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'''常用対数'''（じょうようたいすう、{{lang-en-short|common logarithm}}）あるいは'''ブリッグスの対数'''（{{lang-en-short|''Briggsian logarithm''}}）は [[10]] を[[底]]とする[[対数]]のことである。 == 定義と概要 == 任意の正の数 {{mvar|x}} に対し、{{math|1=''x'' = 10<sup>''a''</sup>}} により定められる実数 {{mvar|a}} を、{{math|10}} を'''底''' ({{en|base}}) とする {{mvar|x}} の'''常用対数''' ({{en|common logarithm}}) といい、記号 {{math|log{{sub|10}} ''x''}} で表す。つまり、 :{{math|1=''x'' = 10<sup>''a''</sup> ⇔ ''a'' = log{{sub|10}} ''x''}} となる。このとき、{{mvar|x}} を'''真数''' ({{en|antilogarithm}}) という（用語などの詳細は、おおもとの[[対数]]の項を参照されたい）。 数学者[[ヘンリー・ブリッグス]]が、[[対数|ネイピアの対数]]を発案した[[ジョン・ネイピア]]と議論をして、この定義のような改良を提案し常用対数表を作成したことにより'''ブリッグスの対数'''とも呼ばれる。 例えば、{{math|1=log{{sub|10}} 100 = 2}}, {{math|1=log{{sub|10}} 1000 = 3}}, {{math|log{{sub|10}} 2 ≒ 0.3010}}, {{math|log{{sub|10}} 3 ≒ 0.4771}} である。ある常用対数（例えば {{math|1=log{{sub|10}} 200 ≒ 2.3010}}）の整数部分 (2) をその常用対数の[[数量の比較|'''指標''']]または'''標数''' ({{en|characteristic}})、小数部分 (0.301) を'''[[仮数]]''' ({{en|mantissa}}) と言う。 [[マグニチュード]]、[[水素イオン指数]]、[[デシベル]]のように、科学的な調査における測定値の対数的な性質を調べる場合に用いられている事が多い。 ほとんどの場合に常用対数しか使わず、誤解の無い分野や文献では、底である 10 はしばしば省略を受け、単に {{math|log ''x''}} と書かれる。[[ISO 80000-2]]は{{math|lg ''x''}}という記法を推奨している（その他の底に関する略記に関しては、[[対数]]の項を参照）。 常用対数の値は、その真数の十進法表示の桁数の目安になる。実際、{{mvar|x}} が自然数のとき、{{mvar|x}} の桁数は、{{math|log ''x''}} の整数部分 {{math|⌊log ''x''⌋}} に 1 を足した数に等しい（⌊ ⌋ は[[床関数と天井関数|床関数]]）。すなわち、{{math|''n'' − 1 ≦ log ''x'' < ''n''}}（{{mvar|n}} は[[自然数]]）の時、{{mvar|x}} は {{math|''n''}} 桁の自然数であると断定できる。また、{{math|0 < ''x'' < 1}} の[[実数]]のとき、{{mvar|x}} の小数首位（小数点以下に最初に現れる、0 でない桁）は、{{math|−⌊log ''x''⌋}} で与えられる。 底の変換公式 {{math|1=log<sub>''a''</sub> ''x'' log<sub>''b''</sub> ''a'' = log<sub>''b''</sub> ''x''}} を用いれば、常用対数の値は同じ真数に対する[[自然対数]]の {{math|log{{sub|10}} e ≒ 0.43}} 倍となることがわかる。 常用対数のもっとも身近な例のひとつが、[[化学]]で使われる[[水素イオン指数]]である。これは次のように定義されている。 :<math>\mathrm{pH} =-\log_{10} \frac{[\mathrm{H}^+]}{\mathrm{mol/L}}.</math> === 常用対数表 === 任意の正の数 {{mvar|x}} は、{{math|1=''x'' = ''a'' × 10<sup>''s''</sup>}} （{{math|1=1 ≦ ''a'' < 10}}, {{mvar|s}} は整数<ref>負の整数も含むことに注意。</ref>）の形で表せる。したがって、任意の真数 {{mvar|x}} に対する常用対数 {{math|1=log{{sub|10}} ''x''}} の値を知りたいときには、{{math|1=log{{sub|10}} ''x'' = ''s'' + log{{sub|10}} ''a''}} より、真数が 1 以上 10 未満のときの値から算出することができる。 下記の常用対数表は、左の列に真数の小数第1位までが、上の行に真数の小数第2位が書かれている。例えば、{{math|log{{sub|10}} 1.23}} の値は、1.2 の行と 3 の列を読むことより、約 0.0899 とわかる。 <pre> 数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.0 .0000 .0043 .0086 .0128 .0170 .0212 .0253 .0294 .0334 .0374 1.1 .0414 .0453 .0492 .0531 .0569 .0607 .0645 .0682 .0719 .0755 1.2 .0792 .0828 .0864 .0899 .0934 .0969 .1004 .1038 .1072 .1106 1.3 .1139 .1173 .1206 .1239 .1271 .1303 .1335 .1367 .1399 .1430 1.4 .1461 .1492 .1523 .1553 .1584 .1614 .1644 .1673 .1703 .1732 1.5 .1761 .1790 .1818 .1847 .1875 .1903 .1931 .1959 .1987 .2014 1.6 .2041 .2068 .2095 .2122 .2148 .2175 .2201 .2227 .2253 .2279 1.7 .2304 .2330 .2355 .2380 .2405 .2430 .2455 .2480 .2504 .2529 1.8 .2553 .2577 .2601 .2625 .2648 .2672 .2695 .2718 .2742 .2765 1.9 .2788 .2810 .2833 .2856 .2878 .2900 .2923 .2945 .2967 .2989 2.0 .3010 .3032 .3054 .3075 .3096 .3118 .3139 .3160 .3181 .3201 2.1 .3222 .3243 .3263 .3284 .3304 .3324 .3345 .3365 .3385 .3404 2.2 .3424 .3444 .3464 .3483 .3502 .3522 .3541 .3560 .3579 .3598 2.3 .3617 .3636 .3655 .3674 .3692 .3711 .3729 .3747 .3766 .3784 2.4 .3802 .3820 .3838 .3856 .3874 .3892 .3909 .3927 .3945 .3962 2.5 .3979 .3997 .4014 .4031 .4048 .4065 .4082 .4099 .4116 .4133 2.6 .4150 .4166 .4183 .4200 .4216 .4232 .4249 .4265 .4281 .4298 2.7 .4314 .4330 .4346 .4362 .4378 .4393 .4409 .4425 .4440 .4456 2.8 .4472 .4487 .4502 .4518 .4533 .4548 .4564 .4579 .4594 .4609 2.9 .4624 .4639 .4654 .4669 .4683 .4698 .4713 .4728 .4742 .4757 3.0 .4771 .4786 .4800 .4814 .4829 .4843 .4857 .4871 .4886 .4900 3.1 .4914 .4928 .4942 .4955 .4969 .4983 .4997 .5011 .5024 .5038 3.2 .5051 .5065 .5079 .5092 .5105 .5119 .5132 .5145 .5159 .5172 3.3 .5185 .5198 .5211 .5224 .5237 .5250 .5263 .5276 .5289 .5302 3.4 .5315 .5328 .5340 .5353 .5366 .5378 .5391 .5403 .5416 .5428 3.5 .5441 .5453 .5465 .5478 .5490 .5502 .5514 .5527 .5539 .5551 3.6 .5563 .5575 .5587 .5599 .5611 .5623 .5635 .5647 .5658 .5670 3.7 .5682 .5694 .5705 .5717 .5729 .5740 .5752 .5763 .5775 .5786 3.8 .5798 .5809 .5821 .5832 .5843 .5855 .5866 .5877 .5888 .5899 3.9 .5911 .5922 .5933 .5944 .5955 .5966 .5977 .5988 .5999 .6010 4.0 .6021 .6031 .6042 .6053 .6064 .6075 .6085 .6096 .6107 .6117 4.1 .6128 .6138 .6149 .6160 .6170 .6180 .6191 .6201 .6212 .6222 4.2 .6232 .6243 .6253 .6263 .6274 .6284 .6294 .6304 .6314 .6325 4.3 .6335 .6345 .6355 .6365 .6375 .6385 .6395 .6405 .6415 .6425 4.4 .6435 .6444 .6454 .6464 .6474 .6484 .6493 .6503 .6513 .6522 4.5 .6532 .6542 .6551 .6561 .6571 .6580 .6590 .6599 .6609 .6618 4.6 .6628 .6637 .6646 .6656 .6665 .6675 .6684 .6693 .6702 .6712 4.7 .6721 .6730 .6739 .6749 .6758 .6767 .6776 .6785 .6794 .6803 4.8 .6812 .6821 .6830 .6839 .6848 .6857 .6866 .6875 .6884 .6893 4.9 .6902 .6911 .6920 .6928 .6937 .6946 .6955 .6964 .6972 .6981 5.0 .6990 .6998 .7007 .7016 .7024 .7033 .7042 .7050 .7059 .7067 5.1 .7076 .7084 .7093 .7101 .7110 .7118 .7126 .7135 .7143 .7152 5.2 .7160 .7168 .7177 .7185 .7193 .7202 .7210 .7218 .7226 .7235 5.3 .7243 .7251 .7259 .7267 .7275 .7284 .7292 .7300 .7308 .7316 5.4 .7324 .7332 .7340 .7348 .7356 .7364 .7372 .7380 .7388 .7396 5.5 .7404 .7412 .7419 .7427 .7435 .7443 .7451 .7459 .7466 .7474 5.6 .7482 .7490 .7497 .7505 .7513 .7520 .7528 .7536 .7543 .7551 5.7 .7559 .7566 .7574 .7582 .7589 .7597 .7604 .7612 .7619 .7627 5.8 .7634 .7642 .7649 .7657 .7664 .7672 .7679 .7686 .7694 .7701 5.9 .7709 .7716 .7723 .7731 .7738 .7745 .7752 .7760 .7767 .7774 6.0 .7782 .7789 .7796 .7803 .7810 .7818 .7825 .7832 .7839 .7846 6.1 .7853 .7860 .7868 .7875 .7882 .7889 .7896 .7903 .7910 .7917 6.2 .7924 .7931 .7938 .7945 .7952 .7959 .7966 .7973 .7980 .7987 6.3 .7993 .8000 .8007 .8014 .8021 .8028 .8035 .8041 .8048 .8055 6.4 .8062 .8069 .8075 .8082 .8089 .8096 .8102 .8109 .8116 .8122 6.5 .8129 .8136 .8142 .8149 .8156 .8162 .8169 .8176 .8182 .8189 6.6 .8195 .8202 .8209 .8215 .8222 .8228 .8235 .8241 .8248 .8254 6.7 .8261 .8267 .8274 .8280 .8287 .8293 .8299 .8306 .8312 .8319 6.8 .8325 .8331 .8338 .8344 .8351 .8357 .8363 .8370 .8376 .8382 6.9 .8388 .8395 .8401 .8407 .8414 .8420 .8426 .8432 .8439 .8445 7.0 .8451 .8457 .8463 .8470 .8476 .8482 .8488 .8494 .8500 .8506 7.1 .8513 .8519 .8525 .8531 .8537 .8543 .8549 .8555 .8561 .8567 7.2 .8573 .8579 .8585 .8591 .8597 .8603 .8609 .8615 .8621 .8627 7.3 .8633 .8639 .8645 .8651 .8657 .8663 .8669 .8675 .8681 .8686 7.4 .8692 .8698 .8704 .8710 .8716 .8722 .8727 .8733 .8739 .8745 7.5 .8751 .8756 .8762 .8768 .8774 .8779 .8785 .8791 .8797 .8802 7.6 .8808 .8814 .8820 .8825 .8831 .8837 .8842 .8848 .8854 .8859 7.7 .8865 .8871 .8876 .8882 .8887 .8893 .8899 .8904 .8910 .8915 7.8 .8921 .8927 .8932 .8938 .8943 .8949 .8954 .8960 .8965 .8971 7.9 .8976 .8982 .8987 .8993 .8998 .9004 .9009 .9015 .9020 .9025 8.0 .9031 .9036 .9042 .9047 .9053 .9058 .9063 .9069 .9074 .9079 8.1 .9085 .9090 .9096 .9101 .9106 .9112 .9117 .9122 .9128 .9133 8.2 .9138 .9143 .9149 .9154 .9159 .9165 .9170 .9175 .9180 .9186 8.3 .9191 .9196 .9201 .9206 .9212 .9217 .9222 .9227 .9232 .9238 8.4 .9243 .9248 .9253 .9258 .9263 .9269 .9274 .9279 .9284 .9289 8.5 .9294 .9299 .9304 .9309 .9315 .9320 .9325 .9330 .9335 .9340 8.6 .9345 .9350 .9355 .9360 .9365 .9370 .9375 .9380 .9385 .9390 8.7 .9395 .9400 .9405 .9410 .9415 .9420 .9425 .9430 .9435 .9440 8.8 .9445 .9450 .9455 .9460 .9465 .9469 .9474 .9479 .9484 .9489 8.9 .9494 .9499 .9504 .9509 .9513 .9518 .9523 .9528 .9533 .9538 9.0 .9542 .9547 .9552 .9557 .9562 .9566 .9571 .9576 .9581 .9586 9.1 .9590 .9595 .9600 .9605 .9609 .9614 .9619 .9624 .9628 .9633 9.2 .9638 .9643 .9647 .9652 .9657 .9661 .9666 .9671 .9675 .9680 9.3 .9685 .9689 .9694 .9699 .9703 .9708 .9713 .9717 .9722 .9727 9.4 .9731 .9736 .9741 .9745 .9750 .9754 .9759 .9763 .9768 .9773 9.5 .9777 .9782 .9786 .9791 .9795 .9800 .9805 .9809 .9814 .9818 9.6 .9823 .9827 .9832 .9836 .9841 .9845 .9850 .9854 .9859 .9863 9.7 .9868 .9872 .9877 .9881 .9886 .9890 .9894 .9899 .9903 .9908 9.8 .9912 .9917 .9921 .9926 .9930 .9934 .9939 .9943 .9948 .9952 9.9 .9956 .9961 .9965 .9969 .9974 .9978 .9983 .9987 .9991 .9996 </pre> == 位（くらい）の求値 == 常用対数を利用して、非常に大きい数や非常に小さい数の位を求めることができる。例えば、{{mvar|x}} が自然数の場合、{{mvar|x}} の桁数を {{mvar|n}} ({{math|1=''n'' = ⌊log{{sub|10}} ''x''⌋ + 1}}) とすると、{{mvar|x}} の最高位の数字 {{mvar|a}} ({{math|1=''a'' = 1～9}}) は :{{math|1=''a'' × 10<sup>''n'' − 1</sup> ≦ ''x'' < (''a'' + 1) × 10<sup>''n'' − 1</sup>}} すなわち :{{math|1=log{{sub|10}} ''a'' ≦ log{{sub|10}} ''x'' − (''n'' − 1) < log{{sub|10}} (''a'' + 1)}} で与えられる。それを知るには、 :{{math|log{{sub|10}} 2 ≒ 0.3010}} :{{math|log{{sub|10}} 3 ≒ 0.4771}} :{{math|log{{sub|10}} 7 ≒ 0.8451}} を用いればよい。これを用いて、例えば {{math|1=log{{sub|10}} 5 = 1 − log{{sub|10}} 2}} などにより、1桁 (1～9) の常用対数の概数が求まる。 == 有理性 == 10 の冪およびその逆数（…, 0.01, 0.1, 1, 10, 100, …）でない有理数の常用対数は[[無理数]]である（無理数の中でも[[超越数]]に分類される）。したがって、常用対数表に現れる数値は {{math|1=log{{sub|10}} 1.00 = 0.0000}} 以外すべて無理数であり、たとえば上記の表は小数第5位で[[四捨五入]]されている。 == 符号位置 == {| class="wikitable" style="text-align:center;" !記号!![[Unicode]]!![[JIS X 0213]]!![[文字参照]]!!名称 {{CharCode|13266|33D2|-|SQUARE LOG}} |} == 脚注 == <references /> == 関連項目 == *[[対数]] *[[自然対数]] *[[二進対数]] *[[片対数グラフ]] *[[レベル表現]] - [[デシベル]] {{sci-stub}} {{Normdaten}} {{DEFAULTSORT:しようようたいすう}} [[Category:初等数学]] [[Category:初等関数]] [[Category:対数]] [[Category:数学に関する記事]]
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