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{{要改訳}}
数学において、'''層コホモロジー'''（そうコホモロジー、sheaf cohomology）は、[[アーベル群]]の層に関連する[[層 (数学)|層の理論]]の一面であり、[[ホモロジー代数]]を用いて、層 ''F'' の[[層 (数学)#大域切断|大域切断]]の具体的な計算を可能とする。数値的な領域での幾何学的な問題の記述として、層コホモロジーの理論は、重要な幾何学的な不変量の次元を計算することへ有用なツールとして使うことができる。

1950年以後の数年間で急速に発展した層コホモロジーは、[[リーマン・ロッホの定理]]のより古典的な方法や代数幾何学の{{仮リンク|因子の一次系|en|linear system of divisors}}(linear system of divisors)の解析や[[多変数複素函数|多変数複素函数論]]や[[ホッジ理論]]へ結びついた。層コホモロジー群のランク、もしくは次元は、幾何学的なデータの新しい情報源になったり以前の研究の新しい解釈を与えたりする。
<!--In [[mathematics]], '''sheaf cohomology''' is the aspect of [[sheaf theory]], concerned with sheaves of [[abelian group]]s, that applies [[homological algebra]] to make possible effective calculation of the [[global section]]s of a sheaf ''F''. This is the main step, in numerous areas, from sheaf theory as a description of a geometric problem, to its use as a tool capable of calculating dimensions of important geometric invariants.

Its development was rapid in the years after 1950, when it was realised that sheaf cohomology was connected with more classical methods applied to the [[Riemann-Roch theorem]], the analysis of a [[linear system of divisors]] in [[algebraic geometry]], [[several complex variables]], and [[Hodge theory]]. The dimensions or ranks of sheaf cohomology groups became a fresh source of geometric data, or gave rise to new interpretations of older work.-->

== ひとつの動機 ==
位相空間 ''X'' 上の層 <math>\mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{C}</math> の短完全系列とは、
:<math>0\ \rightarrow\mathcal{A}\ \stackrel{\varphi}{\rightarrow}\ \mathcal{B}\ \stackrel{\psi}{\rightarrow}\ \mathcal{C}\ \rightarrow\ 0</math>
が完全列である場合をいう。すなわち、<math>\varphi</math> が単射で、<math>\psi</math> が全射で、<math>\operatorname{Im}\varphi=\operatorname{Ker}\psi</math> が成立することである。この系列が完全系列であることと、<math>\varphi</math> が単射であり、かつ、<math>\mathcal{C}\cong\mathcal{B}/\mathcal{A}</math> であることとは同値である。この短完全系列からは、層の切断の系列が導出される。
:<math>0\ \rightarrow\ \Gamma(X, \mathcal{A})\ \stackrel{\varphi_*}{\rightarrow}\ \Gamma(X, \mathcal{B})\ \stackrel{\psi_*}{\rightarrow}\ \Gamma(X, \mathcal{C})</math>
が得られる。しかしながら、一般に <math>\psi_*</math> が全射であるとは限らない。この系列の右側にどのような系列を補完すると、長完全系列が出来上がるのかということが、層コホモロジーの動機のひとつである。代表的な例として、[[クザン問題]]がある。

==定義==

===チェックコホモロジー===
{{Main| {{仮リンク|チェックコホモロジー|en|Čech cohomology}}}}
<!--==Definitions==

===The approach of Čech cohomology===
{{Main| Čech cohomology}}-->

最初に定義された層コホモロジーのバージョンは、{{仮リンク|チェックコホモロジー|en|Čech cohomology}}(Čech cohomology)を基礎とし、そこでは、[[位相空間]] ''X'' の[[開集合]] ''U'' の属する小さな変換が、前もって固定されているアーベル群 ''A'' の上というよりも ''U'' 上で変化するアーベル群 ''F''(''U'') とされている。このことは、[[コチェイン]]が具体的に書き下すことが容易であることを意味し、実際、[[有理型函数]]の[[クザン問題]]のような典型的な応用が、数学の領域の中で有名な一群をなす。層の観点からは、チェック理論は、''A'' に値を持つ[[局所定数函数]]への層の制限である。層の理論の中では、[[基本群]]がその上で作用する{{仮リンク|局所係数|en|local coefficients}}をもつような、つまり、より一般的な係数の非常に異なった種類を持つツイストしたバージョンと見ることをも含んでいる。
<!--The first version of sheaf cohomology to be defined was that based on [[Čech cohomology]], in which the relatively small change was made of attributing to an [[open set]] ''U'' of a [[topological space]] ''X'' an abelian group ''F''(''U'') that 'varies' with ''U'', rather than an abelian group ''A'' that is fixed ahead of time. This means that [[cochain]]s are easy to write down rather concretely; in fact the model applications, such as the [[Cousin problems]] on [[meromorphic function]]s, stay within fairly familiar mathematical territory. From the sheaf point of view, the Čech theory is the restriction to sheaves of [[locally constant function]]s with values in ''A''. Within sheaf theory it is easy to see that 'twisted' versions, with [[local coefficients]] on which the [[fundamental group]] acts, are also subsumed &mdash; along with some very different sorts of more general coefficients.-->

この理論の一つの問題は、X 自体が{{仮リンク|うまく振舞う|label=うまく振る舞わ|en|well-behaved}}(well-behaved)ないと チェックコホモロジーが良い性質を持たないということである。このことは、X が[[多様体]]のような場合は困難ではないが、[[ザリスキー位相]]が一般には[[ハウスドルフ空間|ハウスドルフ的]]ではないので、代数幾何学への応用では困ることになる。チェックコホモロジーの問題は、層の[[完全系列#短完全列|短完系列]]に付随する[[コホモロジー群]]の[[完全系列#長完全列|長完全系列]]を作ることに失敗することで明白となる。実践的には、このことは計算を行うときの基本的方法（つまり、与えられた層から短完全系列を通して他のものをどのようにして導き出すかを示し、結果を求める）である。理論は暫くの間、混乱した状態であった。[[ジャン・ピエール・セール]](Jean-Pierre Serre)はチェックの理論が成り立つことを示し、他方、[[アレクサンドル・グロタンディーク]](Alexandre Grothendieck)は、長完全系列の成り立つようなより抽象的な定義を提案した。
<!--One problem with that theory was that Čech cohomology itself fails to have good properties, unless ''X'' itself is [[well-behaved]]. This is not a difficulty in case ''X'' is something like a [[manifold]]; but embarrassing for applications to algebraic geometry, since the [[Zariski topology]] is in general not [[Hausdorff space|Hausdorff]]. The problem with the Čech theory manifests itself in the failure of the [[long exact sequence]] of [[cohomology group]]s associated to a [[short exact sequence]] of sheaves. This in practice is the basic method of attacking a calculation (i.e. to show how a given sheaf is involved with others in a short exact sequence, and draw consequences). The theory stood in this state of disarray only for a short while: [[Jean-Pierre Serre]] showed that the Čech theory worked, and on the other hand [[Alexandre Grothendieck]] proposed a more abstract definition that would build in the long exact sequence.-->

===導来函手による定義===

グロタンディエクの定義は[[層 (数学)#大域切断|大域切断]]
:<math>\Gamma_X: \mathcal F \mapsto \mathcal F(X)</math>
の[[導来函手]]として、層 <math>\mathcal F</math> に係数を持つ位相空間 ''X'' の層コホモロジーを定義した。

この函手は、[[完全関手|完全函手]]ではない。このことは、[[分岐点 (数学)#分岐截断|分岐切断]]の理論の他にもありふれている事実である（例えば、[[複素数]]の[[対数]]の場合、[[指数層系列]]を参照）。これは[[完全系列|左完全系列]]であり、従って、右導来函手の系列を持ち、
:<math>H^i(X, \mathcal F)\quad( i \geq 0)</math>
と書く。

これらの導来函手の[[存在定理|存在]]は、層の[[アーベル圏]]の[[ホモロジー代数]]によりもたらされ、実際、このことが理論の設定の主たる理由である。このことは[[入射分解]]を持つこととは独立である。すなわち、'''理論の中'''での計算は、'''実践的'''には短完全系列や長完全系列がより良いアイデアであり得ることを通して、単射的分解での計算が可能である。
<!--===Definition by derived functors===

The Grothendieck definition clarified the status of sheaf cohomology of a topological space ''X'' with coefficients in a sheaf <math>\mathcal F</math> as the [[derived functor|right derived functor]] of the [[Sheaf (mathematics)|global section]] functor:
:<math>\Gamma_X: \mathcal F \mapsto \mathcal F(X).</math>
This functor is not an [[exact functor]], a fact familiar in other terms from the theory of [[branch cut]]s (for example, in the case of the [[logarithm]] of a [[complex number]]: see [[exponential sequence]]). It is a [[left exact functor]], and therefore has a sequence of right derived [[functor]]s, denoted by
:<math>H^i(X, \mathcal F), i \geq 0.</math>
The [[existence theorem|existence]] of these derived functors is supplied by [[homological algebra]] of the [[abelian category]] of sheaves (and indeed this was a main reason to set up that theory). It depends on having [[injective resolution]]s; that is, ''in theory'' calculations can be done with injective resolutions, though ''in practice'' short and long exact sequences may be a better idea.-->

導来函手は任意のアサイクリックな<ref group="注釈">高次コホモロジー群が 0 となるようなコホモロジー</ref>分解へ函手を適用し、複体のコホモロジーを保つことで計算可能であるので、コホモロジー群を計算する方法が複数存在する。具体的な状況とは独立して、細層、軟弱層、アサイクル層が、コホモロジー群の具体的計算に使われる。{{仮リンク|単射的層|en|injective sheaf}}(injective sheaves)を参照。
<!--Because the derived functor can be computed by applying the functor to any acyclic resolution and keeping the cohomology of the complex, there are a number of other ways to compute cohomology groups. Depending on the concrete situation, fine, flasque, soft or acyclic sheaves are used to calculate concrete cohomology groups—see [[injective sheaf|injective sheaves]].-->

==応用==

結局、（{{仮リンク|ロジェ・ゴドマン|label=ゴドマン|en|Godement}}(Godement)の書籍のような）さらにテクニカルな拡張と応用の分野がある。例えば、層は[[群作用|変換群]]へ適用され、{{仮リンク|ボレル・ムーアホモロジー|en|Borel-Moore homology}}(Borel-Moore homology)の形の[[ホモロジー論]]や、{{仮リンク|ボレル・ボット・ヴェイユの定理|en|Borel-Bott-Weil theorem}}(Borel-Bott-Weil theorem)の[[表現論]]に、代数幾何学や[[複素多様体]]の標準的となっていることと同様に、影響を与えた。

[[エタール・コホモロジー]]からの特別な要求は、'''コホモロジー'''以上に'''層'''や'''層コホモロジー'''の再解釈があり、函手的なアプローチを適用して与えられる。{{仮リンク|平坦コホモロジー|en|Flat cohomology}}(Flat cohomology)、[[クリスタリン・コホモロジー]](crystalline cohomology)も基本モデルの適用として成功している。
<!--==Applications==

Subsequently there were further technical extensions (for example in [[Godement]]'s book), and areas of application. For example, sheaves were applied to [[transformation group]]s; as an inspiration to [[homology theory]] in the form of [[Borel-Moore homology]] for [[locally compact space]]s; to [[representation theory]] in the [[Borel-Bott-Weil theorem]]; as well as becoming standard in algebraic geometry and [[complex manifold]]s.

The particular needs of [[étale cohomology]] were more about reinterpreting ''sheaf'' in ''sheaf cohomology'', than ''cohomology'', given that the derived functor approach applied. [[Flat cohomology]], [[crystalline cohomology]] and successors are also applications of the basic model.-->

==オイラー標数==

層 <math>\mathcal{F}</math> のオイラー標数 <math>\chi(\mathcal{F})</math> は、
:<math> \chi(\mathcal{F}) := \textstyle\sum\limits_{i \in \mathbb{Z}_0^+} (-1)^i \,{\rm rank}\, (H^{i}(X, \mathcal F)) </math>
により定義される。
<!--==Euler characteristics==

The Euler characteristic <math>\chi(\mathcal{F})</math> of a sheaf <math>\mathcal{F}</math> is defined by

:<math> \chi(\mathcal{F}) := \sum_{i \in \mathbf{Z}_0^+} (-1)^i \,{\rm rank}\, (H^{i}(X, \mathcal F)). </math>-->

この表現は[[ベッチ数]]の[[交項級数|交代和]]としての[[オイラー標数]]の一般化であるが、この表現が意味をなすためには、2つの条件が満たされねばならない。第一は、和の各項が[[ほとんど全て]]が 0 である、つまり、ある N が存在し、<math> i \geq N </math>でコホモロジーが0である必要がある。さらに'''ランク'''は[[アーベル群のランク]]、もしくは[[ベクトル空間の次元]]のように、[[環上の加群|加群の理論]]からの [[well-defined]] な函数で、問題のコホモロジー群の有限の値となっていることである。従って、項の和の有限性とコホモロジー群の有限性という 2つの種類の{{仮リンク|固有射の有限性|label=有限性|en|Finiteness theorem for a proper morphism}}の証明が要求される。
<!--To make sense of this expression, which generalises the [[Euler characteristic]] as [[alternating sum]] of [[Betti number]]s, two conditions must be fulfilled. Firstly the summands must be [[almost all]] zero, i.e. zero for <math> i \geq N </math> for some <math> N </math>. Further, ''rank'' must be some well-defined function from [[module theory]], such as [[rank of an abelian group]] or [[vector space dimension]], that yields finite values on the cohomology groups in question. Therefore [[Finiteness theorem for a proper morphism#In étale cohomology|finiteness theorem]]s of ''two'' kinds are required.-->

[[連接層]]のような理論では、そのような定理があり、&chi;(F) の値が他の考え方（例えば、[[ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理]]や{{仮リンク|グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理|en|Grothendieck-Riemann-Roch theorem}}）から、個別の項のランクよりも容易に計算することができる。実践的には、H<sup>0</sup>(X,F) が最も興味が持たれ、他の H<sup>i</sup>(X,F) 上の消滅定理<!--これは個々の固有名詞のついた消滅定理を適用しようという意図ではなく、連接層 H<sup>0</sup>(X,F) が何らかの充分大きなインデックスに対して、0 となることを消滅定理といいたいわけである。この趣旨は英文の該当の記事の冒頭に記載されている。ここで曖昧性を回避したいわけではないので、リンクをはずします。-->によりランクを計算する一つの方法がある。この方法は、標準的な'''間接的'''な層の理論の方法で数値的な結果がもたらされる。
<!--In theories such as [[coherent cohomology]], where such theorems exist, the value of &chi;(''F'') is typically easier to compute, from other considerations (for example the [[Hirzebruch-Riemann-Roch theorem]] or [[Grothendieck-Riemann-Roch theorem]]), than the individual ranks separately. In practice it is often ''H''<sup>0</sup>(''X'',''F'') that is of most interest; one way to compute its rank is then by means of a [[vanishing theorem]] on the other ''H''<sup>''i''</sup>(''X'',''F''). This is a standard ''indirect'' method of sheaf theory to produce numerical results.-->

==特異コホモロジーとの関係==

[[局所可縮]]な位相空間に対し、A に係数を持つ[[特異コホモロジー]]群は、任意のアーベル群 A に対し、A の定数層とする層コホモロジー群に一致する<ref>Ramanan, S. ''Global Calculus''. Graduate Studies in Mathematics, vol. 65, Theorem 4.14</ref>
。
<!--==Relationship with singular cohomology==

For a [[locally contractible]] topological space, the [[singular cohomology]] groups with coefficients in ''A'' agree with the sheaf cohomology groups with the constant sheaf of ''A'', for any abelian group ''A''.<ref>Ramanan, S. ''Global Calculus''. Graduate Studies in Mathematics, vol. 65, Theorem 4.14</ref>
-->

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Notelist}}
=== 出典 ===
{{reflist}}

==参考文献==
[[層 (数学)|層]]のほとんどの参考文献は層コホモロジーを扱っている。例えば、
* {{Citation | last1=Griffiths | first1=Phillip | author1-link=Phillip Griffiths | last2=Harris | first2=Joseph | author2-link=Joe Harris (mathematician) | title=Principles of algebraic geometry | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | series=Wiley Classics Library | isbn=978-0-471-05059-9 |mr=1288523 | year=1994}}, emphasizing the theory in the context of [[complex manifold]]s
* {{Citation | last1=Hartshorne | first1=Robin | author1-link=Robin Hartshorne | title=[[Algebraic Geometry (book)|Algebraic Geometry]] | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-90244-9 | oclc=13348052 |mr=0463157 | year=1977}}, in the algebraic-geometric setting, i.e. referring to the [[Zariski topology]]
* {{Citation | last1=Iversen | first1=Birger | title=Cohomology of sheaves | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Universitext | isbn=978-3-540-16389-3 |mr=842190 | year=1986}}, in the topological setting
* The [http://mathoverflow.net/questions/1151/sheaf-cohomology-and-injective-resolutions thread] "Sheaf cohomology and injective resolutions" on [[MathOverflow]]

{{DEFAULTSORT:そうこほもろしい}}
[[Category:コホモロジー論]]
[[Category:ホモロジー代数]]
[[Category:層の理論]]
[[Category:代数幾何学の位相的方法]]
[[Category:数学に関する記事]]