平均律のソースを表示

{{Otheruses|調律法の平均律|バッハの作品|平均律クラヴィーア曲集}}
{{脚注の不足|date=2022-03-30 01:02(UTC)}}
'''平均律'''（へいきんりつ）（{{lang-en-short|equal temperament}}）は、[[オクターヴ]]を均等に分割した[[音律]]<ref>{{Kotobank|1=平均律|2=改訂新版　世界大百科事典|3=}}</ref>。[[西洋音楽]]で用いられる'''十二平均律'''がよく知られているが、その他にも多種類が考案されている。

== 十二平均律 ==
'''十二平均律'''とは、1[[オクターヴ]]を12等分した[[音律]]である。隣り合う音（[[半音]]）の周波数比は等しく<math>\sqrt[12]{2}:1</math>（100[[セント (音楽)|セント]]）となる。

1オクターヴを12等分するという方法による十二平均律では、[[一度|1度]](ユニゾン)と[[八度|8度]](オクターヴ)を除いて簡単な整数比率による純正な[[音程]]は得られない。その代わり[[ピタゴラス音律]]や[[中全音律]]で生じる著しく誤差の大きな音程（ウルフ）によって妨げられること無く、全ての[[調]]で演奏が可能で、[[転調]]や[[移調]]が自由に行える<ref group="注">十二平均律以外にもウルフを解消して、全ての調で演奏を可能とした様々な音律が存在する。[[ウェル・テンペラメント]]を参照。</ref>。十二平均律では半音の大きさは均一であり、[[異名同音]]は実際に同じ音となる。十二平均律はピタゴラス音律を調整して[[ピタゴラスコンマ]]を全ての完全5度に均等に拡散した音律であると考えることもできる。その結果、十二平均律の完全5度は純正音程から1/12ピタゴラスコンマ分狭くなっているものの、その差は比較的少ない。一方で長短の3度は、ピタゴラス音律よりは純正音程に近いが、依然として差が大きい。

平均律は[[ギター]]などの[[フレット]]式弦楽器との親和性が高い。楽器の[[調律]]において、純正な音程は2つの音を同時に出し[[倍音]]の[[うなり]]が消えるようにすることで調律できるが、平均律ではユニゾンとオクターヴ以外に純正な音程が存在しないため、[[鍵盤楽器]]などの調律は容易ではない。一方、フレット式楽器や[[モノコード]]などでは、幾何的に弦の分割点を設定することで平均律を実現できる。また、フレット式楽器では、平均律以外の半音の音程が一定でない音律では、各弦に対するフレット間隔が揃わず、直線のフレットを用いるには不都合である。

{| frame="box" rules="all" cellpadding="4"  style="text-align:center; margin:auto;"
|- style="background:#ddf;"
!音程
!十二平均律による値
!数値
!セント値
!純正音程
!純正音程のセント値
!セント値の差<br />(純正)-(平均)
|-
|[[一度]]
|<math>2^{0/12} = 1</math>
|1.000000
| 0
|<math>\begin{matrix} \frac{1}{1} \end{matrix}</math> = {{val|1.0000000}}
| 0.00
| 0
|-
|[[短二度]]
|<math>2^{1/12} = \sqrt[12]{2}</math>
|{{#expr:2^(1/12) round 6}}
| 100
|<math>\tfrac{16}{15}</math> = {{val|1.06666|end=…}}
| {{#expr:1200*ln(16/15)/ln2 round 2}}
| +{{#expr:1200*ln(16/15)/ln2-100 round 2}}
|-
|[[長二度]]
|<math>2^{2/12} = \sqrt[6]{2}</math>
|{{#expr:2^(1/6) round 6}}
| 200
|<math>\tfrac{9}{8}</math> = {{val|1.1250000}}
| {{#expr:1200*ln(9/8)/ln2 round 2}}
| +{{#expr:1200*ln(9/8)/ln2-200 round 2}}
|-
|[[短三度]]
|<math>2^{3/12} = \sqrt[4]{2}</math>
|{{#expr:2^(1/4) round 6}}
| 300
|<math>\tfrac{6}{5}</math> = {{val|1.2000000}}
| {{#expr:1200*ln(6/5)/ln2 round 2}}
| +{{#expr:1200*ln(6/5)/ln2-300 round 2}}
|-
|[[長三度]]
|<math>2^{4/12} = \sqrt[3]{2}</math>
|{{#expr:2^(1/3) round 6}}
| 400
|<math>\tfrac{5}{4}</math> = {{val|1.2500000}}
| {{#expr:1200*ln(5/4)/ln2 round 2}}
| {{#expr:1200*ln(5/4)/ln2-400 round 2}}
|-
|[[完全四度]]
|<math>2^{5/12} = \sqrt[12]{32}</math>
|{{#expr:2^(5/12) round 6}}
| 500
|<math>\tfrac{4}{3}</math> = {{val|1.33333|end=…}}
| {{#expr:1200*ln(4/3)/ln2 round 2}}
| {{#expr:1200*ln(4/3)/ln2-500 round 2}}
|-
|[[三全音]]
|<math>2^{6/12} = \sqrt{2}</math>
|{{#expr:2^(1/2) round 6}}
| 600
|<math>\tfrac{45}{32}</math> = {{val|1.4062500}}
| {{#expr:1200*ln(45/32)/ln2 round 2}}
| {{#expr:1200*ln(45/32)/ln2-600 round 2}}
|-
|[[完全五度]]
|<math>2^{7/12} = \sqrt[12]{128}</math>
|{{#expr:2^(7/12) round 6}}
| 700
|<math>\tfrac{3}{2}</math> = {{val|1.5000000}}
| {{#expr:1200*ln(3/2)/ln2 round 2}}
| +{{#expr:1200*ln(3/2)/ln2-700 round 2}}
|-
|[[短六度]]
|<math>2^{8/12} = \sqrt[3]{4}</math>
|{{#expr:2^(2/3) round 6}}
| 800
|<math>\tfrac{8}{5}</math> = {{val|1.6000000}}
| {{#expr:1200*ln(8/5)/ln2 round 2}}
| +{{#expr:1200*ln(8/5)/ln2-800 round 2}}
|-
|[[長六度]]
|<math>2^{9/12} = \sqrt[4]{8}</math>
|{{#expr:2^(3/4) round 6}}
| 900
|<math>\tfrac{5}{3}</math> = {{val|1.66666|end=…}}
| {{#expr:1200*ln(5/3)/ln2 round 2}}
| {{#expr:1200*ln(5/3)/ln2-900 round 2}}
|-
|[[短七度]]
|<math>2^{10/12} = \sqrt[6]{32}</math>
|{{#expr:2^(5/6) round 6}}
| {{val|1000}}
|<math>\tfrac{16}{9}</math> = {{val|1.77777|end=…}}
| {{#expr:1200*ln(16/9)/ln2 round 2}}
| {{#expr:1200*ln(16/9)/ln2-1000 round 2}}
|-
|[[長七度]]
|<math>2^{11/12} = \sqrt[12]{2048}</math>
|{{#expr:2^(11/12) round 6}}
| {{val|1100}}
|<math>\tfrac{15}{8}</math> = {{val|1.8750000}}
| {{#expr:1200*ln(15/8)/ln2 round 2}}
| {{#expr:1200*ln(15/8)/ln2-1100 round 2}}
|-
|[[八度]]
|<math>2^{12/12} = {2}</math>
|2.000000
| {{val|1200}}
|<math>\tfrac{2}{1}</math> = {{val|2.0000000}}
| 1200.00
| 0
|}

=== 歴史 ===
[[中国]]では、
[[明]]代後期の[[朱載堉]]（1536年 - 1611年）は、伝統的な[[十二律]]の求め方である[[三分損益法]]を批判し、万暦12年（1584年）に『律学新説』の中で、新しい方法「新法密率」を提唱した<ref>[https://www.l.u-tokyo.ac.jp/postgraduate/database/2014/80.html 朱載堉音楽理論の思想的研究（田中　有紀）] [[東京大学大学院人文社会系研究科・文学部]]</ref>。これが[[2の12乗根]]に基づく平均律の算出の最初の例である。朱載堉の計算方法は、まずオクターヴを平方根で2等分して増4度/減5度（3全音）を得、次いでそれを平方根で2等分して短3度（1全音と半音）を得、最後にこれを立方根で3等分して短2度（半音）を得るものである。彼はその計算結果を25桁の数で記述した。

<gallery>
File:乐律全书全-118.jpg|
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File:乐律全书全-124.jpg|
</gallery>

この背景としては、まず前漢末の京房による[[ピタゴラス・コンマ]]の認識があった。京房の解決では『続漢書』や『宋書』の律暦志にあるように、従来の三分損益を多重に繰り返して近似精度を高めて[[六十律]]を作り、[[南北朝時代 (中国)|南北朝時代]]の[[宋_(南朝)|宋]]の元嘉年間の銭楽之は更にそれを推し進めて三百六十律を作ったが、煩雑すぎていずれも実際の音楽の演奏には利用されずに終わった。元嘉24年（447年）ころに[[何承天]]（370年 - 447年）は、ピタゴラス・コンマに相当する律管の長さを12で割り、各々の音に割り振った。これは十二平均律とは異なるが、従来の三分損益を絶対視する考えからは一歩踏み出している。また、三分損益よりはかなり十二平均律に近い。

これら理論的な取り組みとは別に、実践家は現実的な解決方法を発達させていたと思われる。泰始十年(二七五)、理論家の荀勗・張華と演奏家の列和の間で論争があった。前者の理論的な論難に対し、後者は笛家の相伝の技法で問題なく調律ができるとしている。[[朱載堉]]も、「俗工の口伝、従りて来たるを知るなきも、疑うらくは古人の遺法はかくのごときならん....その下俚なるをもってこれを忽せすべからず」 (『律学新説』巻一「密率律度相求」,　堀池, 2010より転載）と述べている。当時の実践家が経験的に十二平均律に近い技法を用いていており、それに[[朱載堉]]が影響をうけた可能性がある(堀池、2010)。

だが、[[朱載堉]]の後、彼の理論は定着しなかった。清の康熙帝の勅命により編纂された『律呂正義』前篇では、一部彼の理論を取り入れるものの、結局は伝統的な三分損益を選んでいる（田中, 2015)。

[[日本]]では和算家の[[中根元圭]]が『律原発揮』（元禄5年、1692年）において、1オクターヴを12乗根に開き平均律を作る方法を発表した。

[[インド]]でははっきりしないが、{{仮リンク|カルナータカ音楽|en|Carnatic music}}（南インド古典音楽）の世界における17世紀の理論家{{仮リンク|ヴェーンカタマキー|en|Venkatamakhin}}の72メーラカルタ理論（[[w:Asampurna Melakarta|Asampurna Melakarta]]）は、オクターヴを12半音に分ける考え方をとっている。

[[古代ギリシャ]]では、ピタゴラス・コンマは、伝ユークリッド『音響学』で指摘されている。[[アリストクセノス]]（前4世紀ごろ）は「5度は4度よりも全音大きく、4度は2全音半に相当し、全音は2つの等しい半音、3つの等しい3分音、4つの等しい4分音に分かれる」と記述した。アリストクセノスはオクターヴを12等分するという意味での平均律は記述していないが、「全音は半音2つ」という規定は平均律と共通している。[[ピタゴラス音律]]では2半音は全音にならない。ただし、アリストクセノスは数比による音楽理論に積極的でなく、上記の議論も数理的な見通しがあったわけではない。

[[ヨーロッパ]]で最初に平均律を2の12乗根に基づいて算出したのは[[シモン・ステヴィン]]（1548年 - 1620年）で、彼は未完成の手稿 ''Van de Spiegheling der singconst ''（1605年頃）<ref>{{cite web|url=http://diapason.xentonic.org/ttl/ttl21.html |title=Van de spiegheling der singconst |publisher=Diapason.xentonic.org |date=2009-06-30 |accessdate=2012-12-29}}</ref>において、オクターヴを10000:5000として平均律を記述した。ステヴィンの平均律の理論値からの誤差は±0.43セント未満である。後に[[マラン・メルセンヌ]]（1588年 - 1648年）が ''Harmonie universelle'' （1636年）においてオクターヴを2000000:1000000として平均律を記述した。

ヨーロッパにおいて、[[リュート]]や[[ギター]]、[[ヴィオラ・ダ・ガンバ]]などの[[フレット]]式の弦楽器は、16世紀には平均律が一般的に使用されていた可能性が高い<ref>ディエゴ・オルティス 『オルティス変奏論 16世紀ディミニューション技法の手引き書』 平尾 雅子(編集, 翻訳)、濱田 滋郎(監修)、アルテスパブリッシング、2010年、ISBN 978-4-903951-263。</ref>。{{仮リンク|マルティン・アグリコラ|en|Martin Agricola}}は ''Musica instrumentalis deudsch'' （1545年）で「リュート奏者やヴィオラ・ダ・ガンバ奏者の大多数は、全てのフレットを等しくする……それぞれのフレットは小半音となる」と述べている<ref>Mark Lindley, ''Lutes, viols, and temperaments,'' Cambridge University Press, 1984, p. 22.</ref>。[[ヴィンチェンツォ・ガリレイ]]は『新旧音楽の対話』（1581年）の中で、半音を18:17（99.7セントで約100セント）とするフレット装置法を記しており、これによって実用的に十分な精度で平均律によるフレットの位置決めが可能である。彼はリュートの音律は鍵盤楽器とは異なるとして、不均一なフレットで大小の半音を得たり、補助フレットを追加したりすることを批判している<ref>Vincenzo Galilei (1584) 『フロニモ - リュートの賢者 - 』 菊池賞訳、水戸茂雄監修、東京コレギウム、2009年。</ref>。{{仮リンク|ホアン・カルロス・アマート|es|Juan Carlos Amat}}のギター教本『ギターラ・エスパニョーラ』（1596年）では、24のすべての調の三和音の奏し方が左手の指の押さえ方を示す図表を用いて記されており、それらに番号を振ることで任意の調における一定の和音の進行が一覧表にして示されている。[[中全音律]]で調律されていたであろう鍵盤楽器との合奏における、音律の不一致による問題は16世紀中葉から報告されている<ref>ハーヴェイ・ターンブル 『ギター - ルネサンスから現代まで』 浜田滋郎(翻訳)、音楽之友社、1985年。</ref>。

[[鍵盤楽器]]においても、17世紀初頭には一定の精度で、また一定の範囲で平均律が実用化されていたと主張する専門家もおり、[[ジローラモ・フレスコバルディ]]（1583年 - 1643年）や[[ヨハン・ヤーコプ・フローベルガー]]（1616年 - 1667年）がすでに平均律を使用していたという説もある (Lindley 1980)。[[ジャン＝フィリップ・ラモー]]は『和声の生成』（1737年）において平均律を推奨し、「任意のキーを決め、そこから正確な五度を調律し、それをほんのわずか狭くする。こうしてある五度から別の五度へ低い方から高い方へ最後の五度まで行なう」という形で実践的な調律法を述べている。[[ダニエル・ゴットロープ・テュルク]]の『クラヴィーア教本』（1789年）の記述によれば、[[ヨハン・フィリップ・キルンベルガー]]が『純正作曲の技法』（1771 - 79年）の中で、平均律は必ずしも有益ではないとして、自身の考案した不均等律（キルンベルガー第二法）を推奨した当時には、既に平均律がほぼ一般的に受け入れられていた。一方でイギリスのオルガン製作者たちは1850年頃まで平均律を用いようとしなかった<ref>Stephen Bicknell, ''The History of the English Organ,'' Cambridge University Press, 1996, ISBN 978-052155026-0, p. 382.</ref>。

しばしば議論の対象となる[[ヨハン・ゼバスティアン・バッハ]]（1685年 - 1750年）の『[[平均律クラヴィーア曲集]]』（[[ドイツ語|独]]原題 ''Das Wohltemperirte Clavier'' ）については、かつてはバッハが平均律を用いれば、オクターヴの12の音を主音とする24の長短調で作曲できることを示したものとされていた。その後、20世紀後半に古楽研究が進むにつれて中全音律をはじめとする古典調律への関心が高まり、Wohltemperirteとは『よく調整された音律』という意味であり、必ずしも平均律を意味するものではなく、むしろバッハが意図したのは[[ヴェルクマイスターの調律法]]のような、全ての調が演奏可能な不均等律であるという考えが一般的となっている。

20世紀に広まった[[無調]]の音楽、特に[[十二音技法]]は、全ての半音を均等に扱う平均律の性質との結び付きが強い。

現在では、平均律は標準的な音律としての地位を確立している。[[オルガン#電子オルガン|電子オルガン]]、[[シンセサイザー]]などの電子楽器も平均律を基準にしているものが多い（ただし、電子楽器では近年、古典調律、さらには自由な調律法に変更可能な機能を持つものが増えている）。しかし、平均律が標準であるとはいえ、鍵盤楽器などの音高の固定された楽器を除けば、常にそれに従うわけではない。音律の設定はあらゆる楽器にとって重要なこととは限らない。[[声楽]]はもちろん[[ヴァイオリン]]などのフレットの無い弦楽器や、[[金管楽器]]などでは、演奏時に奏者の様々な微調節が行われることが多い。ギターなどフレットを備えた弦楽器では[[チョーキング]]と呼ばれる弦の押さえ方、[[音孔]]を備えた[[木管楽器]]でも口の形による[[アンブシュア]]等奏法上の工夫で調節がなされる。先述の鍵盤楽器でも楽器に[[ピッチベンド]]という機能が備わっていれば演奏中に固定された音高から一時的にずらすことが可能である。

=== 批判 ===
十二平均律に対しては、以下のような批判がある。
* [[ジャン＝ジャック・ルソー]]はその著作『近代音楽論究<ref>{{Cite wikisource|title=Dissertation sur la musique moderne|author=Jean-Jacques Rousseau|wslanguage=fr}}</ref>』で十二平均律を批判している。
* [[グスタフ・マーラー]]は、[[中全音律]]の調律がされなくなったことは西洋音楽にとって大きな損失だと嘆いた。
* [[フランツ・ヴュルナー]]は、[[1875年]]に発表した『[[コールユーブンゲン]]』の序文において、本作の練習の際には初めは楽器を用いずに行い、最後に伴奏を付けるべきであるがその際には平均律によるピアノを用いてはならないと戒め、「平均律によるピアノを頼りにしては、正しい音程は望めない」と批判している。
* [[マックス・ヴェーバー]]は『音楽社会学<ref>[https://archive.org/details/dierationalenun01webegoog Die rationalen und soziologischen Grundlagen der Musik (1921)]</ref><ref>{{Google books|Aog6AAAAIAAJ|Die rationalen und soziologischen Grundlagen der Musik}}</ref><ref>{{Google books|VIIKAAAAMAAJ|Die rationalen und soziologischen Grundlagen der Musik}}</ref>』（1910年頃）で、ピアノで音感訓練を行なうようになった事で精微な聴覚が得られないことは明らかだと記述した。
* [[ハリー・パーチ]]、[[ルー・ハリソン]]、[[ラ・モンテ・ヤング]]など、現代音楽で十二平均律を使用しない試みがなされている。

== 十二平均律以外の平均律 ==
理論的追求から、1オクターヴを12等分するよりもさらに微細な分割をする様々な平均律も作られている<ref group="注">十二平均律以外の平均律は[[現代音楽]]ではしばしば用いられている。</ref>。これらの音階は主に[[微分音]]や[[ゼンハーモニック音楽]]の文脈で活用される。

ボーザンケット（[[w:Robert Holford Macdowall Bosanquet|R.H.M.Bosanquet]]）は1876年に[[53平均律]]を用いて1オクターヴに53の鍵盤を持つ楽器を発表したが演奏が困難で実用されたとは言い難い。
現在の[[トルコ]]古典音楽では、9:8の音程比の全音を9等分した音程を最小の音程として使う。9:8すなわち約203.910セントの全音を9等分した音程は約22.657セント、53平均律の1律は約22.642セントであり、これは事実上53平均律にかなり近い。

* [[15平均律]]
* [[17平均律]]
* [[19平均律]]
* {{ill|22平均律|en|22 equal temperament}}
* [[31平均律]]
* [[34平均律]]
* [[41平均律]]
* [[53平均律]]
* {{ill|72平均律|en|72 equal temperament}}

=== 12等分より少ない平均律 ===
* [[5平均律]]：[[ガムラン]]で用いられる[[スレンドロ]]は一種の5平均律である。東アフリカの[[ウガンダ]]で用いられる[[木琴]]も5平均律に調律されている。<!--「（[[民族音楽]]学者ゲルハルト・クービックのウガンダ音楽に関する論文を参照せよ）」 ←このように書くのでしたら、末尾に==参考文献==として、論文名・著者・発表年・掲載雑誌名・掲載雑誌の号数などの書誌情報を記してください。-->
* [[7平均律]]：[[タイ王国]]古典音楽で用いられる木琴ラナート・エークは7平均律に調律される。これは[[西洋音楽]]で言うところの、いわゆる[[移調]]の便宜をはかったためにこうなったものである。また、東南アフリカの[[モザンビーク]]の[[チョピ族]]の木琴も7平均律に調律されている。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Notelist2}}
=== 出典 ===
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* Keller, H. ''Die Klavierwerke Bachs ein Beitrag zu Geschichte, Form, Deutung und Wedergabe.'' Leipzig: 1950.（邦訳：ヘルマン・ケラー　『バッハのクラヴィーア作品』　[[音楽之友社]]、1972年）。
* Lindley, Mark. "Temperaments." ''The New Grove Dictionary of Music and Musicians.'' vol. 18, 1980. pp. 660-674.
* [[ヨハン・フィリップ・キルンベルガー]] 『純正作曲の技法』 東川 清一訳、春秋社、2007年、ISBN 978-4393930229。
* 田中有紀『江永の十二平均律解釋と河圖・洛書の學 』日本中国学会報　67号　2015年
* [[ダニエル・ゴットロープ・テュルク]] 『クラヴィーア教本』 東川 清一訳、春秋社、2000年、ISBN 978-4393930137。
* 平凡社 『音楽大事典』 「音律」項、小泉文夫、岸辺成雄、平野健次による執筆部分、白砂昭一による音律表、「インド」項、的場裕子による執筆部分、1983年。
* 平島達司 『ゼロ・ビートの再発見』 ショパン、1983年、ISBN 4883641783。
* 堀池信夫「中国音律学の発展と儒教」、　堀池信夫『漢代思想』明治書院　2010 所収
* 藤枝守 『響きの考古学 ―音律の世界史 はじめて音楽と出会う本』 音楽之友社、1998年、ISBN 427633084X。
* 山本建郎 『アリストクセノス『ハルモニア原論』の研究』 [[東海大学出版会]]、2001年。

== 関連項目 ==
* [[音律]]
** [[純正律]]
** [[ピタゴラス音律]]
** [[中全音律]]
** [[ウェル・テンペラメント]]
** [[古典調律]]
* [[ゼンハーモニック音楽]]
* [[十二音技法]]
* [[ピアノ調律]]

== 外部リンク ==
* [http://mvsica.sakura.ne.jp/eki/ekiinfo/eqtemp.html 平均律の歴史的位置]

{{DEFAULTSORT:へいきんりつ}}
[[Category:調律]]