工程能力指数のソースを表示

'''工程能力指数'''（'''{{Lang-en|process capability index}}'''）とは、[[品質管理]]の分野において、ある工程の持つ[[工程能力]]を定量的に評価する指標の一つである。工程能力は工程が[[統計的プロセス制御|管理状態]]で、かつ、安定した状態で予測可能な場合のみ評価できる。[[:en:Joseph M. Juran|Joseph M. Juran]]によって提案され、多くの改良が加えられていった。

類似の概念に[[工程性能]]（'''{{Lang-en|process performance}}'''）、[[工程性能指数]]（'''{{Lang-en|process performance index}}'''）というのがあり、これは工程が安定状態にない場合に用いられる。

'''{{Lang-en|process capability ratio}}'''という場合は、工程能力指数の逆数として定義される場合がある。

== 定義 ==
一般的に受け入れられている定義を表1に示す。ここに掲げたものは全て[[母集団]]で特性値が[[正規分布]]を為すことを仮定しているが、他の[[確率分布]]を考慮した定義も提案されている。

;USL
:上側規格値
;LSL
:下側規格値
;T
:特性値の目標値
;<math>\hat{\mu}</math>
:[[標準偏差|母平均]]の推定値。
;<math>\hat{\sigma}</math>
:[[標準偏差|母標準偏差]]の推定値。工程が安定状態であるため、[[管理図]]から簡易的に算出した値を用いてもよい。

{| class="wikitable"
|+ 表1 工程能力指数の一覧
 ! 定義
 ! 説明
|-
| <math>\hat{C}_p = \frac{USL - LSL} {6 \times \hat{\sigma}}</math>
| 平均値が調節可能で両側規格が設定されている場合にのみ適用できる。平均値が規格幅の中心からはずれると、正しく評価できない。
|-
| <math>\hat{C}_{p,lower} = {\hat{\mu} - LSL \over 3 \times \hat{\sigma}}</math>
| 下側規格のみ存在する場合。（例:[[耐力]]）
|-
| <math>\hat{C}_{p,upper} = {USL - \hat{\mu} \over 3 \times \hat{\sigma}}</math>
| 上側規格のみ存在する場合。<!-- （例:[[濃度]]）-->
|-
| <math>\hat{C}_{pk} = \min \Bigg[ {USL - \hat{\mu} \over 3 \times \hat{\sigma}}, { \hat{\mu} - LSL \over 3 \times \hat{\sigma}} \Bigg]</math>
| 特性値の平均値が規格幅の中心からはずれていると<math>\hat{C}_{p}</math>では過大評価となるので、その影響を考慮した形。平均値が規格幅に入らないと<math>\hat{C}_{pk} < 0</math>となる。 
|-
| <math>\hat{C}_{pm} = \frac{ \hat{C}_p } { \sqrt{ 1 + \left ( \frac{\hat{\mu} - T} {\hat{\sigma}} \right )^2 } }</math>
| 特性値の目標値Tからのずれによる損失を考慮した場合。<math>\hat{C}_{pm}</math> は正の値をとる。<math>\hat{C}_{pm}</math>は[[品質工学|タグチメソッド]]の損失関数の手法を取り込んでおり、 Taguchi capability index[https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/1991JQT....23...17B/abstract]とも呼ばれる<ref>{{Citation | last = Boyles | first = Russell | year = 1991 | title = The Taguchi Capability Index | periodical = Journal of Quality Technology | publication-place = [[ミルウォーキー]] | publisher = [[:en:American Society for Quality|American Society for Quality Control]] | volume = 23 | issue = 1 | pages = 17 – 26 | url = http://www.asq.org/pub/jqt/ | issn = 0022-4065 | oclc = 1800135}}</ref>。
|-
| <math>\hat{C}_{pmk} = \frac{ \hat{C}_{pk} } { \sqrt{ 1 + \left ( \frac{\hat{\mu} - T} {\hat{\sigma}} \right )^2 } }</math>
| <math>\hat{C}_{pm}</math>に平均値が目標から外れる効果を考慮した形。
|-
|}

== 指数の評価 ==

工程能力指数は、その大きい数字ほど望ましい能力を持っていることを表すように定義されている。評価値が0付近または0以下であれば、製品の特性が目標値と異なっている（μがTと大きく異なる）か、ばらつきが大きすぎるかである。

両側規格に対して<math>\hat{C}_{p} = 1.00</math> であればμ±3σのばらつきが規格幅と一致していることを示すが、偏差にも変動がありうることを考慮すると、さらに±1σの余裕をもうけて少なくとも<math>\hat{C}_{p} > 1.33</math>とするのが好ましい<ref>{{Cite journal|和書 |author=木暮正夫 |year=1979 |month=10 |title=工程能力 |journal=品質 |volume=9 |issue=4 |pages=pp. 18-24 |publisher=社団法人日本品質管理学会 |issn=03868230 }}<!-- [[ja:木暮正夫]]は児童文学作家 --> </ref>。例えば自動車業界では、AIAG<ref>米国自動車工業会。Automotive Industry Action Group をそのまま日本語に直して自動車産業行動委員会とも呼ばれる。</ref>が、出版している『生産部品承認プロセス』（[[PPAP (自動車工業)|PPAP]]のマニュアル）で、指数<ref>このPPAPマニュアルで使用する工程能力指数を定義しているのは、同じAIAGから出版されているDaimlerChrysler Corporation, Ford Motor Company, General Motors Corporation "Statistical Process Control (SPC) Reference Manual"（2011年2月現在の最新版はSecond Edition, 2005）で、前節の表の4番目の定義によるものである。ただしこのAIAGのSPCマニュアルでは、管理図から簡易的に算出した標準偏差を使用した指数をC<sub>pk</sub>、不偏分散の平方根を使用した指数をP<sub>pk</sub>と区別している。 PPAPのマニュアルの用途にはどちらを使用してもかまわない。</ref>が1.67より大きければ承認基準に達しており、1.33より小さければ承認基準に達していないとしている<ref>DaimlerChrysler Corporation, Ford Motor Company, General Motors Corporation "Production Part Approval Process (PPAP)" Fourth Edition, 2006, p.9, 2.2.11.3 Acceptance Criteria for Initial Study.</ref>。

受け入れ可能なC<sub>pk</sub>の最少値をどのように設定するかは個人的見解に左右される部分があり、産業分野の違いや、どのような工程を構築するかによっても異なる見解がある。そのため、こうした評価基準にも議論の余地がありうるし、適切な査定方法がまだないという理由により、評価が省略されるような工程もありうることには注意が必要である。

工程能力は仕様と深い相関があるため、工程能力指数評価の重要さと仕様の重要さは同等である。もし、仕様の基になるガイドラインが部品の機能性や危険性を考慮していないならば、それについての工程能力を評価する意味はない。一方で仕様から外れた特性を持つ部品のもたらす危険について焦点が当てられているならば、工程能力の評価をすべきである。田口の損失関数がその考え方を良くあらわしている。

ある専門家による下限値の推奨値を表2に示す<ref>{{cite book | last = Montgomery | first = Douglas | title = Introduction to Statistical Quality Control | publisher = John Wiley & Sons, Inc. | date = 2004 | location = [[ニューヨーク]] | url = http://www.eas.asu.edu/~masmlab/montgomery/ | isbn = 9780471656319 | oclc = 56729567 | page = 776}}</ref>。

{| class="wikitable"
|+表2 推奨される下限値
 ! 状況
 ! 両側規格の場合
 ! 片側規格の場合
|-
| 既存の工程
| 1.33
| 1.25
|-
| 新規の工程
| 1.50
| 1.45
|-
| 既存の工程<br/>（危険性を左右する特性）
| 1.50
| 1.45
|-
| 新規の工程<br/>（危険性を左右する特性）
| 1.67
| 1.60
|-
| [[シックス・シグマ]]
| 2.00
| 2.00
|}

2.5以上の値は無意味である。[[費用|生産コスト]]に跳ね返るので過剰に精度を追求するようなことをしてはならない<ref>{{Cite book | author=Booker, J. M.; Raines, M.; Swift, K. G. | title=Designing Capable and Reliable Products | date=2001 | publisher=[[:en:Butterworth-Heinemann]] | location=[[オックスフォード]] | isbn=9780750650762 | oclc=47030836}}</ref>。

=== 区間推定 ===
実際に算出される工程能力指数の値は計測データに基づいた点推定値であり、得られた指数を前掲の表のような基準値と比較するだけでは不十分である。正しく評価するには[[推計統計学|区間推定]]を行う必要がある。<math>\hat{C}_{p}</math>については以下の方法で、[[信頼区間|両側信頼区間]]や推定に必要なデータ数を求めることができる<ref>{{Cite journal|和書 |author=[[永田靖 (統計学者)|永田靖]] |year=2004 |month=4 |title=工程能力指数の正しい理解に向けて |journal=品質 |volume=34 |issue=2 |pages=pp. 13-18 |publisher=社団法人日本品質管理学会 |issn=03868230 }}</ref><ref>{{Cite journal|和書 |author=永田靖 |year=1991 |month=10 |title=工程能力指数の区間推定 |journal=品質 |volume=21 |issue=2 |pages=pp. 3-8 |publisher=社団法人日本品質管理学会 |issn=03868230 }}</ref>。工程能力指数の他の定義についても、同様の研究がある。

信頼水準1-αでの両側信頼区間は次式で与えられる。ここでφ=n-1でnは計測データ数。

<math>\Big( \hat{C}_{p} \left\{ \chi^2 ( 1 - \alpha / 2 ; \phi ) / \phi \right\}^{\frac{1}{2}}, \hat{C}_{p} \left\{ \chi^2 ( \alpha / 2 ; \phi ) / \phi \right\}^{\frac{1}{2}} \Big)</math>

これは、φs<sup>2</sup>/σ<sup>2</sup> が自由度φの[[カイ二乗分布|χ<sup>2</sup>分布]]に従うことで次式が成立することによる（sは標本標準偏差）。

<math>Pr \left\{ \chi^2 ( 1 - \alpha / 2 ; \phi ) \leqq \phi s^2 / \sigma^2 \leqq \chi^2 ( \alpha / 2 ; \phi ) \right\} = 1 - \alpha</math>

ある区間幅で推定するのに必要なデータ数については、区間幅2δに対して次の近似式が知られている。ここで、u(α)は標準正規分布N(0,1<sup>2</sup>)の両側100α点である。

<math>\frac{ { \hat{C}_{p} }^2 u( \alpha )^2}{2 \delta^2 } + 1 \leqq n</math>

目安として信頼水準0.95における必要データ数を表3に示す。

{|class="wikitable" style="text-align:center;"
|+ 表3 信頼水準0.95において区間幅2δで推定するために必要なデータ数
|-
! rowspan="2" | <math>\hat{C}_{p}</math> !! colspan="4" | δ
|-
! 0.20 !! 0.15 !! 0.10 !! 0.05
|-
| 0.7 || 24.5 || 42.8 || 95.1 || 377.5
|-
| 1.0 || 49.0 || 86.4 || 193.1 || 769.3
|-
| 1.3 || 82.2 || 145.3 || 325.6 || 1299.5
|-
| 1.5 || 109.0 || 193.1 || 433.2 || 1729.7
|-
| 2.0 || 193.1 || 342.5 || 769.3 || 3074.3
|}

== 参考文献 ==
{{reflist}}

== 関連項目 ==
*[[工程生産指数]]

== 外部リンク ==
*{{cite web|url=http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmc/section1/pmc16.htm|title=What is Process Capability?|accessdate=2009-02-13|work=[http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/index.htm NIST/Sematech Engineering Statistics Handbook]|publisher=[[アメリカ国立標準技術研究所]]}}

{{DEFAULTSORT:こうていのうりよくしすう}}
[[Category:工学]]
[[Category:製造]]
[[Category:品質管理]]
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