常微分方程式の数値解法のソースを表示

{{Differential equations}}
'''常微分方程式の数値解法''' (じょうびぶんほうていしきのすうちかいほう、{{lang-en-short|Numerical methods for ODEs}}) は、[[数値解析]]において[[常微分方程式]]を数値的に解く技術の総称である<ref name="Yamamoto1">{{Cite book |和書 |author=山本哲朗 |title=数値解析入門 |edition=増訂版 |date=2003-06 |publisher=[[サイエンス社]] |series=サイエンスライブラリ 現代数学への入門 14 |ISBN=4-7819-1038-6}}</ref><ref name="mori">[[森正武]]. 数値解析 第2版. [[共立出版]].</ref>。

==数値解法の必要性==
これまで様々な自然現象 (物理現象など) を記述するために多くの[[常微分方程式]]が作られ、多くの数学者たちがその解法を探求してきたが、[[フックス型微分方程式]]<ref name="toki">時弘哲治、工学における[[特殊関数]]、[[共立出版]]。</ref><ref name="sakai">坂井秀隆. (2015). [[常微分方程式]]. [[東京大学出版会]].</ref>などを除いて、式変形による計算だけで厳密に解ける常微分方程式は多くない。そのため多くの研究者たちが常微分方程式を数値的に解く技術について研究をしてきた<ref name="Yamamoto1"/><ref name="mori"/>。最も標準的な手法は[[ルンゲ・クッタ法]]であり<ref name="Yamamoto1"/><ref name="mori"/><ref>遠藤理平 (2018) ルンゲ・クッタで行こう!―物理シミュレーションを基礎から学ぶ</ref><ref group="A">Butcher, J. C. (1996). A history of Runge-Kutta methods. Applied numerical mathematics, 20(3), 247-260.</ref>、[[MATLAB]]にはode45として搭載されている。しかしこれは万能なソルバーとは言えない。例えば[[パンルヴェ方程式]]<ref>岡本和夫. (2009). [[パンルヴェ方程式]]. [[岩波書店]].</ref><ref>野海正俊. (2000). パンルヴェ方程式-対称性からの入門. すうがくの風景 4. [[朝倉書店]].</ref><ref>岡本和夫. (1985). パンルヴェ方程式序説. [[上智大学]]数学講究録, 19.</ref>や[[リッカチ方程式]]<ref>リッカチのひ・み・つ : 解ける微分方程式の理由を探る. 井ノ口順一著. [[日本評論社]], 2010.9.</ref>などは非線形性によって精度の良い計算ができず、数値実験結果だけを見ていると間違った結論 ([[精度保証付き数値計算#幻影解|幻影解]]) にたどり着く危険がある。{{要出典|範囲=そのため|date=2021年2月}}、
{{div col|rules=yes}}
*[[線型多段法]]<ref name="Yamamoto1"/><ref name="mori"/>
*[[リープ・フロッグ法]]
*[[オイラー法]]の進化系
**[[オイラー法#後退オイラー法|後退オイラー法]] ([[:en:Backward Euler Method|en]])
**[[:en:semi-implicit Euler method]]
**[[:en:Euler–Maruyama method]] ([[確率微分方程式]]に特化した解法)
*[[:en:exponential integrator]] ([[行列指数関数]]を使う解法)<ref group="A">Hochbruck, M., & Ostermann, A. (2010). Exponential integrators. [[:en:Acta Numerica]], 19, 209-286.</ref><ref group="A">Al-Mohy, A. H., & Higham, N. J. (2011). Computing the action of the matrix exponential, with an application to exponential integrators. [[:en:SIAM journal on scientific computing]], 33(2), 488-511.</ref>
*[[狙い撃ち法]]
*[[:en:Bulirsch–Stoer algorithm]]<ref group="A">Monroe, J. L. (2002). Extrapolation and the Bulirsch-Stoer algorithm. [[フィジカル・レビュー|Physical Review]] E, 65(6), 066116.</ref><ref group="A">Kirpekar, S. (2003). Implementation of the Bulirsch Stoer extrapolation method. Department of Mechanical Engineering, UC Berkeley/California.</ref>
*[[シンプレクティック数値積分法]]<ref>Hairer, E., Lubich, C., & Wanner, G. (2006). Geometric numerical integration: structure-preserving algorithms for ordinary differential equations. [[:en:Springer Science & Business Media]].</ref><ref>吉田春夫. (1995). シンプレクティック数値解法 (古典力学の輝き--未解決問題と新しい発見). 数理科学, 33(6), p37-46.</ref><ref group="A">Symplectic integrators: An introduction, American Journal of Physics 73, 938 (2005); https://doi.org/10.1119/1.2034523
Denis Donnelly.</ref><ref group="A">Y. B. Suris, Hamiltonian Runge-Kutta type methods and their variational formulation (1990) Matematicheskoe modelirovanie, 2(4), 78-87.</ref><ref group="A">Iserles, A., & Quispel, G. R. W. (2016). Why geometric integration?. arXiv preprint arXiv:1602.07755.</ref>
*[[テイラー級数]]を用いる方法<ref group="A">平山弘, 小宮聖司, & 佐藤創太郎. (2002). Taylor 級数法による常微分方程式の解法. [[日本応用数理学会]]論文誌, 12(1), 1-8.</ref><ref group="A">平山弘. (2013). Taylor 展開法による常微分方程式の高次並列計算. 研究報告[[高性能計算|ハイパフォーマンスコンピューティング (HPC)]], 2013(3), 1-6.</ref><ref group="A">平山弘, & 佐藤創太郎. (2002). 遅延微分方程式の級数による解法 (Computer Algebra: Algorithms, Implementations and Applications).</ref><ref group="A">Hirayama, H. (2002). Solution of ordinary differential equations by Taylor series method. JSIAM, 12, 1-8.</ref><ref group="A">Hirayama, H. (2015). Performance of a Higher-Order Numerical Method for Solving Ordinary Differential Equations by Taylor Series. In Integral Methods in Science and Engineering (pp. 321-328). Birkhäuser, Cham.</ref>
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などの新しい解法に関する研究が進められている。

== 初期値問題==
<math>N</math> 個の変数 <math>y = ( y_1, \cdots, y_N ) \in \mathbb{R}^N</math> に関する1階[[常微分方程式]]、すなわち <math>[ t_0, b ] \times \mathbb{R}^N</math> （またはその開集合）で定義されたベクトル値連続関数 <math>f ( t, y ) = ( f_1 ( t, y ), \cdots, f_N ( t, y ) )</math> により定まる次の方程式
{{Indent|<math>\frac{ d y }{ d t } = f ( t, y )</math>}}
について考える。その[[初期値問題]] (initial-value problem) とは、初期条件 <math>y ( t_0 ) = y_0</math> を満たす関数 <math>y ( t )</math> を求めることである<ref>Stoer & Bulirsch, p. 465.</ref>。関数 <math>f</math> が第2引数について[[リプシッツ連続]]であるとき、すなわち定数 <math>L</math> が存在し
{{Indent|<math>\left\| f ( t, y_1 ) - f ( t, y_2 ) \right\| \leq L \| y_1 - y_2 \|</math>}}
（<math>\| \cdot \|</math> は <math>\mathbb{R}^N</math> の[[ノルム]]）を満たすとき、その初期値問題には解が一意に存在する<ref>Stoer & Bulirsch, p. 467.</ref>（[[ピカール・リンデレフの定理]]）。本節では常微分方程式の初期値問題を数値的に解くことについて議論する。

=== 初期値問題の例 ===
例として、[[電気回路]]の研究から導かれた[[ファン・デル・ポール振動子]]について考える。その運動方程式は
{{Indent|<math>\frac{ d^2 x }{ dt^2 }- \mu (1 - x^2) \frac{ dx }{ dt } + x= 0</math>}}
であり、これは2階の常微分方程式であるものの、<math>v = d x / d t</math> とおくと
{{Indent|<math>\frac{ d x }{ d t } = v , \ \ \frac{ d v }{ d t } = - x + \mu ( 1 - x^2 ) v</math>}}
という上述の形に帰着できる<ref>Iserles, pp. 106-107.</ref>。

=== 一段法 ===
区間 <math>[ t_0, t ]</math> の厳密解を <math>y ( t )</math> とする。一段法<ref name="加古">{{Cite web|和書|author=加古富志雄 |url=https://www.ics.nara-wu.ac.jp/~kako/teaching/na/chap8.pdf |title=数値解析 |accessdate=2021-02-02}}</ref>として知られるクラスの数値解法では、離散化した時刻 <math>t_i = t_0 + i h</math> (<math>h = ( t - t_0 )/n</math>) での厳密解 <math>y ( t_i )</math> の近似値 <math>\eta_i</math> を
{{Indent|<math>\eta_{i + 1} = \eta_i + h \Phi ( t_i, \eta_i; h )</math>}}
という漸化式によって定める<ref>Stoer & Bulirsch, p. 473.</ref>。関数 <math>\Phi</math> の選択が数値積分スキームを選択することに対応する。離散化した時刻の差分 <math>h = t_{i+1} - t_i</math> を刻み幅あるいはステップサイズと呼ぶ<ref>齊藤, pp. 97-98.</ref>。なお、ここでは時間ステップ <math>h = t_{i+1} - t_i</math> は一定としたが、これを動的に決定する{{仮リンク|適応刻み|en|Adaptive step size|Adaptive step size}}という手法もある<ref name="#1">Press et al., p. 709.</ref><ref>{{Cite web|和書|author=Jun Makino |url=http://jun-makino.sakura.ne.jp/kougi/system_suuri4_1998/all/node24.html |title=5.6 刻み幅調節と埋め込み型公式 |accessdate=2021-02-02}}</ref>。

厳密解 <math>y ( t )</math> から[[差分商]]
{{Indent|<math>\Delta ( t, \eta; h ) = \begin{cases} \frac{ y ( t + h ) - \eta }{ h } & h \neq 0 \\ f ( t, \eta ) & h = 0 \end{cases}</math>}}
を導入するとき、数値積分スキーム <math>\Phi</math> の局所離散化誤差<ref>齊藤, pp. 99, 102.</ref> (local discretization error) は
{{Indent|<math>\Delta ( t, \eta; h ) - \Phi ( t, \eta; h )</math>}}
により定義される<ref>Stoer & Bulirsch, pp. 473-474.</ref><ref>Hackbusch, p. 71.</ref>。整合性のために <math>h \to 0</math> の極限で局所離散化誤差（厳密にはその上限）は 0 に収束することが要求される<ref name="#2">Stoer & Bulirsch, p. 474.</ref><ref name="#3">Hackbusch, p. 72.</ref>。さらに、この極限で局所離散化誤差が
<math>\Delta ( t, \eta; h ) - \Phi ( t, \eta; h ) = O ( h^p )</math>
を満足するとき、この積分スキーム <math>\Phi</math> は <math>p</math> 次精度であるという<ref>齊藤, p. 103.</ref><ref name="#2"/>。

一方、<math>t</math> を固定して <math>n \to \infty</math> とするとき、大域離散化誤差<ref>齊藤, p. 102.</ref> (global discretization error)
{{Indent|<math>e ( t; h_n ) = \eta ( t; h_n ) - y ( t ) , \ \ h_n = \frac{ t - t_0 }{ n }</math>}}
が 0 に収束するならば、その積分スキームは収束するという<ref>Stoer & Bulirsch, p. 477.</ref><ref name="#3"/>。<math>p</math> 次精度 (<math>p > 0</math>) の1段法を十分に滑らかな関数 <math>f</math> に適用するとき、そのスキームは収束し大域離散化誤差は
{{Indent|<math>e ( t; h_n ) = O ( h_n^p )</math>}}
のように振る舞うことが保証されている、すなわち大域離散化誤差のオーダーは局所離散化誤差のオーダーに等しい<ref>Stoer & Bulirsch, pp. 477-479.</ref><ref>Hackbusch, pp. 73-74.</ref>。この結果はすべての整合的な一段法が <math>h \to 0</math> で漸近的に[[数値的安定性|安定]]であることを意味するものの、ただし現実的に可能な <math>h</math> で1段法が安定であることは必ずしも保証されない（[[#安定性]]節を参照）<ref>Hackbusch, p. 74.</ref>。

[[File:Error of ODE Solvers (Japanese label).svg|thumb|320px|オイラー法、ホイン法、古典的ルンゲ＝クッタ法 (RK4) の相対誤差の比較。初期値 <math>y ( 0 ) = 0</math> のもとでの常微分方程式 <math>\frac{ d y }{ d t } = \cos ( y )</math> の数値解の <math>t = 1</math> での値をステップサイズの関数として対数プロットした。各手法がそれぞれ1次精度、2次精度、4次精度であることに対応して、傾き 1, 2, 4 で誤差が減少している<ref>齊藤, p. 107.</ref>。]]

積分スキーム <math>\Phi</math> としては以下のものが知られている。
* [[オイラー法]]<ref>齊藤, p. 97-98, 103.</ref>: <math>\Phi( t, \eta; h ) = f ( t, \eta )</math> とするもの。これは1次精度のスキームである。
* {{仮リンク|ホイン法|en|Heun's method}}<ref>齊藤, p. 106.</ref>: <math>\Phi ( t, \eta; h ) = [ f ( t, \eta ) + f ( t + h, \eta + h f ( t, \eta ) ) ] / 2</math> とするもの。これは2次精度のスキームであり、関数 <math>f</math> の評価を2回必要とする。
* [[ルンゲ＝クッタ法|古典的ルンゲ＝クッタ法]]: これは4次精度のスキームであり、関数 <math>f</math> の評価を4回必要とする<ref>Stoer & Bulirsch, pp. 475-476.</ref>。
このうち古典的ルンゲ＝クッタ法は適用可能範囲の広さ<ref name="#1"/>やプログラミングの容易さのために広く用いられている<ref>{{Cite web|和書|url=http://www.ed.u-tokai.ac.jp/takakura/jp/takakura/book_SuuchiKeisan/RC10.pdf |title=Ｃ言語による数値計算プログラミング演習 10. 常微分方程式の初期値問題 |accessdate=2021-02-02}}</ref>（ただし Press らは著書において計算速度の観点から古典的ルンゲ＝クッタ法に否定的に言及している<ref>Press et al., pp. 708-709, 712.</ref>）。

{{See also |ルンゲ＝クッタ法}}

=== 多段法 ===
一段法は <math>\eta_{i+1}</math> の値を <math>\eta_i</math> だけから定めるものであったが、より多くのステップでの値 <math>\eta_{i-1}</math>, ..., <math>\eta_{i-r+1}</math> を使う積分スキームは多段法<ref name="加古"/> (multistep method) と呼ばれる<ref name="#4">Stoer & Bulirsch, p. 492.</ref>。この場合、最初の <math>\eta_0</math>, ..., <math>\eta_{r-1}</math> はこのスキームでは定めることができず、1段法などの他の方法を用いる必要がある<ref name="#4"/>。多段法としては[[アダムス・バッシュフォース法]]や、それを応用する[[予測子修正子法]]などがある<ref>Press et al., pp. 747-750.</ref>（これはどちらも <math>\eta_{i+1}</math> が <math>\eta_{i-r+1}</math>, ..., <math>\eta_{i}</math> の線型関数として定まるため、[[線型多段法]]と呼ばれる<ref>Stoer & Bulirsch, p. 508.</ref>）。

{{詳細記事|線型多段法}}

=== 安定性 ===
数値積分スキームの安定性はしばしばそれを初期値問題
{{Indent|<math>\frac{ d y }{ d t } = \lambda y , \ \ y ( 0 ) = 1</math>}}
（<math>\lambda</math> は複素数の定数）に適用することで定量化される<ref name="#5">Iserles, pp. 56-57.</ref>。問題のスキームを一定の刻み幅 <math>h</math> で適用することで得られる数列 <math>\{ y_n \}_{n = 0, 1, \cdots}</math> について、それが極限 <math>n \to \infty</math> で 0 に収束するような <math>h \lambda</math> がなす[[複素平面]]上の領域を絶対安定領域<ref>{{Cite web|和書|author=Jun Makino |date=1998 |url=http://jun-makino.sakura.ne.jp/kougi/system_suuri4_1999/note7/node2.html |title=2 数値解の安定性 |accessdate=2021-02-01}}</ref>と呼ぶ<ref name="#5"/>。もとの初期値問題の厳密解は <math>y ( t ) = e^{\lambda t}</math> であり、これは <math>\mathrm{Re} \{ \lambda \} < 0</math> のとき <math>t \to \infty</math> で 0 に収束する<ref>Iserles, p. 56.</ref>。そこである積分スキームの絶対安定領域が左半平面を含むとき、そのスキームはA-安定 (A-stable) であるという<ref>Iserles, p. 59.</ref><ref name="牧野-A安定性">{{Cite web|和書|author=Jun Makino |date=1998 |url=http://jun-makino.sakura.ne.jp/kougi/system_suuri4_1998/all/node62.html |title=11.2 A-安定性 |accessdate=2021-02-01}}</ref>。

関数 <math>f ( t, y )</math> が大きな値を取り積分スキームによっては極端に時間刻み幅 <math>h</math> を小さくする必要がある場合、その常微分方程式は[[硬い方程式]]と呼ばれる<ref>Iserles, pp. 53-56.</ref>。この場合には十分に安定なスキームを用いる必要が生じる<ref name="牧野-A安定性"/>。これはしばしば <math>y_{i+1}</math> を[[陰関数]]的に <math>y_i</math> 等から定める[[陰解法]]によって実現される<ref>Press et al., pp. 735-736.</ref>。

{{詳細記事|硬い方程式}}

=== 幾何学的解法 ===
解析対象となる微分方程式が何らかの特別な性質を持つとき、汎用の数値積分法ではなく、その性質を尊重するように構成された数値解法を用いることがあり、そのような手法は構造保存型解法または幾何学的数値解法と呼ばれる<ref>齊藤, p. 120.</ref><ref name="宮武">{{Cite web|和書|author=宮武勇登 |url=http://coop-math.ism.ac.jp/files/190/slide-Upscaling2016-miyatake.pdf |title=保存則に即した数値計算手法 |accessdate=2021-02-02}}</ref>。例えば[[古典力学]]（[[ハミルトン力学]]）において時間発展は[[シンプレクティック同相写像|シンプレクティック写像]]であり、[[エネルギー]]（[[ハミルトニアン]]）等の保存量が存在する<ref name="宮武"/>。この場合には[[シンプレクティック数値積分法]]というハミルトン系にのみ適用可能な数値解法が存在し、良好な性質を持つことが知られている<ref name="Yoshida1994">{{Cite journal|和書|author=吉田春夫 |date=1994-11 |url=https://hdl.handle.net/2433/84362 |title=可変時間ステップによるシンプレクティック数値解法(非線形可積分系による応用解析) |journal=数理解析研究所講究録 |ISSN=1880-2818 |publisher=京都大学数理解析研究所 |volume=889 |pages=70-76 |hdl=2433/84362 |CRID=1050001202298760960 |accessdate=2023-12-21}}</ref>。

{{詳細記事|シンプレクティック数値積分法}}

== 境界値問題 ==
常微分方程式
{{Indent|<math>\frac{ d y }{ d x } = f ( x, y )</math>}}
の解 <math>y ( x )</math> で, <math>a \neq b</math> に対する境界条件
{{Indent|<math>r ( y ( a ), y ( b ) ) = c</math>}}
を満足するものを求める問題を[[境界値問題]] (boundary-value problem) と呼ぶ<ref>Stoer & Bulirsch, pp. 539-540.</ref>。初期値問題と異なり、境界値問題では複数の解が存在すること、あるいは解が存在しないことがあり得る。また、[[スツルム＝リウヴィル型微分方程式]]のように常微分方程式にパラメータ <math>\lambda</math> が含まれ、境界値問題に解が存在するようにパラメータ <math>\lambda</math> を同時に定める問題もある<ref>Stoer & Bulirsch, p. 541.</ref>。

これらの問題を数値的に解く最も単純な方法が[[狙い撃ち法]] (shooting method) である<ref>Stoer & Bulirsch, pp. 542-548.</ref>。一方の端点（例えば <math>x = a</math>）において初期条件 <math>y ( a )</math> を適当に定めて微分方程式をもう一方の端点 <math>x = b</math> まで解き、境界条件を満たすように未定の初期条件（および固有値）を適切に選ぶ<ref>Press et al., pp. 753-755, 757-759.</ref><ref>Hairer et al. (1993), p. 105.</ref>。これは[[ニュートン法]]などの関数の根を求めるアルゴリズム（これはしばしば逐次反復を伴う）を常微分方程式の数値解法と組み合わせることを意味する<ref>Hairer et al. (1993), p. 106.</ref><ref>Press et al., pp. 754-755.</ref>。ただし初期条件によっては区間 <math>[ a, b ]</math> 全体で定義された解が存在しないことがあり、そのために改良された手法がある<ref>Hairer et al. (1993), pp. 106-107.</ref>。あるいは[[有限要素法]] (finite element method) などの手法も用いられる<ref>Iserles, pp. 171-176.</ref>。

==解の存在検証==
{{seealso|精度保証付き数値計算|計算機援用証明}}
高精度に解く技術が追求されている一方で、「計算機で解の存在を検証する」という研究もおこなわれている<ref name="oishi">[[精度保証付き数値計算]]の基礎』[[大石進一]] 編著、コロナ社、2018年。</ref>。このような研究が必要となるのは、近似解が求まったとしてもそれが幻影解である危険性があるからである。[[偏微分方程式]]ではすでに幻影解が報告されているので<ref name="oishi"/><ref group="B">Breuer, B., Plum, M., & McKenna, P. J. (2001). "Inclusions and existence proofs for solutions of a nonlinear boundary value problem by spectral numerical methods." In Topics in Numerical Analysis (pp. 61–77). Springer, Vienna.  {{isbn2|978-3-211-83673-6}}, {{doi|10.1007/978-3-7091-6217-0_6}}.</ref><ref group="B">{{Cite journal |author=Gidas, Basilis; Ni, Wei-Ming; Nirenberg, Louis |year=1979 |title=Symmetry and related properties via the maximum principle |journal=Communications in mathematical physics |volume=68 |issue=3 |pages=209-243 |publisher=Springer |url=https://doi.org/10.1007/BF01221125 |doi=10.1007/BF01221125}} {{要購読}}</ref>、[[常微分方程式]]でも警戒が必要である。偏微分方程式の時と同様に[[関数解析学]]的な手法<ref name="oishi"/><ref name="nakao">{{cite book |author=Nakao, Mitsuhiro T; Plum, Michael; Watanabe, Yoshitaka |year=2019 |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-981-13-7669-6 |title=Numerical verification methods and computer-assisted proofs for partial differential equations |publisher=Springer |doi=10.1007/978-981-13-7669-6 |ref=harv}}</ref><ref name="ny">中尾充宏, & 山本野人. (1998). 精度保証付き数値計算 チュートリアル: 応用数理最前線.</ref><ref name="nw">中尾充宏, & 渡部善隆. (2011). 実例で学ぶ精度保証付き数値計算, [[サイエンス社]].</ref>も考えられるが、関数解析学に頼らない手法 (例えば[[狙い撃ち法]]、[[スペクトル法]]や[[アフィン演算]]など) に基づく研究が主流であり<ref name="oishi"/>、欧米などの海外<ref name="lohner" group="B">Lohner，R．J.，Enclosing the Solution of Ordinary lnitial and Boundary Value Problems, Computer arithmetic：Scientific Computation and Programming Languages，Kaucher，E.，Kulisch，U., Ullrich，Ch．(eds.)， B．G．Teubner，Stuttgart (1987), 255−286.</ref><ref group="B">Rihm, R. (1994). Interval methods for initial value problems in ODEs. Topics in Validated Computations, 173-207.</ref><ref group="B">Hungria, A., Lessard, J. P., & Mireles-James, J. D. (2014). Radii polynomial approach for analytic solutions of differential equations: Theory, examples, and comparisons. Math. Comp.</ref><ref group="B">Nedialkov, N. S., Jackson, K. R., & Pryce, J. D. (2001). An effective high-order interval method for validating existence and uniqueness of the solution of an IVP for an ODE. Reliable Computing, 7(6), 449-465.</ref><ref group="B">Corliss, G. F. (1989). Survey of interval algorithms for ordinary differential equations. Applied Mathematics and Computation, 31, 112-120.</ref><ref group="B">Nedialkov, N. S. (2000). Computing rigorous bounds on the solution of an initial value problem for an ordinary differential equation (Ph.D. thesis). University of Toronto.</ref><ref group="B">Eijgenraam, P. (1981). The solution of initial value problems using interval arithmetic: formulation and analysis of an algorithm. MC Tracts.</ref><ref group="B">Nedialkov, N. S., & Jackson, K. R. (1999). An interval Hermite-Obreschkoff method for computing rigorous bounds on the solution of an initial value problem for an ordinary differential equation. Reliable Computing, 5(3), 289-310.</ref><ref group="B">Nedialkov, N. S., Jackson, K. R., & Corliss, G. F. (1999). Validated solutions of initial value problems for ordinary differential equations. Applied Mathematics and Computation, 105(1), 21-68.</ref>のみならず日本国内でも研究されている<ref group="B">Berz, M., & Makino, K. (1998). Verified integration of ODEs and flows using differential algebraic methods on high-order Taylor models. Reliable computing, 4(4), 361-369.</ref><ref group="B">柏木啓一郎, & 柏木雅英. (2011). 平均値形式と[[アフィン演算]]を用いた常微分方程式の精度保証法. [[日本応用数理学会]]論文誌, 21(1), 37-58.</ref><ref group="B">Kashiwagi, M. (1995). Numerical Validation for Ordinary Differential Equations using Power Series Arithmetic. In Numerical Analysis Of Ordinary Differential Equations And Its Applications (pp. 213-218).</ref><ref group="B">相馬隆郎, & [[大石進一]]. (2003). 精度保証付き数値計算法を用いた常微分方程式の全解探索アルゴリズム. [[電子情報通信学会]]論文誌 A, 86(6), 663-673.</ref>。また、爆発解 ({{lang-en-short|Blow-up solution}}) に特化した精度保証付き解法も探求されている<ref group="B">Takayasu, A., Matsue, K., Sasaki, T., Tanaka, K., Mizuguchi, M., & Oishi, S. I. (2017). Numerical validation of blow-up solutions of ordinary differential equations. [[:en:Journal of Computational and Applied Mathematics]], 314, 10-29.</ref><ref group="B">Matsue, K., & Takayasu, A. (2019). Rigorous numerics of blow-up solutions for ODEs with exponential nonlinearity. arXiv preprint arXiv:1902.01842.</ref>。
===解の存在検証・計算機援用証明が行われた方程式===
* [[ローレンツ方程式]]<ref group="B">Hassard, B., Zhang, J., Hastings, S. P., & Troy, W. C. (1994). A computer proof that the Lorenz equations have “chaotic” solutions. Applied Mathematics Letters, 7(1), 79-83.</ref><ref group="B">Mischaikow, K., & Mrozek, M. (1995). Chaos in the Lorenz equations: a computer-assisted proof. [[:en:Bulletin of the American Mathematical Society]], 32(1), 66-72.</ref><ref group="B">Mischaikow, K., & Mrozek, M. (1998). Chaos in the Lorenz equations: A computer assisted proof. Part II: Details. [[:en:Mathematics of Computation]], 67(223), 1023-1046.</ref><ref group="B">Mischaikow, K., Mrozek, M., & Szymczak, A. (2001). Chaos in the lorenz equations: A computer assisted proof part iii: Classical parameter values. Journal of Differential Equations, 169(1), 17-56.</ref><ref group="B">Galias, Z., & Zgliczyński, P. (1998). Computer assisted proof of chaos in the Lorenz equations. Physica D: Nonlinear Phenomena, 115(3-4), 165-188.</ref><ref group="B">Tucker, W. (1999). The Lorenz attractor exists. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences-Series I-Mathematics, 328(12), 1197-1202.</ref>
* [[レスラー方程式]]<ref group="B">Zgliczynski, P. (1997). Computer assisted proof of chaos in the Rössler equations and in the Hénon map. Nonlinearity, 10(1), 243.</ref>
* [[ダフィング方程式]]<ref>[[大石進一]]、非線形解析入門、コロナ社。</ref><ref group="B">[[大石進一]]. (1993). 非線形常微分方程式の周期解の数値的存在検証と近似解の精度保証. [[電子情報通信学会]]技術研究報告. CAS, 回路とシステム, 93(102), 91-96.
</ref><ref group="B">[[大石進一]]. (1993). 非線形常微分方程式の周期解の数値的存在検証と近似解の精度保証 (常微分方程式系の数値解析とその周辺). [[京都大学数理解析研究所]]講究録.
</ref>

===関連ソフトウェア・ライブラリ===
*[https://www.bt.pa.msu.edu/index_cosy.htm COSY INFINITY]<ref group="B">Makino, K., & Berz, M. (2006). Cosy infinity version 9. Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section A: Accelerators, Spectrometers, Detectors and Associated Equipment, 558(1), 346-350.</ref><ref group="B">Berz, M., Makino, K., Shamseddine, K., Hoffstätter, G. H., & Wan, W. (1996). 32. COSY INFINITY and Its Applications in Nonlinear Dynamics.</ref>
*[[INTLAB]]: [[MATLAB]]/[[GNU Octave]]を使用する[[区間演算]]ライブラリであり、version 11 からODEソルバー (AWA toolbox と Taylor model toolbox の二つ) が搭載された<ref name="lohner" group="B"/><ref group="B">S.M. Rump: INTLAB - INTerval LABoratory. In Tibor Csendes, editor, Developments in Reliable Computing, pages 77-104. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999.</ref>。
*[http://verifiedby.me/kv/ kv] [[C++]]による[[区間演算]]ライブラリであり、ODEソルバーを搭載している。<ref name="lohner" group="B"/><ref group="B">Overview of kv – a C++ library for verified numerical computation, Masahide Kashiwagi, [[SCAN (国際研究集会)|SCAN]] 2018.</ref>
**{{GitHub|mskashi/kv}}
*[http://capd.ii.uj.edu.pl/ CAPD] [[C++]]による[[区間演算]]ライブラリであり、[[力学系]]への応用のために開発された
*[[:en:Chebfun]]

==出典==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist|2}}
===近似解法に関する論文===
{{reflist|group="A"|2}}
===精度保証・計算機援用証明に関する論文===
{{reflist|group="B"|2}}

==参考文献==
===和書===
* 戸川隼人：「微分方程式の数値計算：有限要素法と差分法」、オーム社（1973年8月）。
* 一松信：「微分方程式と解法」、教育出版、ISBN 978-4-316-37661-5（1976年11月）。　
* 三井斌友：「常微分方程式の数値解法」, [[岩波書店]]、ISBN 978-4-00-005453-9（2003年7月29日）。
* 三井斌友、小藤俊幸、斉藤善：「微分方程式による計算科学入門」、[[共立出版]] 、ISBN 978-4-320-01753-5 (2004年2月25日)。※ ハミルトン系に対するシンプレクティック法、遅延微分方程式、確率微分方程式が扱われている。
* U.M.アッシャー、L.R.ペツォルド：「常微分方程式と微分代数方程式の数値解法」、培風館、ISBN 4-563-01125-8 (2006年7月14日)。
* E.ハイラー、S.P.ネルセット、G.バンナー, 三井斌友(訳)：「常微分方程式の数値解法 I　(基礎編）」、丸善出版、ISBN 978-4-621-06282-1（2007年12月）。
* E.ハイラー、G.バンナー, 三井斌友(訳)：「常微分方程式の数値解法 II　(発展編）」、丸善出版、ISBN 978-4-621-06317-0（2008年8月）。
* {{Cite book |和書 |author=齊藤宣一 |title=数値解析 （共立講座 数学探検 17） |publisher=共立出版 |date=2017 |isbn=978-4-320-99274-0}}
* 神永正博:「Pythonと実例で学ぶ微分方程式：はりの方程式から感染症の数理モデルまで」、コロナ社、ISBN 978-4-339-06123-9 (2021年10月22日)。※ 応用とPythonのライブラリの利用に主眼がある。

===洋書===
{{Div col|rules=yes}}
* Mitsui, T., & Shinohara, Y. (1995). Numerical analysis of ordinary differential equations and its applications. [[:en:World Scientific]].
* Iserles, A. (2009). A first course in the numerical analysis of differential equations. [[ケンブリッジ大学出版局|Cambridge University Press]].
* Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, Berlin, New York: [[Springer-Verlag]], {{ISBN2|978-3-540-56670-0}}. ([[日本語]]版が[[丸善出版]]から発売されている、三井斌友が翻訳を担当)
* Wanner, G. & Hairer, E. (1996), Solving ordinary differential equations II: Stiff and differential-algebraic problems (2nd ed.). Springer Berlin Heidelberg. (日本語版が丸善出版から発売されている、三井斌友が翻訳を担当)
* Butcher, John C. (2008), Numerical Methods for Ordinary Differential Equations, New York: John Wiley & Sons, {{ISBN2|978-0-470-72335-7}}.
* John D. Lambert, Numerical Methods for Ordinary Differential Systems, John Wiley & Sons, Chichester, 1991. {{ISBN2|0-471-92990-5}}.
* Deuflhard, P., & Bornemann, F. (2012). Scientific computing with ordinary differential equations. [[:en:Springer Science & Business Media]].
* Shampine, L. F. (2018). Numerical solution of ordinary differential equations. Routledge.
* Dormand, John R. (1996), Numerical Methods for Differential Equations: A Computational Approach, Boca Raton: [[:en:CRC Press]].
* {{Cite book |last1=Press |first1=William H. |first2=Saul A. |last2=Teukolsky |first3=William T. |last3=Vetterling |first4=Brian P. |last4=Flannery |date=1992 |title=Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing |edition=2nd |publisher=Cambridge University Press |doi=10.2277/0521431085 |isbn=978-0-521-43108-8}}
* {{Cite book |last1=Stoer |first1=Josef |last2=Bulirsch |first2=R. |title=Introduction to Numerical Analysis |publisher=[[Springer]] |date=2002 |isbn=978-0-387-21738-3 |doi=10.1007/978-0-387-21738-3}}
* {{Cite book |first=Wolfgang |last=Hackbusch |title=The Concept of Stability in Numerical Mathematics |date=2014 |publisher=Springer |isbn=978-3-642-39386-0 |doi=10.1007/978-3-642-39386-0}}
* John C. Butcher: "B-Series : Algebraic Analysis of Numerical Methods", Springer（SSCM, volume 55), ISBN 978-3030709556 (April, 2021).
* Hairer Ernst, Lubich Christian, Wanner Gerhard: "Geometric Numerical Integration: Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations" (2nd Ed.), Springer, ISBN 978-3-540-30663-4 (2006).
* [https://textbooks.open.tudelft.nl/textbooks/catalog/book/57 Kees Vuik, Fred Vermolen,Martin van Gijzen and Thea Vuik: "Numerical Methods for Ordinary Differential Equations"], ISBN 978-94-6366-665-7 (2023年1月8日）

{{Div col end}}
====微分代数方程式の数値解法====
{{seealso|:en:differential-algebraic system of equations}}
{{Div col|rules=yes}}
* Brenan, K. E., Campbell, S. L., & Petzold, L. R. (1996). Numerical solution of initial-value problems in differential-algebraic equations. [[SIAM (学会)|SIAM]].
* Hairer, E., Lubich, C., & Roche, M. (2006). The numerical solution of differential-algebraic systems by Runge-Kutta methods. Springer.
* Kunkel, P., & Mehrmann, V. (2006). Differential-algebraic equations: analysis and numerical solution. [[ヨーロッパ数学会|European Mathematical Society]].
* Marz, R. (1992). Numerical methods for differential algebraic equations. [[:en:Acta Numerica]], 1, 141-198.
{{Div col end}}
====遅延微分方程式の数値解法====
{{seealso|:en:Delay differential equation}}
* Bellen, A., & Zennaro, M. (2013). Numerical methods for delay differential equations. [[オックスフォード大学出版局|Oxford University Press]].
* Zennaro, M. (1995). Delay differential equations: theory and numerics. Theory and numerics of ordinary and partial differential equations, 291-333.

==外部リンク==
{{ウィキプロジェクトリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg|34px|Project:数学]]}}
{{ウィキポータルリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics-p.svg|34px|Portal:数学]]}}
*[http://verifiedby.me/kv/demo/ode.cgi Verified ODE (IVP) Solver]
*[https://kaken.nii.ac.jp/ja/grant/KAKENHI-PROJECT-17540106/ 常微分方程式で記述される非線形力学系に関する精度保証付き計算法の研究]
*[https://kaken.nii.ac.jp/ja/grant/KAKENHI-PROJECT-19560059/ 硬い常微分方程式が与える連続力学系の周期解の数値計算]
*[https://www.hpc.cmc.osaka-u.ac.jp/wp-content/uploads/2022/05/20220713.pdf 宮武勇登：「今更聞けない数値計算アルゴリズム（常微分⽅程式 編）」]
===解説記事===
====近似解法====
*[http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/labo/text/numerical-ode/ 常微分方程式の初期値問題の数値解法]
*[http://www.aoni.waseda.jp/ykagawa/ode1html/ode1html.html 常微分方程式の数値解法]
*[https://ncatlab.org/nlab/show/symplectic+integrator symplectic integrator in nLab]
*[http://cms.phys.s.u-tokyo.ac.jp/~naoki/CIPINTRO/CIP/symplectic.html Symplectic数値積分法]
*[http://cms.phys.s.u-tokyo.ac.jp/~naoki/CIPINTRO/SYMP/symp1.html Symplectic Integratorの紹介]

====精度保証====
*{{PDFlink|[http://verifiedby.me/adiary/pub/kashi/image/201410/yamanashi.pdf 常微分方程式の精度保証パッケージ開発]}}
*{{PDFlink|[http://verifiedby.me/adiary/pub/kashi/image/adiary/2018/seminar-ode.pdf 常微分方程式の精度保証付き数値解法]}} ([[ファン・デル・ポール振動子]]を扱った実験例が掲載されている)

===研究集会===
*[https://sites.google.com/view/ode-jp-2019/ 常微分方程式の数値解法とその周辺 2019]
*[https://sites.google.com/view/odejp2018/ 常微分方程式の数値解法とその周辺 2018]
===ソフトウェア===
*[http://www.ti3.tu-harburg.de/rump/intlab/ INTLAB]
*[http://www.ti3.tuhh.de/intlab/demos/html/dawa.html Short demonstration of the AWA toolbox]
*[http://www.ti3.tuhh.de/intlab/demos/html/dtaylormodel.html Short demonstration of the Taylor model toolbox]
{{数学}}
[[Category:数値解析]]
[[Category:数値微分方程式]]
[[Category:常微分方程式]]
[[Category:計算科学]]
[[Category:応用数学]]
[[Category:アルゴリズム]]
[[Category:数学に関する記事]]
{{デフォルトソート:しようひふんほうていしきのすうちかいほう}}