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[[数論]]における'''尖点表現'''（せんてんひょうげん、{{lang-en-short|''cuspidal representations''}}; カスプ表現）は ''L''<sup>2</sup>-空間に離散的に現れる[[代数群]]の[[群の表現|表現]]の一種である。「尖点的」というのは、それが古典的な[[モジュラー形式]]論に関する[[尖点形式]]に関係することに由来する。[[保型表現]]の現代的な定式化では、正則函数の表現の代わりに、[[アデール的代数群|アデール代数群]]の[[表現論|表現]]を考えうる。

考えている群が[[一般線型群]] ''GL''<sub>2</sub> のときの尖点表現は、[[尖点形式]]と[[マース形式]]に直接に関係する。尖点形式の場合については、各[[ヘッケ固有形式]]（[[アトキン＝レーナーの新形式]]）が尖点表現に対応する。

== 定式化 ==
''G'' を[[数体]] ''K'' 上の[[簡約群|簡約]][[代数群]]とし、'''A''' を ''K'' の[[アデール環]]とする。また、''Z'' を ''G'' の[[群の中心|中心]]、&omega; を ''Z''(''K'')\Z('''A''')<sup>&times;</sup> から '''C'''<sup>&times;</sup> への[[連続写像|連続]][[指標 (群論)|ユニタリ指標]]とし、アデール群 ''G''('''A''') 上の[[ハール測度]]を固定して、''G''('''A''') 上の複素数値可測函数 ''f'' で以下を満たすもの全体の成す[[ヒルベルト空間]]を <math>L^2_0(G(K)\backslash G(\mathbb{A}), \omega)</math> と書く。
#すべての <math>\gamma; \in G(K)</math> に対して、<math>f(\gamma g) = f(g)</math> である。
#すべての <math>z \in Z(\mathbb{A})</math>に対して、<math>f(gz) = f(g)\omega (z)</math> である。
#<math>\int_{Z(\mathbf{A})G(K)\backslash G(\mathbf{A})}|f(g)|^2\,dg < \infty</math>
# ''G''('''A''') の任意の真の[[抛物型部分群]]に関する任意の[[冪単根基]] ''U'' に対して <math>\int_{U(K)\backslash U(\mathbf{A})}f(ug)\,du=0</math> を満たす。
この空間を ''G''('''A''') 上の'''中心指標 &omega; を持つ尖点形式'''全体の成す空間といい、この空間に属する函数を'''尖点函数'''と呼ぶ。この空間は ''g'' ∈ ''G''('''A''') の尖点函数 ''f'' への[[群作用|作用]]を
:<math>(g\cdot f)(x)=f(xg)</math>
で与えることにより、アデール代数群 ''G''('''A''') の[[ユニタリ表現]]になる。中心指標 &omega; を持つ尖点形式の空間は[[ヒルベルト空間の直和]]
:<math>L^2_0(G(K)\backslash G(\mathbf{A}),\omega)=\hat{\bigoplus\limits_{(\pi,V_\pi)}}m_\pi V_\pi</math>
に分解される。ここで和は ''L''{{su|p=2|b=0}}(''G''(''K'')\''G''('''A'''), &omega;) のすべての[[既約表現|既約部分表現]] に亘ってとるものとし、''m''<sub>&pi;</sub> は正の[[整数]]とする（つまり、各既約表現は'''有限'''な重複度で現れる）。''G''('''A''') の'''尖点表現''' は、表現 (&pi;, ''V'') の、適当な中心指標に対してこのように得られる部分表現をいう。

上記の分解に現れる重複度 ''m''<sub>&pi;</sub> が全て 1 に等しい群は、[[重複度一性]]を持つという。

== 参考文献 ==
* {{citation|first1=I. N. |last1=Bernšteĭn|first2= A. V. |last2=Zelevinskiĭ. |title=Representations of the group GL(n; F); where F is a local non-Archimedean field |series= Uspehi Mat. Nauk |volume= 31|year= 1976}}
*James W. Cogdell, Henry Hyeongsin Kim, Maruti Ram Murty. ''Lectures on Automorphic L-functions'' (2004), Chapter 5.

== 外部リンク ==
* {{citation|format=pdf|title=p進体上の簡約代数群の admissible 表現論入門|author=高橋哲也|series=Rokko Lectures in Mathematics |vol=4 |publisher=神戸大学理学部数学教室 |year=1998 |isbn=4-907719-04-3}}
* {{citation|format=pdf|title=保型形式入門|author=今野拓也|url=http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~takuya/papers/Lecture.pdf|year=2004}} 第三章 非アルキメデス局所理論
* {{citation|format=pdf|title=GL2 上の保型形式とL函数|author=今野拓也|url=http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~takuya/papers/JLnote.pdf|year=2008}} 第16回 整数論サマースクール 報告原稿

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