差分商のソースを表示

{{otheruses|difference quotient ({{math|Δy/Δx}})|divided differences ({{bracket|''y''{{sub|1}}, …, ''y{{sub|n}}''}})|差商}}
[[微分積分学]]における'''差分商'''<ref>{{kotobank|差分商|ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典}}</ref>（さぶんしょう、{{lang-en-short|''difference quotient''}}; 差商）は、ふつうは函数 {{mvar|f}} に対する[[有限差分]]の[[除法|商]] <math display="block"> \frac{f(x+h) - f(x)}{h} </math> を言い、これは {{math|''h'' → 0}} の[[函数の極限|極限]]で[[微分商]]となる<ref name="LaxTerrell2013">{{cite book|author1=Peter D. Lax|author2=Maria Shea Terrell|title=Calculus With Applications|year=2013|publisher=Springer|isbn=978-1-4614-7946-8|page=119}}</ref><ref name="HockettBock2005">{{cite book|author1=Shirley O. Hockett|author2=David Bock|title=Barron's how to Prepare for the AP Calculus|year=2005|publisher=Barron's Educational Series|isbn=978-0-7641-2382-5|page=44}}</ref><ref name="Ryan2010">{{cite book|author=Mark Ryan|title=Calculus Essentials For Dummies|year=2010|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-0-470-64269-6|pages=41–47}}</ref><ref name="NealGustafson2012">{{cite book|author1=Karla Neal|author2=R. Gustafson|author3=Jeff Hughes|title=Precalculus|year=2012|publisher=Cengage Learning|isbn=0-495-82662-6|page=133}}</ref>。実際に函数値の有限差分を対応する変数の有限差分で割ったものであることにより、この名称がある<ref name="Comenetz2002">{{cite book|author=Michael Comenetz|title=Calculus: The Elements|year=2002|publisher=World Scientific|isbn=978-981-02-4904-5|pages=71–76 and 151–161}}</ref><ref name="Pasch2010">{{cite book|author=Moritz Pasch|title=Essays on the Foundations of Mathematics by Moritz Pasch|year=2010|publisher=Springer|isbn=978-90-481-9416-2|page=157}}</ref>。

差分商は函数 {{mvar|f}} のある区間（いまの場合、長さ {{mvar|h}} の区間）における「[[平均]]変化率」(''average rate of change'') <ref name="WilsonAdamson2008">{{cite book|author1=Frank C. Wilson|author2=Scott Adamson|title=Applied Calculus|year=2008|publisher=Cengage Learning|isbn=0-618-61104-5|page=177}}</ref><ref name="RubySellers2014"/>{{rp|237}}<ref name="HungerfordShaw2008">{{cite book|author1=Thomas Hungerford|author2=Douglas Shaw|title=Contemporary Precalculus: A Graphing Approach|year=2008|publisher=Cengage Learning|isbn=0-495-10833-2|pages=211–212}}</ref>を与えるものであるから、特にその極限としての微分商は「[[瞬間]]変化率」に対応すると考えることができる<ref name="HungerfordShaw2008"/>

やや記法を変更（{{math|''b'' {{coloneqq}} ''a'' + ''h''}}）して、区間 {{closed-closed|''a'', ''b''}} に対する、差分商<ref name="Comenetz2002"/> <math display="block">\frac{f(b) - f(a)}{b-a}</math> を考えれば、これは {{mvar|f}} の区間 {{closed-closed|''a'', ''b''}} における微分係数の「平均値」を表していると考えられる。このことは、[[可微分函数]] {{mvar|f}} に対して {{mvar|f}} の微分係数が区間内の適当な点において[[函数の平均|平均値]]に到達することを述べた[[平均値の定理]]によって正当化される<ref name="Comenetz2002"/>。幾何学的には、この差分商は二点 {{math|(''a'', ''f''(''a'')), (''b'', ''f''(''b''))}} を通る[[割線]]の[[傾き (数学)|傾き]]を測るものである<ref name="Krantz2014">{{cite book|author=Steven G. Krantz|title=Foundations of Analysis|year=2014|publisher=CRC Press|isbn=978-1-4822-2075-9|page=127}}</ref>。

差分商は{{ill2|数値微分法|en|Numerical differentiation}}における近似に用いられる<ref name="RubySellers2014">{{cite book|author1=Tamara Lefcourt Ruby|author2=James Sellers|author3=Lisa Korf |author4=Jeremy Van Horn |author5=Mike Munn|title=Kaplan AP Calculus AB & BC 2015|year=2014|publisher=Kaplan Publishing|isbn=978-1-61865-686-5|page=299}}</ref>が、それは同時にこの応用において批判の主題ともなっている<ref name="GriewankWalther2008">{{cite book|author1=Andreas Griewank|author2=Andrea Walther|title=Evaluating Derivatives: Principles and Techniques of Algorithmic Differentiation, Second Edition|url=https://books.google.com/books?id=qMLUIsgCwvUC&pg=PA2|year=2008|publisher=SIAM|isbn=978-0-89871-659-7|pages=2–}}</ref>

差分商のことを、'''ニュートン商'''<ref name="Krantz2014"/><ref name="Lang1968">{{cite book|author=[[Serge Lang]]|title=Analysis 1|year=1968|publisher=Addison-Wesley Publishing Company|page=56}}</ref><ref name="Hahn1994">{{cite book|author=Brian D. Hahn|title=Fortran 90 for Scientists and Engineers|year=1994|publisher=Elsevier|isbn=978-0-340-60034-4|page=276}}</ref><ref name="ClaphamNicholson2009">{{cite book|author1=Christopher Clapham|author2=James Nicholson|title=The Concise Oxford Dictionary of Mathematics|year=2009|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-157976-9|page=313}}</ref>（[[アイザック・ニュートン]]に由来）や'''フェルマーの差分商'''（[[ピエール・ド・フェルマー]]に由来）などとも呼ぶことがある。<ref>Donald C. Benson, ''A Smoother Pebble: Mathematical Explorations'', Oxford University Press, 2003, p. 176.</ref>

有限差分をとる操作を反復適用して得られる[[高階差分]]を用いれば、高階差分商あるいは（分点が等間隔の場合の）高階差商を考えることができる。

== 関連項目 ==
* [[差商]]: 非等間隔な分点に対する高階差分商の一般化
* {{ill2|フェルマー理論|en|Fermat theory}}
* [[ニュートン多項式]]
* {{ill2|ニュートン級数|en|Newton series}}
* {{ill2|矩形法|en|Rectangle method}}
* [[商の微分法則]]
* {{ill2|対称差分商|en|Symmetric difference quotient}}

== 参考文献 ==
{{reflist|2}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=DifferenceQuotient|title=Difference Quotient}}
* {{PlanetMath|urlname=DifferenceQuotient|title=difference quotient}}
* {{ProofWiki|urlname=Definition:Difference_Quotient|title=Definition:Difference Quotient}}

*[https://web.archive.org/web/20050912183919/http://cis.stvincent.edu/carlsond/ma109/diffquot.html Saint Vincent College: Br. David Carlson, O.S.B.—''MA109 The Difference Quotient'']
*[http://web.mat.bham.ac.uk/D.F.M.Hermans/msmxg6/ln/lnotes78.html University of Birmingham: Dirk Hermans—''Divided Differences'']
*[http://www.cs.wisc.edu/wpis/abstracts/tr1415r.abs.html University of Wisconsin: Thomas W. Reps and Louis B. Rall—''Computational Divided Differencing and Divided-Difference Arithmetics'']
*[http://giraldi.org/derivata/derivata.html Interactive simulator on difference quotient to explain the derivative]

<!-- {{Isaac Newton}}-->
{{Normdaten}}

{{DEFAULTSORT:さふんしよう}}
[[Category:微分法]]
[[Category:数値解析]]
[[Category:ピエール・ド・フェルマー]]
[[Category:数学に関する記事]]