巨大基数的性質の一覧のソースを表示

'''巨大基数的性質の一覧'''（きょだいきすうてきせいしつのいちらん）では巨大基数的性質を列記する。
{{see also|巨大基数}}

巨大基数は、与えられた性質を持つ基数の存在を主張する公理の[[無矛盾性の強さ]]の順序によっておおよそ線形に整列させられる。ある性質の基数κの存在は、その性質の以上に列挙されている大部分の性質の基底関数の存在を意味し、より無矛盾性の弱い基数定義に対して、[[Von Neumann universe|''V''<sub>κ</sub>]] は「φを満たす基数の階層が無限に存在する」ことを満たす。

以下の一覧は基本に[[無矛盾性の強さ]]の順序に基数を並べたもので、同じ順序となるものは濃度の順で並べた。いくつかの基数 (強コンパクト基数など) の間では、正確な無矛盾性の強さの順序がわかっていないため、一覧は現在の最良の推測値を採る。

* "小さい" 基数: 0, 1, 2, ..., <math>\aleph_0, \aleph_1</math>,..., <math>\kappa  = \aleph_{\kappa}</math>, ... ([[アレフ数]]参照)
* [[:en:Worldly cardinal|worldly基数]]
* 弱/強[[到達不能基数]]、α-到達不能基数、hyper-到達不能基数
* 弱/強[[マーロ基数]]、α-マーロ基数、hyper-マーロ基数.
* [[:en:Reflecting cardinal|reflecting基数]]
* [[弱コンパクト基数]] (= Π{{su|p=1|b=1}}-[[:en:Indescribable cardinal|描写不能基数]])、Π{{su|p=''m''|b=''n''}}-描写不能基数、完全描写不能基数
* λ-展開可能基数, [[:en:Unfoldable cardinal|展開可能基数]], [[Indescribable cardinal|&#x3BD;-indescribable]] cardinals and [[Shrewd cardinal|λ-shrewd]], [[Shrewd cardinal|shrewd]] cardinals [相互にいかに関係しているか不明瞭である].
* [[wikipedia:Subtle_cardinal|ethereal基数,精妙基数]]
* ほとんど玄妙基数, [[玄妙基数]], ''n''-玄妙基数, 完全玄妙基数
* [[:en:Remarkable cardinal|remarkable基数]]
* [[:en:Erdős cardinal|α-Erdős 基数]] (αは可算), [[:en:Zero sharp|0<sup>#</sup>]]ゼロ・シャープ (基数ではない), [[:en:Iterable cardinal|γ-反復可能基数]], [[:en:Erdős cardinal|γ- Erdős基数]] (γは非可算)
* [[:en:Almost Ramsey cardinal|ほとんどラムゼイ基数]], [[:en:Jónsson cardinal|Jónsson基数]], [[:en:Rowbottom cardinal|Rowbottom基数]], [[:en:Ramsey cardinal|ラムゼイ基数]], [[:en:Ineffably Ramsey cardinal|玄妙なラムゼイ基数]], completely Ramsey, 強ラムゼイ基数, 超ラムゼイ基数
* [[:en:Measurable cardinal|可測基数]],  [[:en:Zero dagger|0<sup>†</sup>]]ゼロ・ダガー
* λ-強力基数,  [[:en:Strong cardinal|強力基数]](=[[:en:Tall cardinal|tall基数]])
* [[:en:Woodin cardinal|ウディン基数]], [[:en:Weakly hyper-Woodin cardinal|弱 hyper-ウディン基数]], [[:en:Shelah cardinal|シェラハ基数]], [[:en:Hyper-Woodin cardinal|hyper-ウディン基数]]
* [[:en:Superstrong cardinal|超強力基数]] (=1-超強力基数)
* [[:en:Subcompact cardinal|準コンパクト基数]], [[:en:Strongly compact cardinal|強コンパクト基数]] (ウディン<強コンパクト&#x2264;超コンパクト), [[:en:Supercompact cardinal|超コンパクト基数]], hypercompact基数
* η-拡張可能基数, [[:en:Extendible cardinal|拡張可能基数]]
* [[:en:Vopěnka cardinal|Vopěnka基数]], Shelah for supercompactness, high jump基数
* ''n''-[[:en:Superstrong cardinal|超強力基数]] (''n''&#x2265;2), ''n''-ほとんど膨大基数, ''n''-超ほとんど膨大基数, ''n''-[[:en:Huge cardinal|膨大基数]], ''n''-超膨大基数 (1-膨大基数=膨大基数)
* [[:en:Wholeness axiom|Wholeness axiom]], [[:en:Rank-into-rank|階層内階層基数]] (Axioms I3, I2, I1, and I0)

以下のさらに大きな巨大基数の性質は、[[選択公理]]によって否定されるが、それらの存在は[[ツェルメロ＝フレンケルの公理系]]のみ（すなわち、選択公理を使用せずに、ZF）では否定できない。 

* [[:en:Reinhardt cardinal|Reinhardt基数]], [[:en:Berkeley cardinal|Berkeley基数]]<!--

These do not really make sense, and it is not clear which should be first or last.
* [[contradiction|0=1]] is (somewhat jokingly) listed as the ultimate large cardinal axiom by some authors.
* The [[Consistency_strength#Consistency_strength|Strong]] [[Reflection principle|Reflection Principle]] of the [[Absolute Infinite]] [[Tav_(number)|Tav]]
-->
== 脚注 ==
<references />

== 参考文献 ==
* {{cite book|author=Drake, F. R.|title=Set Theory: An Introduction to Large Cardinals (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics ; V. 76)|year=1974|publisher=Elsevier Science Ltd|isbn=0-444-10535-2}}
* {{cite book|last=Kanamori|first=Akihiro|authorlink=Akihiro Kanamori|title=The Higher Infinite : Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings|edition=2nd|year=2003|publisher=Springer|isbn=3-540-00384-3}}
* {{Cite book|last=Kanamori|first=Akihiro|title=Higher Set Theory|series=Lecture Notes in Mathematics|year=1978|publisher=Springer Berlin / Heidelberg|isbn=978-3-540-08926-1|pages=99–275|chapter=The evolution of large cardinal axioms in set theory|volume=669 ([http://math.bu.edu/people/aki/e.pdf typescript])|last2=Magidor|first2=M.|doi=10.1007/BFb0103104|postscript=<!--None-->}}
* {{Cite journal|last=Solovay|first=Robert M.|last2=Reinhardt|first2=William N.|last3=Kanamori|first3=Akihiro|year=1978|title=Strong axioms of infinity and elementary embeddings|url=http://math.bu.edu/people/aki/d.pdf|journal=Annals of Mathematical Logic|volume=13|issue=1|pages=73–116|doi=10.1016/0003-4843(78)90031-1|authorlink=Robert M. Solovay|postscript=<!--None-->}}

== 外部リンク ==
* [http://cantorsattic.info/Upper_attic Cantor's attic]
* [http://mathoverflow.net/questions/194486/is-there-a-compendium-of-the-consistency-strength-between-the-most-important-for some diagrams of large cardinal properties]

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