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'''尖度'''（せんど、{{lang-en-short|kurtosis}}）は、[[確率変数]]の[[確率密度関数]]や頻度分布の鋭さを表す指標である。正規分布と比べて、尖度が大きければ鋭いピークと長く太い裾をもった分布であり、尖度が小さければより丸みがかったピークと短く細い尾をもつ分布である。[[日本産業規格]]では、とがり (kurtosis) として平均値まわりの 4 次の[[モーメント (数学)|モーメント]] ''μ''<sub>4</sub> の標準偏差 ''σ'' の 4 乗に対する比 ''μ''<sub>4</sub>/''σ''<sup>4</sup> と定義している{{sfn|JIS Z 8101-1 : 1999|loc=1.20 とがり kurtosis}}{{sfn|JIS Z 8101-1 : 2015|loc=1.21 とがり}}。

==2種類の定義==
尖度には、４次の標準化モーメントとも呼ばれる''μ''<sub>4</sub>/''σ''<sup>4</sup>から３を引いて[[正規分布]]の尖度を 0 とする定義と、４次の標準化モーメントをそのまま用いて正規分布の尖度を 3 とする定義があることに注意。これら2種類の定義の違いは、尖度が正規分布との乖離をみるために使われることに起因している。一般には [[正規分布]]の尖度を 0 とすることが多い。[[Microsoft Excel|Excel]]の分析ツール等は正規分布の尖度を 0 としている<ref group="注釈">歪度 <math>\beta_1=E{(X-\mu)^3}/[E{(X-\mu)^2}]^{(3/2)}</math>、分散 <math>\sigma=E{(X-\mu)^2}</math> は不等式による制限があるので、注意する必要がある。当然ながら、標本における歪度と尖度は互いに[[独立]]ではない。
コーシー・シュワルツの不等式を考えれば、尖度 <math>\beta_2</math> は 1 より大きく、3 を引いた尖度は &minus;2 以上の値をとることは明らかであろう。
</ref>。東京大学出版会の「統計学入門」(ISBN 4130420658)や[[:en:Numerical Recipes|Numerical Recipes]]なども正規分布の尖度が 0 となるように、尖度を定めている。

==モーメントによる定義==
確率変数<math>X</math>の分布関数を <math>F(X)</math>
: <math>\mu=E[X]=\int X dF(x)</math>
: <math>\mu_r=E[(X-\mu)^r]=\int (X-\mu)^r dF(x)</math> （<math>r</math> は正整数）
とする。このとき、分布関数 <math>F(X)</math> の尖度 <math>\beta_2</math> は次式である（各積分値が存在すると仮定している）。

* 正規分布の尖度を 0 とする定義では、
*: <math>\beta_2=\frac{\mu_4}{{\mu_2}^2} - 3</math>
* 正規分布の尖度を 3 とする定義では、
*: <math>\beta_2=\frac{\mu_4}{{\mu_2}^2}</math>

==キュムラントによる定義==
確率変数 <math>X</math> の <math>r</math> 次の[[キュムラント]]<ref group="注釈">簡単に言えば、モーメント母関数 <math>M_X(t)</math> の対数をとった関数を <math>t=0</math> の周りで形式的に展開し、<math>t</math> について整理したときの、<math>r</math> 次の係数が <math>\kappa_r</math> である。</ref>を <math>\kappa_r</math> とすると、尖度 <math>\beta_2</math> は次式で定義される。

* 正規分布の尖度を 0 とする定義では、
*: <math>\beta_2=\frac{\kappa_4}{{\kappa_2}^2}</math>
* 正規分布の尖度を 3 とする定義では、
*: <math>\beta_2=\frac{\kappa_4}{{\kappa_2}^2}+3</math>

===計算例===
正規分布の尖度。[[積率母関数|モーメント母関数]] ''M<sub>X</sub>''(''t'') のキュムラント母関数は
: <math>\log(M_X(t))=\mu t+ \sigma^2t^2/2</math>
から <math>\kappa_1=\mu</math>， <math>\kappa_2=\sigma</math>， <math>\kappa_r=0 \ (r\ge 3)</math> となり、3 次以上のキュムラントはすべて 0 であることがわかる。したがって、正規分布の尖度は <math>\beta_2=0</math>（または 3）となる。

==尖度の意味==
正規分布と、それより尖度が大きく等しい[[平均値]]と[[標準偏差]]をもつ確率密度関数を示す。

[[ファイル:尖度.PNG|center]]

模式的であるが、平均値の周りでは尖りが大きく裾を引いた分布であることがわかる。
「尖度」（尖＝とがり）と表現するのは誤解しやすく、裾の重さというほうが実態を表している（詳細は参考文献を参照<!-- どれ？ -->）。

特殊な分布
{{Indent|<math>p(x) =
\frac{1}{\alpha\,\mathrm{\Beta}\!\left(m-\frac12, \frac12\right)}
\left[1 + \left(\frac{x-\lambda}{\alpha}\right)^{\!2\,} \right]^{-m}
\!</math>}}
では両者（裾の重さと平均値の周りでは尖り）の概念は一致するが、一般の分布では一致しないのは明らかである。

==標本モーメントによる母集団の尖度推定==
ここでは、標本の大きさ <math>n</math> の標本に基づく母集団の尖度の推定を考える
<ref group="注釈">
厳密な意味での標本における尖度についての[[不偏推定量]]の研究は、省略する。</ref>。

一般には、尖度の定義の分母分子の不偏推定量をもって母集団の尖度の推定量とする方法がもっとも多く使用される。具体的には、母集団のキュムラントの不偏推定量である [[k統計量]] (k-statistics)<ref group="注釈">具体的には <math>E\{k_r\}=\kappa_r</math> となる性質がある。</ref>を使った計算方法である。<math>r</math> 次の k統計量を <math>k_r</math>、平均周りの <math>r</math> 次のモーメントを <math>m_r=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^r</math> とすると、
: <math> k_2=\frac{n}{n-1}m_2</math>
: <math>k_4=\frac{n^2}{(n-1)(n-2)(n-3)}\left\{(n+1)m_4-3(n-1){m_2}^2 \right\}</math>
なので、上の 2 式をキュムラントによる定義に代入して推定量とする方法である。

最終的には <math>\beta_2</math> の推定量 <math>b_2</math> について次を得る。

: <math>b_2=\frac{n(n+1)}{(n-1)(n-2)(n-3)} \sum_{i} \left(\frac{x_i-\overline{x}}{s}\right)^4 -\frac{3(3n-5)}{(n-2)(n-3)}</math><br />
: ここで、<math>s=\sqrt{\frac{n}{n-1}\,m_2}</math>（不偏標準偏差)
3 を引いた定義では、次式になる。
: <math>\frac{n(n+1)}{(n-1)(n-2)(n-3)} \sum_{i} \left(\frac{x_i-\overline{x}}{s}\right)^4 -3\frac{(n-1)^2}{(n-2)(n-3)}</math>

==分布と尖度==
{| class="wikitable"
! 分布 !! 尖度
|-
| [[ラプラス分布]] || 3
|-
| [[双曲線正割分布]] || 2
|-
| [[ロジスティック分布]] || 6/5
|-
| [[正規分布]] || 0
|-
| [[二乗余弦分布]] || &minus;0.593762…
|-
| [[ウィグナー半円分布]] || &minus;1
|-
| [[連続一様分布|一様分布]]|| &minus;6/5
|}
上記の分布の[[歪度]]は、全て 0 である。

==注釈==
{{Notelist}}
== 出典 ==
<references/>

==参考文献==
* A Dictionary of Statistical Terms, 4th edition(Kendall, Maurice G.；Buckland, William R.)
**ケンドール　統計学用語辞典 (訳 千葉大学統計グループ)  (丸善) ISBN 4621032038
* {{Cite book|和書|author=西岡康夫|year=2013|title=数学チュートリアル やさしく語る 確率統計|publisher=[[オーム社]]|isbn=9784274214073|ref={{sfnref|西岡}}}}
* {{Cite book|和書|author=日本数学会|authorlink=日本数学会|year=2007|title=数学辞典|publisher=[[岩波書店]]|isbn=9784000803090|ref={{sfnref|数学辞典}}}}
* {{citation |year=1999 | title=JIS Z 8101-1:1999 統計 − 用語と記号 − 第1部:確率及び一般統計用語 | publisher=[[日本規格協会]] | publisherlink=kikakurui.com | url=http://kikakurui.com/z8/Z8101-1-1999-01.html | ref={{sfnref|JIS Z 8101-1 : 1999}}}}
* {{citation |year=2015 | title=JIS Z 8101-1:2015 統計 − 用語と記号 − 第1部:確率及び一般統計用語 | publisher=[[日本規格協会]] | publisherlink=www.jsa.go.jp  | ref={{sfnref|JIS Z 8101-1 : 2015}}}}
* {{Cite book|和書|author=伏見康治|authorlink=伏見康治|year=1942|title=確率論及統計論|publisher=[[河出書房]]|isbn=9784874720127|url=http://ebsa.ism.ac.jp/ebooks/ebook/204| ref={{sfnref|伏見}}}}

==関連項目==
* [[歪度]] - [[ゆがみ]]
* [[統計量]] - [[要約統計量]]

{{DEFAULTSORT:せんと}}
[[Category:統計量]]
[[Category:確率論]]
[[Category:数学に関する記事]]