差分作用素のソースを表示

[[数学]]における差分演算子または'''差分作用素'''（さぶんさようそ、{{lang-en-short|difference operator}}）は[[函数]]に対してその適当な[[有限差分]]を与える[[作用素 (関数解析学)|作用素]]を言う。

有限差分の計算において <math display="block">\Delta f(x) := f(x + 1)-f(x)</math> で定義される'''前進差分作用素''' (forward difference operator) {{math|&Delta;}} がしばしば現れ、これは離散的な場合に用いられることを除けば[[微分]]と同様の役割を果たすものである。[[差分方程式]]はしばしば[[微分方程式]]の解法と非常によく似た手法によって解くことができる。'''後退差分作用素''' (backward difference operator) {{math|&nabla;}} も同様に <math display="block">\nabla f(x) := f(x)-f(x-1)</math>で定義される。

多変数函数に対する差分作用素への一般化は、例えば実函数の[[単調函数|単調性]]を多変数に一般化することを可能にする。あるいは{{仮リンク|確率統計学|en|stochastics}}(stochastics; 推計学)および[[測度論]]において差分作用素を用いて抽象体積概念が定義される。 

== 定義 ==
[[実函数|実多変数実数値函数]] {{math|''F'': '''R'''{{sup|''n''}} → '''R'''}} が与えられたとき、二点 <math display="inline"> a^1=(a^1_1, \ldots, a_n^1), a^2=(a_1^2, \ldots, a_n^2) </math> に対する'''差分作用素'''は、<math display="block">\Delta_{a^1}^{a^2}F:= \sum_{i_1, \dots, i_n \in \{1,2\} } (-1)^{i_1 + \dots +i_n}F(a_1^{i_1}, \dots, a_n^{i_n}) </math>で定義される。二つのベクトルの各成分を入れ替えることにより得られる任意のベクトルは {{math|'''R'''{{sup|''n''}}}} 内の{{仮リンク|超矩形|en|Hyperrectangle}}の {{math|2{{exp|''n''}}}} 個の頂点を与えるから、上記の定義式は、各頂点における函数の値に、もとのベクトルのどの成分であったかに依存して決まる符号をつけて加え合わせたものになっている。例えば {{math|1=''n'' = 2}} のとき、二点 {{math|1=''a'' = (''a''{{sub|1}}, ''a''{{sub|2}}), ''b'' = (''b''{{sub|1}}, ''b''{{sub|2}})}} に対して、{{mvar|F}} の差分は <math display="block">\Delta_a^b F = F(b_1, b_2) - F(a_1, b_2) - F(b_1, a_2) + F(a_1, a_2)</math> であたえられる。

また、第 {{mvar|ν}}-成分に関する偏差分作用素は <math display="block"> {}_\nu \Delta_\alpha^\beta F:= F(x_1, \dots, x_{\nu-1}, \beta, x_{\nu+1}, \dots, x_n)-F(x_1, \dots, x_{\nu-1}, \alpha, x_{\nu+1}, \dots, x_n)</math> で与えられる。ここで第 {{mvar|ν}}-成分は定数だが、通常はまだ {{math|'''R'''{{sup|''n''}}}} 上の函数と見なされるから、さらに差分作用素を適用することができる。

== 性質 ==
* 差分作用素は線型である。すなわち <math display="block">\Delta_{a}^{b}(F+G) = \Delta_{a}^{b}F+ \Delta_{a}^{b}G </math> が成り立つ。
* 成分に分けて考えれば、差分作用素と偏差分作用素の関係を <math display="block">  \Delta_{a^1}^{a^2}F =\sum_{i_1=1}^2(-1)^{i_1} \cdot \sum_{i_2=1}^2(-1)^{i_2} \cdot \dots \cdot \sum_{i_n=1}^2(-1)^{i_n}F(a_1^{i_1}, \dots, a_n^{i_n})  = {}_1\Delta_{a_1^1}^{a_1^2} \cdots {}_n\Delta_{a_n^1}^{a_n^2}F </math> と書くことができる。
* また、{{math|μ ≠ ν}} なるとき <math display="block"> {}_\mu\Delta_\alpha^\beta {}_\nu\Delta_\alpha^\beta F = {}_\nu\Delta_\alpha^\beta {}_\mu\Delta_\alpha^\beta </math> が成り立つ。すなわち、各成分に対する偏差分作用素は互いに可換である。

== 応用 ==
ここで定義した差分作用素の意味において、例えば[[単調函数|函数の単調性]]を拡張することができる。函数 {{math|''F'': '''R'''{{sup|''n''}} → '''R'''}} が{{仮リンク|矩形単調函数|de|Rechtecksmonotone Funktion|label=矩形単調}}であるとは <math display="block"> a \leq b  \implies \Delta_a^b F \geq 0 </math> を満たすことを言う。ただし {{math|''a'' &le; ''b''}} は、任意の成分に対して {{math|''a''{{sub|''i''}} &le; ''b''{{sub|''i''}}}} が成り立つという意味とする。これに基づいて、さらにこのような函数を調べることができる。

また、{{仮リンク|preserve=1|測度論|de|Maßtheorie}}および{{仮リンク|確率統計学|de|Stochastik}}における差分作用素は[[多次元分布函数]]によって {{math|'''R'''{{sup|''n''}}}} 上の{{仮リンク|preserve=1|測度|de|Maß (Mathematik)}}を定義するのにも用いられる。

== 参考文献 ==
*{{citation2|surname1=[[Jürgen Elstrodt]]|title=Maß- und Integrationstheorie|edition=6., korrigierte|publisher=Springer-Verlag|publication-place=Berlin Heidelberg|year=2009|isbn=978-3-540-89727-9|language=de|doi=10.1007/978-3-540-89728-6
}}
*{{citation2|surname1=Norbert Kusolitsch|title=Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie: Eine Einführung|edition=2., überarbeitete und erweiterte|publisher=Springer-Verlag|publication-place=Berlin Heidelberg|year=2014|at=pp.&nbsp;65-72|isbn=978-3-642-45386-1|language=de|doi=10.1007/978-3-642-45387-8
}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|title=Difference Operator|urlname=DifferenceOperator}}

{{DEFAULTSORT:さふんさようそ}}
[[Category:和分差分学]]
[[Category:作用素論]]
[[Category:多変数解析学]]
[[Category:数学に関する記事]]