局所コンパクト群のソースを表示

{{No footnotes|date=March 2011}}
[[数学]]において、'''局所コンパクト群''' (きょくしょコンパクトぐん、{{Lang-en-short|locally compact group}}) とは、[[位相空間]]として[[局所コンパクト]]かつ[[ハウスドルフ空間|ハウスドルフ]]な[[位相群]] ''G'' である。数学で現れる群の多くの例は局所コンパクトでありそのような群は[[ハール測度]]と呼ばれる自然な[[測度]]を持っているから局所コンパクト群は重要である。これによって ''G'' 上の[[ボレル測度|ボレル可測]]関数の[[積分]]を定義することができ[[フーリエ変換]]や [[Lp空間|<math>L^p</math> 空間]]といった標準的な解析学の概念を一般化することができる。

[[有限群]]の[[群の表現|表現論]]の結果の多くは群上平均化することによって証明される。コンパクト群に対しては、これらの証明の修正は正規化された{{仮リンク|ハール積分|en|Haar integral}}に関して平均を取ることによって類似の結果をもたらす。一般の局所コンパクト群では、そのような技術が使えるとは限らない。得られる理論は[[調和解析]]の中心的な部分である。局所コンパクト[[アーベル群]]の表現論は[[ポントリャーギン双対]]によって記述される。

==例と反例==
*任意の[[コンパクト群]]は局所コンパクトである。
*任意の[[離散群]]は局所コンパクトである。したがって局所コンパクト群の理論は通常の群の理論を含む。任意の群には[[離散位相]]を与えることができるからである。
*局所的にユークリッド的な[[リー群]]は局所コンパクト群である。
*ハウスドルフ[[位相線型空間]]が局所コンパクトであることと[[有限次元]]であることは同値である。
*[[有理数]]の加法群 '''Q''' は[[実数]]の部分集合として[[相対位相]]を与えると局所コンパクトではない。離散位相を与えると局所コンパクトである。
*任意の[[素数]] ''p'' に対して [[p進数|''p'' 進数]]の加法群 '''Q'''<sub>''p''</sub> は局所コンパクトである。

==性質==
等質性により、位相群に対する局所コンパクト性は単位元においてのみ確認すればよい。つまり、群 ''G'' が局所コンパクトであることと単位元が[[コンパクト空間|コンパクトな]][[近傍 (位相空間論)|近傍]]を持つことは同値である。各点においてコンパクトな近傍の[[近傍系|局所基]]が存在することが従う。

局所コンパクト群のすべての[[閉集合|閉]][[部分群]]は局所コンパクト群である。（有理数の群が示しているように閉という条件は必要である。）逆に、ハウスドルフ群のすべての局所コンパクト部分群は閉である。局所コンパクト群のすべての[[商群]]は局所コンパクトである。局所コンパクト群の族の[[群の直積|直積]]が局所コンパクトであることと有限個を除くすべての因子が実はコンパクトであることは同値である。

位相群は位相空間として常に{{仮リンク|完全正則|en|completely regular}}である。局所コンパクト群は[[正規空間|正規]]というより強い性質を持つ。

すべての[[第二可算]]な局所コンパクト群は位相群として[[距離化可能]]（すなわち位相と両立する左不変な距離を与えることができる）であり[[完備空間|完備]]である。

== 関連項目 ==

* [[局所コンパクト空間]]
* {{仮リンク|局所コンパクト体|en|Locally compact field}}
* {{仮リンク|局所コンパクト量子群|en|Locally compact quantum group}}

==参考文献==
* {{citation|title=A Course in Abstract Harmonic Analysis|first=Gerald B.|last= Folland|publisher=CRC Press|year= 1995|isbn=978-0-8493-8490-5}}.

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[[Category:位相群]]
[[Category:数学に関する記事]]
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