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'''巡回数'''（じゅんかいすう、{{lang-en-short|cyclic Number}}）は、2倍、3倍、4倍...と[[乗法|乗算]]したとき（あるいは同じ数を連続して[[加法|加算]]したとき）に、その各桁の数を順序を崩さずに「巡回」させた数になる[[整数]]である。'''ダイヤル数'''ともいう。

== 例 ==
代表的な、[[142857]]で計算した例を示す。
*142857 × 1 = 142857
*142857 × 2 = 285714
*142857 × 3 = 428571
*142857 × 4 = 571428
*142857 × 5 = 714285
*142857 × 6 = 857142
となる。また、
*142857 × 7 = 999999
は 9 が並ぶ。最後の式からはこの数が <math>\frac{10^6-1}{7}</math> と表せることもわかる。

この数は 1 ÷ 7 が 0.142857142857142857... という[[循環小数]]になることと関連がある（ 0.142857142857142857...  ×  7 = 0.999... = 1 であることにも注目）。詳細は外部リンクにある[[MathWorld]]の記事などを参照。

他には 588235294117647, 52631578947368421, 434782608695652173913 などが巡回数である。({{OEIS|A180340}})

== 性質 ==
一般に、全ての巡回数は、ある[[単位分数]]を小数で表したときの循環節になっていることが証明されている。（ただし、循環節の頭に 0 がある場合の扱いは適切に定める。）

巡回数のもととなる単位分数の分母は必ず[[素数]]である。しかしその逆は成り立たない。
* ある {{math|''p'' &minus; 1}} 桁未満の 9 の列が {{math|''p''}} で割り切れるときには、素数 {{math|''p''}} からは巡回数は得られない。
:(例) 13は[[素数]]であるが {{math|{{Sfrac|13}}{{=}}0.076923076923...}} からは巡回数は得られない。これは 999999 ÷ 13 = 76923 と割り切れることから判定できる。

素数 {{math|''p''}} の逆数 {{math|{{Sfrac|''p''}}}} の循環節が巡回数になるためには、その循環節が {{math|''p'' &minus; 1}} 桁であることが必要十分である。そのような素数は、小さいものから順に [[7]], [[17]], [[19]], [[23]], [[29]], [[47]], [[59]], [[61]], [[97]], [[109]],… である。 ({{OEIS|A001913}})
* やや高度にはなるが、合同算術を用いた言い換えもある。例えば[[十進法]]においては、素数 ''p'' がこの性質を持つことは、10 が mod ''p'' における[[原始根]]の一つであることと同値である。<ref>OEIS:A001913 </ref>

== 類似の現象 ==
=== 142857の8倍以降 ===
8倍以上では規則性が崩れてしまうように思えるが、先頭の数桁を切り取って末尾に加えれば規則性が保たれる。
*142857 × {{0}}8 = 1142856 → 先頭の1を末尾の6に加える → 142857
*142857 × {{0}}9 = 1285713 → 先頭の1を末尾の3に加える → 285714
*142857 × 10 = 1428570 → 先頭の1を末尾の0に加える → 428571
*142857 × 11 = 1571427 → 先頭の1を末尾の7に加える → 571428
*142857 × 12 = 1714284 → 先頭の1を末尾の4に加える → 714285
*142857 × 13 = 1857141 → 先頭の1を末尾の1に加える → 857142
*142857 × 14 = 1999998 → 先頭の1を末尾の8に加える → 999999
*142857 × 15 = 2142855 → 先頭の2を末尾の5に加える → 142857
*142857 × 16 = 2285712 → 先頭の2を末尾の2に加える → 285714
となる。142857は6桁であるが、このように、6桁を超えるぶんの桁を左(上位)から切り取って右(下位)に加えるという操作を行うのである。

これは、より大きい数でも成り立つ。
*142857 × 71 = 10142847 → 左2桁の 10 を残りの 142847 に加える → 142857
*142857 × 52989018 = 7569852144426 → 右から6桁ずつ 7、569852、144426 と区切ってそれぞれを足す → 714285

=== かける数を飛び飛びにする ===
1/13 の循環節である 076923 は巡回数ではないが、1&#x301C;12倍したときに現れる数の並びは、以下の2グループに分けることができる。
#
#*076923 × {{0}}1 = 076923
#*076923 × {{0}}3 = 230769
#*076923 × {{0}}4 = 307692
#*076923 × {{0}}9 = 692307
#*076923 × 10 = 769230
#*076923 × 12 = 923076
#
#*076923 × {{0}}2 = 153846
#*076923 × {{0}}5 = 384615
#*076923 × {{0}}6 = 461538
#*076923 × {{0}}7 = 538461
#*076923 × {{0}}8 = 615384
#*076923 × 11 = 846153

[[12345679|012345679]]は合成数 81 の逆数の循環節である。これも巡回数に似た性質をもっている。
*12345679 × 10 = 123456790
*12345679 × 19 = 234567901
*12345679 × 28 = 345679012
*12345679 × 37 = 456790123
*12345679 × 46 = 567901234
*12345679 × 55 = 679012345
*12345679 × 64 = 790123456
*12345679 × 73 = 901234567
*12345679 × 82 = 1012345678 → 012345679
*12345679 × 91 = 1123456789 → 123456790

== 十進法以外の場合 ==
[[十進法]]以外においても巡回数を考えることができる。いくつか例を挙げる。

二進法における 0011(=3=(2<sup>4</sup>-1)/5) は巡回数である。
*0011 × 001 = 0011(=3)
*0011 × 010 = 0110(=6)
*0011 × 011 = 1001(=9)
*0011 × 100 = 1100(=12)
*0011 × 101 = 1111(=15)
五進法における 032412(=2232=(5<sup>6</sup>-1)/7) は巡回数である。
*032412 × 1 = 032412(=2232)
*032412 × 2 = 120324(=4464)
*032412 × 3 = 203241(=6696)
*032412 × 4 = 241203(=8928)
*032412 × 5 = 324120(=11160)
*032412 × 6 = 412032(=13392)
*032412 × 7 = 444444(=15624)
十二進法における 2497(=4147=(12<sup>4</sup>-1)/5) は巡回数である。
*2497 × 1 = 2497(=4147)
*2497 × 2 = 4972(=8294)
*2497 × 3 = 7249(=12441)
*2497 × 4 = 9724(=16588)
*2497 × 5 = BBBB(=20735)
底が平方数の場合、2桁以上の巡回数は存在しない。{{要出典|date=2023年11月}}<!-- 英語版でも出典なし。平方剰余を使って証明できそうではあるが、独自研究にならぬよう出典は欲しい。 -->

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|ミディの定理|en|Midy's theorem}}
* {{仮リンク|Full reptend prime|en|Full reptend prime}}<!-- 注: 訳語は未詳。 -->

== 脚注・出典 ==
{{Reflist}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|title=Cyclic Number|urlname=CyclicNumber}}
<!--* [http://www.nichinoken.co.jp/column/shikakumaru/2008/0903_sa.html シカクいアタマをマルくする] - 日能研 {{リンク切れ}}-->

{{DEFAULTSORT:しゆんかいすう}}
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:整数の類]]
[[category:順列]]