局所有限測度のソースを表示

{{Unreferenced|date=December 2013}}

[[数学]]の[[測度論]]の分野における'''局所有限測度'''（きょくしょゆうげんそくど、{{Lang-en-short|locally finite measure}}）とは、その[[測度空間]]のすべての点が測度[[有限]]な[[近傍 (位相空間論)|近傍]]を持つようなある[[測度]]のことを言う。

== 定義 ==

(''X'', ''T'') をある[[ハウスドルフ空間|ハウスドルフ]][[位相空間]]とし、&Sigma; を ''X'' 上の [[完全加法族|σ-代数]]で位相 ''T'' を含むようなものとする（したがってすべての[[開集合]]は[[可測集合]]であり、&Sigma; は少なくとも ''X'' 上の[[ボレル集合|ボレル σ-代数]]と同程度良質なものである）。&Sigma; 上で定義されるある測度／[[符号付測度]]／[[複素測度]] ''&mu;'' が'''局所有限'''であるとは、空間 ''X'' のすべての点 ''p'' に対して、''&mu;''-測度が有限となるようなある開[[近傍]] ''N''<sub>''p''</sub> が存在することを言う。

より簡潔に記号で表現すると、''&mu;'' が局所有限であるとは

:<math>\forall p \in X, \exists N_{p} \in T \mbox{ s.t. } p \in N_{p} \mbox{ and } \left| \mu (N_{p}) \right| < + \infty </math>

が成立することを言う。

== 例 ==

# ''X'' 上の任意の[[確率測度]]は局所有限である。なぜならばそれは単位測度を全空間に割り当てるからである。同様に、有限測度を全空間に割り当てるような任意の測度は局所有限である。
# [[ユークリッド空間]]上の[[ルベーグ測度]]は局所有限である。
# 定義より、任意の[[ラドン測度]]は局所有限である。
# [[数え上げ測度]]はしばしば局所有限であるが、そうでないこともある。すなわち、通常の[[離散空間|離散位相]]を備える[[整数]]についての数え上げ測度は局所有限であるが、通常のボレル位相を備える[[実数直線]]上の数え上げ測度は局所有限ではない。

== 関連項目 ==

* [[内部正則測度]]
* [[狭義正測度]]


{{DEFAULTSORT:きよくしよゆうけんそくと}}
[[Category:測度論]]
[[Category:数学に関する記事]]