小行列のソースを表示

[[file:Submatrix_qtl1.svg|thumb|小行列は行列から特定の行および列を取り除いて得られる。この図では第二行と第四列を落としている。]]
[[線型代数学]]における'''部分行列'''（ぶぶんぎょうれつ、{{lang-en-short|''submatrix''}}）または'''小行列'''（しょうぎょうれつ、{{lang-de-short|''Teilmatrix''}}<ref name='karpfinger'>Christian Karpfinger: ''Höhere Mathematik in Rezepten.'' Springer Verlag, Berlin 2014, ISBN 978-3-642-37865-2, S.&nbsp;95.</ref>）は、与えられた[[行列]]に対してその行または列を取り除くことで作られる行列を言う。特に[[正方行列]]に対して同じ番号の行と列を取り除くことで得られる小行列は'''主小行列''' (''principal submatrix'') と呼ぶ。小行列は、[[小行列式]]や[[余因子行列|余行列]]の定義に用いられ、それらは[[行列式]]の[[余因子展開]]において重要である。

== 定義 ==
{{math|1=''A'' = (''a{{sub|i j}}'') ∈ Mat(''m'', ''n''; ''K'')}} を[[可換体]] {{mvar|K}} 上の[[行列]]とするとき、{{mvar|A}} の'''小行列''' {{mvar|A{{sub|I J}}}} は、行[[添字集合|添字]]の部分集合 {{math|1=''I'' &sub; {{mset|1, …, ''m''}}}} と列添字の部分集合 {{math|1=''J'' &sub; {{mset|1, …, ''n''}}}} を選んで{{underline|除いた}}行列
: <math>A_{I J} := [a_{i j}]_{i \in \{ 1, \ldots , m \} \smallsetminus I,\atop j \in \{ 1, \ldots , n \} \smallsetminus J}</math>
を言う。この小行列 {{mvar|A{{sub|I J}}}} は {{math|''m'' &minus; {{abs|''I''}}}} 本の行および {{math|''n'' &minus; {{abs|''J''}}}} 本の列を持つ行列である。取り除く添字の部分集合が各々一元集合であるときには、例えば {{math|''A''{{sub|{{mset|''i''}} {{mset|''j''}}}}}} は単に {{mvar|A{{sub|i j}}}} と書く。
{{mvar|1=''m'' = ''n''}} で {{math|1=''I'' = ''J''}} のときの小行列
: <math>A_I = A_{I I},\quad A_i = A_{i i}</math>
を'''主小行列'''とも呼ぶ。

これとは異なり、選んで{{underline|用いる}}添字を指定することによって小行列を記述することもある。この立場では
: <math>A_{I J} = [a_{i j}]_{i \in I, j \in J}</math>
のように書く<ref>{{citation2|surname1=Überhuber|title=Computer-Numerik 2|at=p.&nbsp;212|language=de
}}</ref>。ただし、以下本項ではこの記法は用いないこととする。連続する番号の行および列を用いて得られる小行列は、もとの行列の[[区分行列|ブロック]]と呼ばれる。

== 例 ==
例えば、以下の行列
: <math>A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \end{bmatrix} \in \R^{3 \times 4}</math>
に対して、その小行列の一つ
: <math>A_{2 3} = A_{\{2\}\ \{3\}} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 9 & 10 & 12 \end{bmatrix} \in \R^{2 \times 3}</math> 
は第二行および第三列を取り除いて得られる。

== 応用 ==
行列 {{math|''A'' ∈ Mat(''m'', ''n''; ''K'')}} が[[行列の階数|階数]] {{mvar|r}} を持つならば、正方小行列 {{math|''A{{sub|I J}}'' ∈ Mat(''r''; ''K'')}} が存在して {{math|1=rank(''A{{sub|I J}}'') = rank(''A'')}} かつ {{math|[[行列式|det]] ''A{{sub|I J}}'' &ne; 0}} とできる<ref>{{citation2|surname1=Bosch|title=Lineare Algebra|at=p.&nbsp;146|language=de
}}</ref>。そのような小行列は、例えば[[ガウス消去|ガウスの消去法]]などを用いて計算できる。正方小行列の行列式は[[小行列式]]と呼ばれ、主小行列の行列式は主小行列式と呼ばれる。正方行列 {{mvar|A}} の {{mvar|A{{sub|i j}}}} の形の小行列の行列式に交代符号を与えれば、もとの行列の[[余因子]]
: <math>\tilde{a}_{i j} = (-1)^{i+j} \det(A_{i j})</math>
が得られ、[[余因子行列]] {{math|1={{tilde|''A''}} {{coloneqq}} ({{tilde|''a''}}{{sub|''i j''}})}} は {{mvar|A}} の[[逆行列]]を陽に計算するために用いることができる。また行列式の計算に関する[[余因子展開|ラプラス展開定理]]や二つの行列の[[行列の積|積]]の行列式に関する[[ビネ&ndash;コーシーの定理]]などにおいても小行列式は重要な役割を果たす。

== 参考文献 ==
* {{citation2|surname1=[[Siegfried Bosch]]|title=Lineare Algebra|publisher=Springer|year=2006|isbn=3-540-29884-3|language=de}}
* {{citation2|surname1=Christoph W. Überhuber|title=Computer-Numerik 2|publisher=Springer|year=1995|isbn=3-642-57794-6|language=de}}

== 注 ==
<references />

== 外部リンク ==
* {{EoM|Autor=T. S. Pigolkina|Titel=Submatrix|Url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Submatrix}}
* {{MathWorld|title=Submatrix|id=Submatrix}}
* {{PlanetMath|author=Mathprof|title=Submatrix notation|urlname=submatrixnotation}}

{{DEFAULTSORT:しようきようれつ}}
[[Category:行列]]
[[Category:数学に関する記事]]