局所微分同相写像のソースを表示

[[数学]]、より具体的には[[微分トポロジー]]において、'''局所微分同相写像'''（きょくしょびぶんどうそうしゃぞう、{{lang-en-short|local diffeomorphism}}）は直感的には局所{{仮リンク|可微分構造|en|differentiable structure}}を保つ[[滑らかな多様体]]の間の[[関数 (数学)|関数]]である。局所微分同相写像の正式な定義は下で与えられる。

== 定義 ==
{{mvar|X}} と {{mvar|Y}} を[[可微分多様体]]とする。[[関数 (数学)|関数]]
:<math>f : X \to Y\,</math> 

が'''局所微分同相写像''' {{en|(local diffeomorphism)}} であるとは、各点 {{math|''x'' &isin; ''X''}} に対して、{{mvar|x}} を含む[[開集合]] {{mvar|U}} が存在して、
:<math>f(U) \,</math> 

が {{mvar|Y}} において開で
:<math>f|_U : U\to f(U)\,</math> 

が[[微分同相写像]]ということである。

== 議論 ==

例えば、すべての多様体は位相的な意味で（ある {{mvar|n}} に対して {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} と）局所的には同じに見えるにもかかわらず、それらの可微分構造が局所的に同じように振る舞うかどうかを問うことは自然である。例えば、{{math|'''R'''}} を可微分多様体にする 2 つの異なる{{仮リンク|可微分構造|en|differentiable structure}}を {{math|'''R'''}} に課すことができるが、両方の構造は局所的に微分同相でない（[[#性質|下を見よ]]）。局所微分同相写像は局所的に可微分構造を保存するのであるが定義域が（滑らかな）[[滑らかな多様体|多様体]]全体であることを保証するようにこれらの（局所）微分同相写像を {{en|"patch up"}} することができなければならない、ということにも注意しよう。例えば、2 次元球面から 2 次元ユークリッド空間への局所微分同相写像はそれらが確かに同じ局所的可微分構造をもつにもかかわらず存在しえない。これはなぜならば、すべての局所微分同相写像は連続であり、[[コンパクト空間]]の連続像はコンパクトであり、球面はコンパクトだが 2 次元ユークリッド空間はコンパクトでないからである。

== 性質 ==

* すべての局所微分同相写像は[[局所同相写像]]でもあり、したがって[[開写像]]である。

* 局所微分同相写像は定数{{仮リンク|ランク (微分トポロジー)|label=ランク|en|Rank (differential topology)}} {{mvar|n}} を持つ。

* [[微分同相写像]]は[[全単射]]な局所微分同相写像である。

* 滑らかな[[被覆写像]]は終域のすべての点が写像によって'''均等に被覆されている''' {{en|(evenly covered)}} 近傍を持つような局所微分同相写像である。

* [[逆関数定理]]によって、滑らかな写像 {{math|''f'' : ''M'' → ''N''}} が局所微分同相写像であることと{{仮リンク|プッシュフォワード|label=微分|en|pushforward (differential)}} {{math|''Df<sub>p</sub>'' : ''T<sub>p</sub>M'' → ''T''<sub>''f''(''p'')</sub>''N''}} がすべての点 {{math|''p'' &isin; ''M''}} に対して線型同型写像であることは同値である。これは {{mvar|M}} と {{mvar|N}} が同じ次元を持たなければならないことを意味することに注意しよう。

== 局所フロー微分同相写像<!--Local flow diffeomorphisms--> ==
{{Empty section|date=2010年7月}}

== 関連項目 ==

* {{仮リンク|時空の対称性|en|Spacetime symmetries}}

== 参考文献 ==
{{参照方法|date=2023年9月}}
* {{Citation | last1=Michor | first1=Peter W. | title=Topics in differential geometry | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | series=Graduate Studies in Mathematics | isbn=978-0-8218-2003-2 |mr=2428390 | date=2008 | volume=93}}.

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[[Category:微分同相写像]]
[[Category:逆写像]]
[[Category:微分位相幾何学]]
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