局所同相写像のソースを表示

[[数学]]、具体的には[[位相幾何学]]において、'''局所同相写像''' (local homeomorphism) は直感的には[[位相空間]]の間の局所的な構造を保つ[[関数 (数学)|関数]] ''f'' である。

==正式な定義==
''X'' と ''Y'' を[[位相空間]]とする。[[関数 (数学)|関数]] <math>f : X \to Y\,</math> は次のとき'''局所同相写像''' (local homeomorphism) である<ref>{{cite book | last=Munkres | first=James R. | authorlink=James Munkres | title=Topology | edition=2nd | publisher=[[Prentice Hall]] | year=2000 | isbn=0-13-181629-2}}</ref>。すべての点 ''x'' &isin; ''X'' に対して、''x'' を含む[[開集合]] ''U'' が存在し、[[像 (数学)|像]] <math>f(U)</math> が ''Y'' において開でありかつ[[制限 (数学)|制限]] <math>f|_U : U\to f(U)\,</math> が[[同相写像]]である。

==例==
定義によって、すべての同相写像は'''局所同相写像'''でもある。

''U'' が ''Y'' の開部分集合で[[部分空間 (トポロジー)|部分空間位相]]が入っていれば、包含写像 ''i'' : ''U'' → ''Y'' は局所同相写像である。ここで開であることは本質的である： ''Y'' の開でない部分集合の包含写像は決して局所同相写像をうまない。

すべての[[被覆空間|被覆写像]]は局所同相写像である； 特に、空間 ''Y'' の[[普遍被覆]] ''p'' : ''C'' &rarr; ''Y'' は局所同相写像である。ある状況において逆が正しい。例えば： ''X'' がハウスドルフで ''Y'' が[[局所コンパクト]]かつハウスドルフで ''p'' : ''X'' → ''Y'' が [[:en:proper map|proper]] 局所同相写像であれば、''p'' は被覆写像である。

''f'' : ''S''<sup>1</sup> → ''S''<sup>1</sup> を[[円 (数学)|円]]を ''n'' 回巻く（すなわち[[回転数 (数学)|回転数]] ''n'' を持つ）写像とする。これはすべての 0 でない ''n'' に対して局所同相写像であるが、[[全単射]]すなわち ''n'' = 1 あるいは -1 の場合にのみ同相写像である。

複素[[正則関数|解析的]]関数 ''f'' はちょうど[[微分]] ''f''&nbsp;&prime;(''z'') が ''f'' の定義域のすべての ''z'' に対して 0 でないときに局所同相写像を与えることが[[複素解析学]]において示される。0 の周りの開円板上の関数 ''f''(''z'') = ''z''<sup>''n''</sup> は ''n'' が 2 以上のとき 0 において局所同相写像でない。このとき 0 は「[[分岐 (数学)|分岐]]」の点である（直感的には、''n'' 枚のシートがそこで一緒になっている）。

==性質==
すべての局所同相写像は[[連続関数 (位相空間論)|連続]]かつ[[開写像]]である。[[全単射]]な局所同相写像はしたがって同相写像である。

局所同相写像  ''f'' : ''X'' → ''Y'' は「局所的な」位相的性質を保つ：
* ''X'' が[[局所連結空間|局所連結]]であることと ''f''(''X'') がそうであることは同値である
* ''X'' が[[局所連結空間|局所弧状連結]]であることと ''f''(''X'') がそうであることは同値である
* ''X'' が[[局所コンパクト]]であることと ''f''(''X'') がそうであることは同値である
* ''X'' が[[第一可算空間|第一可算]]であることと ''f''(''X'') がそうであることは同値である

''f'' : ''X'' → ''Y'' が局所同相写像で ''U'' が ''X'' の開部分集合であれば、制限 ''f''|<sub>''U''</sub> もまた局所同相写像である。

''f'' : ''X'' → ''Y'' と ''g'' : ''Y'' → ''Z'' が局所同相写像であれば、合成 ''gf'' : ''X'' → ''Z'' もまた局所同相写像である。

[[終域]] ''Y'' の局所同相写像全体は ''Y'' 上の集合の[[層 (数学)|層]]全体と自然な 1 対 1 対応がある。さらに、終域 ''Y'' のすべての連続写像は自然な方法で終域 ''Y'' の一意的に定義される局所同相写像を生じる。このすべては[[層 (数学)|層]] ([[:en:sheaf (mathematics)|sheaf]]) の記事において詳細に説明される。

==関連項目==
*[[局所微分同相写像]]

==参考文献==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist}}

{{DEFAULTSORT:きよくしよとうそうしやそう}}
[[Category:同相写像]]
[[Category:一般位相]]
[[Category:数学に関する記事]]