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数学において、'''巡回加群'''（じゅんかいかぐん、{{lang-en-short|cyclic module}}）とは、1つの元で生成される[[環上の加群|加群]]のことである。

== 定義 ==
[[環 (数学)|環]] ''R'' 上の左加群 ''M'' が巡回加群であるとは、ある ''x'' &isin; ''M'' が存在して、<math>M=Rx:=\{rx\mid r\in R\}</math> となることである。右加群についても同様に定義される。

== 例 ==
* [[正則加群]] <sub>''R''</sub>''R'' は巡回 ''R''-加群である。
* [[巡回群]]は巡回 ''Z''-加群である。
* [[単純加群]]は巡回加群である。
* [[代数的閉体]] ''F'' 上の[[線型空間]] ''V'' をとる。[[線型作用素]] ''T'': ''V'' &rarr; ''V'' の[[固有値]] ''&lambda;'' に関する[[広義固有空間]] ''V''<sub>(''&lambda;'')</sub> は巡回 ''F''[''T'']-加群である。

== 性質 ==
''R'' を環とする。左 ''R''-加群 ''M'' が巡回加群であるための必要十分条件は、''M'' が ''<sub>R</sub>R'' の[[剰余加群]]となることである{{sfn|岩永|佐藤|2002|loc=命題2-2-4}}。具体的には、''M''&nbsp;=&nbsp;''Rx'' のとき、[[準同型定理]]より <math>Rx\cong R/\operatorname{Ann}_R(x)</math> となる。ただし、<math>\operatorname{Ann}_R(x)=\{r\in R\mid rx=0\}</math> である。

巡回 '''Z'''-加群の部分加群は再び巡回加群であるが、一般の環上の巡回加群の部分加群は巡回加群とは限らない<ref>たとえば ''R'' = ''M'' = '''Z'''[''x''] とすると、その部分加群 2''M'' + ''xM'' は巡回加群ではない。</ref>。

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book
|和書
|last1     = 岩永
|first1    = 恭雄
|last2     = 佐藤
|first2    = 眞久
|year      = 2002
|title     = [http://www.nippyo.co.jp/book/1984.html 環と加群のホモロジー代数的理論]
|edition   = 第1版
|publisher = 日本評論社
|isbn      = 4-535-78367-5
|ref       = harv
}}

{{DEFAULTSORT:しゆんかいかくん}}
[[Category:環論]]
[[Category:加群論]]
[[Category:数学に関する記事]]