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'''尤度比検定'''（ゆうどひけんてい、{{lang-en-short|likelihood ratio test}}）とは、[[尤度比]]を[[検定統計量]]として用いる[[統計学的検定]]の総称である。

[[検定統計量]]とは検定に用いる[[統計量]]（[[標本]]データの関数）であり、その値が予め決めた[[有意水準]]より小さいならば[[帰無仮説]]を[[棄却]]する検定を行う。

==尤度比による検定==
単純二仮説の場合には[[尤度比]]検定は[[一様最強検出力検定]]となる（[[ネイマン・ピアソンの補題]]）。

一般の場合には、尤度比  &Lambda; とは、[[帰無仮説]]が成り立つとした条件下での[[尤度関数]]の最大値を、その条件がない場合の尤度関数の最大値で割った比をいう。帰無仮説が成り立つとすると、普通の[[確率分布]]族に対して、 &minus;2 log &Lambda; が特に便利な漸近的分布となる。

統計モデルとして[[母数]]の決まった確率密度（または質量）関数族 ''f''<sub>&theta;</sub>(''x'') を用い、帰無仮説として「母数 &theta; は[[母数空間]]&Theta;の特定の[[部分集合]] &Theta;<sub>0</sub> に含まれる」とすることが多い。尤度比<math>\Lambda(x)</math>は ''L''(&theta;) = ''L''(&theta;| ''x'') = p(''x''|&theta;) = ''f''<sub>&theta;</sub>(''x'') で、''x'' を特定の値（実際の測定データ）に固定した上での母数 &theta; の関数である。すなわち、
:<math>\Lambda(x)=\frac{\sup\{\,L(\theta\mid x):\theta\in\Theta_0\,\}}{\sup\{\,L(\theta\mid x):\theta\in\Theta\,\}}</math>
<!--これはデータ ''x'' の関数、すなわち統計量である。'''尤度比検定'''とは、この統計量の値が予め決めた有意水準より小さいならば帰無仮説を棄却するというものである。-->

[[Z検定]]<ref>{{Cite web|和書|url = http://starpentagon.net/analytics/z_test_via_lrt/|title = 有意に無意味な話: 正規母集団（分散既知）の平均に関する検定の導出|accessdate = 2017-12-18}}</ref>、[[F検定]]<ref>{{Cite web|和書|url = http://starpentagon.net/analytics/f_test_via_lrt/|title = 有意に無意味な話: 正規母集団の等分散性に関する検定の導出|accessdate = 2017-12-18}}</ref>、[[ピアソンのカイ二乗検定]]、[[G検定]] など多くの普通用いられる検定法は、尤度比の[[対数]]（対数尤度）を用いた検定、もしくはそれの近似とみることができる。

たとえば、帰無仮説が正しく、''n'' 個の一連の[[独立 (確率論)|独立]]な同じ分布に従う[[確率変数]]を観測するものとすれば、[[標本 (統計学)|標本]]サイズ ''n'' を無限大にすれば[[検定統計量]] &minus;2&nbsp;log&nbsp;&Lambda; は漸近的に[[カイ二乗分布]]（その[[自由度]]は &Theta; と &Theta;<sub>0</sub> の次元の差に等しい）となる。

このような近似は[[コンピュータ]]がなかった時代には非常に有用であったが、現在は他の方法が正確で有用な場合もある。

==例==
ピアソンのカイ二乗検定を使って、2枚のコインで表が出る確率が同じかどうかを比較しよう。観察結果は[[分割表]]（行がコイン、列が表H・裏T）に書ける。表の要素は、その行のコインで表、裏が出た回数である。表の内容が観察 ''X''である。
<table align=center>
<tr>
  <td></td>
  <td> '''表(H)''' </td>
  <td> '''裏(T)'''</td>
</tr><tr>
  <td> '''コイン1''' </td>
  <td align=center> ''k''<sub>1H</sub> </td>
  <td align=center> ''k''<sub>1T</sub> </td>
</tr><tr>
  <td> '''コイン2''' </td>
  <td align=center> ''k''<sub>2H</sub> </td>
  <td align=center> ''k''<sub>2T</sub> </td>
</tr>
</table>
ここで &omega; は母数''p''<sub>1''H''</sub> 、''p''<sub>1''T''</sub> 、''p''<sub>2''H''</sub> および''p''<sub>2''T''</sub> （コイン1(2)で表H(裏T)が出る確率）からなる。仮説[[空間]]''H'' は''p''<sub>''ij''</sub> &ge; 0、 ''p''<sub>''ij''</sub> &le; 1 で ''p''<sub>''iH''</sub> + ''p''<sub>''iT''</sub> = 1 という分布の条件により定義される。帰無仮説 ''H''<sub>0</sub> は ''p''<sub>1''j''</sub> = ''p''<sub>2''j''</sub> となる[[部分空間]]である。（以上で ''i'' = 1,2 、 ''j'' = ''H'',''T'' ）

仮説と帰無仮説は望みの分布に合うように、対数尤度比に対する条件を満たす形で少し書き換えることができる。条件により2次元の ''H'' は1次元の ''H''<sub>0</sub> に減らされるから、検定に対応する漸近的分布は &chi;<sup>2</sup>(1)（自由度1の &chi;<sup>2</sup> 分布）となる。

一般の分割表では、対数尤度比統計量は次のように書ける：
:<math>-2 \log \Lambda = \sum_{i,j} k_{ij} \log {p_{ij} \over m_{ij}} </math>

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist|1}}

== 関連項目 ==
* [[尤度関数]]

{{統計学}}
{{デフォルトソート:ゆうとひけんてい}} 
[[Category:統計検定]]
[[Category:数学に関する記事]]