小平消滅定理のソースを表示

{{要改訳}}
[[数学]]における'''小平消滅定理'''(Kodaira vanishing theorem)とは、[[複素多様体]]論と複素[[代数幾何学]]の基本的な結果であり、ある条件の下で、q > 0 次の[[層コホモロジー|層係数コホモロジー]]群が 0 となることを主張する定理である。この場合、0次のコホモロジー群 の次元、つまり、一次独立な{{仮リンク|大域切断|en|global section}}の数は、{{仮リンク|正則オイラー標数|en|holomorphic Euler characteristic}}と一致するため、[[リーマン・ロッホの定理]]を使って計算することができる。

== 複素解析的な場合 ==
[[小平邦彦]]により得られた結果は次の通りである： <math>M</math> を複素 n 次元のコンパクトな[[ケーラー多様体]]、<math>L</math> を <math>M</math> 上の正な[[正則直線束]]、<math>K_M</math> を[[標準ラインバンドル|標準束]]とする。このとき、q > 0 に対して、<math> H^q(M, K_M\otimes L) = 0 </math>が成立する。ここに <math>K_M\otimes L</math> は[[直線束]]の[[テンソル積]]である。[[セール双対性]]により、q < n について、<math> H^q(M, L^{\otimes - 1}) = 0 </math>が得られる 。この一般化として、以下に記述する'''小平・中野の消滅定理'''(Kodaira-Nakano vanishing theorem)がある。記述のために、新しい記号を導入する。<math>L</math> に値を持つ <math>M</math> 上の{{仮リンク|ドルボー複体|label=正則 (r,0)-形式|en|Dolbeault complex}}の層を <math>\Omega^r(L)</math> で表す。つまり、<math>K_M\otimes L\cong\Omega^n(L)</math>である。このとき、q + r > nについて、<math> H^q(M, \Omega^{r}(L)) = 0 </math>となる。

== 代数多様体の場合 ==
小平の消滅定理は、[[ケーラー計量]]のような '''超越的な''' 方法を使うことなしでの代数幾何学の中で定式化することが可能である。直線束 L の正性は、対応する[[可逆層]]が[[可逆層|豊富]][[可逆層|である]]ことに置き換えられる。（つまり、射影埋め込みを与えるテンソル積が存在する）代数的な小平・秋月・中野の消滅定理は次のような定理である。

: k を[[標数]] 0 の[[可換体|体]]とし、<math>X</math> を次元 d の{{仮リンク|滑らか (数学)|label=滑らか|en|smooth morphism}}な{{仮リンク|射影的|en|projective morphism}}k-[[概型|スキーム]]とし、<math>L</math> を <math>X</math> 上の豊富な可逆層とする。このとき、次が成立する。
:::<math> p+q>d</math> に対し <math> H^q(X,L\otimes\Omega^p_{X/k}) = 0</math>
:::<math> p+q<d</math> に対し <math> H^q(X,L^{\otimes-1}\otimes\Omega^p_{X/k}) = 0</math>
: ここに <math>\Omega^p</math>は相対的（代数的）[[微分形式]]の[[層 (数学)|層]]とする（[[ケーラー微分]]を参照）。

{{harvtxt|Raynaud|1978}} は標数が p > 0 の体上では上式が必ずしも成立しないことを示した。特に、{{仮リンク|レノー曲面|en|Raynaud surface}}に対して成立しないことを示した。

1987年まで、標数 0 の体に対して知られている唯一の証明方法は複素解析と[[代数幾何学と解析幾何学|GAGA]]の比較定理に基づいていた。しかし1987年に[[ピエール・ルネ・ドリーニュ]](Pierre Deligne)と{{仮リンク|リュック・イリュージー|en|Luc Illusie}}は消滅定理の純代数的な証明を与えた {{harv|Deligne|Illusie|1987}}。彼らの証明は、{{仮リンク|代数的ド・ラムコホモロジー|en|algebraic de Rham cohomology}}(algebraic de Rham cohomology)の{{仮リンク|ホッジ・ド・ラムのスペクトル系列|en|Hodge-de Rham spectral sequence}}が次数 1 で退化することを基礎としている。証明方法は、p > 0 の結果をある特別な結果をリフトすることで示される。特別な結果とは、正定値の性質を持つという結果で、この結果は制限なしには成立しないのであるが、全ての場合おいてリフトすることが可能である。
<!---== The algebraic case ==
The Kodaira vanishing theorem can be formulated within the language of algebraic geometry without any reference to ''transcendental'' methods such as Kähler metrics. Positivity of the line bundle ''L'' translates into the corresponding [[invertible sheaf]] being [[ample line bundle|ample]] (i.e., some tensor power gives a projective embedding). The algebraic Kodaira-Akizuki-Nakano vanishing theorem is the following statement:
: If ''k'' is a [[field (mathematics)|field]] of [[characteristic (algebra)|characteristic]] zero, ''X'' is a [[smooth morphism|smooth]] and [[projective morphism|projective]] ''k''-[[Scheme (mathematics)|scheme]] of dimension ''d'', and ''L'' is an ample invertible sheaf on ''X'', then 
:::<math> H^q(X,L\otimes\Omega^p_{X/k}) = 0</math> for <math> p+q>d</math>, and
:::<math> H^q(X,L^{\otimes-1}\otimes\Omega^p_{X/k}) = 0</math> for <math> p+q<d</math>,
: where the Ω<sup>p</sup> denote the [[Sheaf (mathematics)|sheaves]] of relative (algebraic) [[differential forms]] (see [[Kähler differential]]). 
{{harvtxt|Raynaud|1978}} showed that this result does not always hold  over fields of characteristic ''p'' > 0, and in particular fails for [[Raynaud surface]]s.

Until 1987 the only known proof in characteristic zero was however based on the complex analytic proof and the [[GAGA]] comparison theorems. However, in 1987 [[Pierre Deligne]] and [[Luc Illusie]] gave a purely algebraic proof of the vanishing theorem in {{harv|Deligne|Illusie|1987}}. Their proof is based on showing that [[Hodge-de Rham spectral sequence]] for [[algebraic de Rham cohomology]] degenerates in degree 1. This is shown by lifting a corresponding more specific result from characteristic ''p'' > 0 — the positive-characteristic result does not hold without limitations but can be lifted to provide the full result.-->

==結果と応用==
歴史的には、[[小平埋め込み定理]]は消滅定理の助けを借りて導出された。[[セール双対性]]を用いれば、様々な曲線や曲面の層係数コホモロジー群（普通は標準束に関連している）がゼロとなることは、複素多様体の分類に役に立つ（[[エンリケス・小平の分類|エンリケス-小平の分類]]）。

==参照項目==
* {{仮リンク|川又・ヴィーベックの消滅定理|en|Kawamata–Viehweg vanishing theorem}}
* {{仮リンク|マンフォードの消滅定理|en|Mumford vanishing theorem}}
* {{仮リンク|ラマヌジャンの消滅定理|en|Ramanujam vanishing theorem}}

==参考文献==
* {{Citation
  | last = Deligne
  | first = Pierre
  | last2 = Illusie
  | first2 = Luc
  | title = Relèvements modulo p<sup>2</sup> et décomposition du complexe de de Rham
  | journal = Inventiones Mathematicae
  | volume = 89
  | issue = 2
  | pages = 247–270
  | year = 1987
  | doi = 10.1007/BF01389078 }}
*{{Citation | url = http://www.uni-due.de/%7Emat903/books/esvibuch.pdf|last1=Esnault | first1=Hélène | last2=Viehweg | first2=Eckart | title=Lectures on vanishing theorems | publisher=Birkhäuser Verlag | series=DMV Seminar | isbn=978-3-7643-2822-1 |mr=1193913 | year=1992 | volume=20}}
*[[Phillip Griffiths]] and [[Joe Harris (mathematician)|Joseph Harris]], ''Principles of Algebraic Geometry''
*{{Citation | last1=Raynaud | first1=Michel | author1-link=Michel Raynaud | title=C. P. Ramanujam---a tribute | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Tata Inst. Fund. Res. Studies in Math. |mr=541027 | year=1978 | volume=8 | chapter=Contre-exemple au vanishing theorem en caractéristique p>0 | pages=273–278}}

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