局所定数関数のソースを表示

{{Unreferenced|date=December 2009}}
[[数学]]において、[[位相空間]] ''A'' から[[集合]] ''B'' への[[写像]] ''f'' が'''局所定数'''（きょくしょていすう、{{lang-en-short|locally constant}}）とは、すべての ''a'' &isin; ''A'' に対して、''a'' のある[[近傍 (位相空間論)|近傍]] ''U'' が存在して、''f'' が ''U'' 上定数となることである。

== 性質 ==
* すべての[[定数関数]]（定値写像）は局所定数である。
* '''R''' から任意の集合 ''M'' へのすべての局所定数関数は定数関数である。なぜならば、'''R''' は[[連結空間|連結]]であり、2つ以上の[[素集合|互いに素な]][[開集合]]で[[集合の被覆|覆う]]ことができないからである。
* ''M'' が[[複素平面]] '''C''' の連結開集合であれば、すべての局所定数[[正則関数]] <math>f\colon M \to \mathbb C</math> は定数関数である。
* ''f'': ''A'' → ''B'' が局所定数であれば、''A'' の任意の[[連結空間|連結成分]]上定数である。逆は[[局所連結空間]]（連結成分が開になる）に対しては正しい。
* 位相空間から[[離散空間]]への写像が[[連続写像|連続]]であることと局所定数であることは同値である。
* 離散空間から位相空間への任意の写像は局所定数である。
* 1つの空間上の局所定数関数全体の集合は自然に[[可換環]]の[[層 (数学)|層]]をなす。

== 例 ==
* [[実数]]全体 '''R''' から '''R''' へのすべての局所定数関数は '''R''' の[[連結空間|連結性]]によって定数である。しかし、[[有理数]]全体 '''Q''' から '''R''' への関数 ''f'' を、''x'' < {{π}} に対して ''f''(''x'') = 0, ''x'' > {{π}} に対して ''f''(''x'') = 1 と定義すれば、''f'' は局所定数である（ここで次の事実を用いた：{{π}} は[[無理数]]であるから、2つの集合 {''x''∈'''Q''' : ''x'' < {{π}}} および {''x''∈'''Q''' : ''x'' > {{π}}} はともに '''Q''' の[[開集合]]である）。
* 関数 <math>g\colon \R \setminus\{0\} \to \R</math> を、''x'' < 0 に対して ''g''(''x'') = 0, ''x'' > 0 に対して ''g''(''x'') = 1 と定義すれば、''g'' は局所定数である。
* [[符号関数]]は局所定数ではない。
* [[階段関数]]は（定数でなければ）局所定数ではないが、''[[区分的]]に定数''である。
* [[被覆写像]] ''p'': ''C'' → ''X'' が与えられると、''X'' の各点 ''x'' に、''x'' 上の[[ファイバー (数学)|ファイバー]] ''p''<sup>−1</sup>(''x'') の[[濃度 (数学)|濃度]]を割り当てることができる。この割り当ては局所定数である。
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==Connection with sheaf theory==
There are ''sheaves'' of locally constant functions on ''X''. To be more definite, the locally constant integer-valued functions on ''X'' form a [[sheaf (mathematics)|sheaf]] in the sense that for each open set ''U'' of ''X'' we can form the functions of this kind; and then verify that the sheaf ''axioms'' hold for this construction, giving us a sheaf of [[abelian group]]s (even [[commutative ring]]s). This sheaf could be written ''Z''<sub>''X''</sub>; described by means of ''stalks'' we have stalk ''Z''<sub>''x''</sub>, a copy of ''Z'' at ''x'', for each ''x'' in ''X''. This can be referred to a ''constant sheaf'', meaning exactly ''sheaf of locally constant functions'' taking their values in the (same) group. The typical sheaf of course isn't constant in this way; but the construction is useful in linking up [[sheaf cohomology]] with [[homology theory]], and in logical applications of sheaves. The idea of [[local coefficient system]] is that we can have a theory of sheaves that ''locally'' look like such 'harmless' sheaves (near any ''x''), but from a global point of view exhibit some 'twisting'.
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[[Category:層の理論]]
[[Category:位相空間論]]
[[Category:数学に関する記事]]