平方因子をもたない整数のソースを表示

[[数学]]において、'''無平方数'''{{sfn|ハーディ|ライト|2001|page=[{{google books|id=xpxA-jz0Em0C|page=21|plainurl=1}} 21]}}（むへいほうすう、{{lang-en-short|square-free integer}}）または'''平方因子を持たない整数''' (integer without square factors) とは、平方因子を持たない数、すなわち {{math|1}} より大きい[[平方数|完全平方]]で割り切れないような[[整数]]（通例として[[自然数|正の整数]]）をいう。与えられた整数が無平方数であるとき、その整数は'''無平方''' (square-free, {{de|quadratfrei}}{{efn|単語としてはドイツ語だが、英語文献でもそのまま使われることがある{{sfn|ハーディ|ライト|2001|refname=ハーディライト2001xpxA-jz0Em0C|page=[{{google books|id=xpxA-jz0Em0C|page=337|plainurl=1}} 337]|ps=, [原註] 参照}}。}}) であるともいう。例えば、10 は無平方だが、18 は 9 = 3<sup>2</sup> で割り切れるので無平方数でない。無平方な正整数は小さい順に
:1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, …（{{OEIS|A005117}}）

== 性質 ==
任意の正整数 ''n'' は、[[互いに素 (整数論)|互いに素]]である[[多冪数]] ''a'' と無平方数 ''b'' の積で一意的に表すことができる。実際
:<math> n=\prod_i p_i^{e_i}</math>
と[[素因数分解]]したとき、''b'' は <math>e_i=1</math> となるような素数 <math>p_i</math> すべての積である。

任意の正整数 ''n'' は、また正整数 ''m'' と無平方数 ''k'' によって
:<math> n=m^2 k</math>
の形に一意的に表せる。実際上記の素因数分解に対して、<math>e_i=2f_i+r_i (r_i=0, 1)</math> とおくと
:<math> m=\prod_i p_i^{f_i}, k=\prod_i p_i^{r_i}</math>
である。つまり ''k'' は <math>e_i</math> が奇数となるような素数 <math>p_i</math> すべての積（下記の<math>\mathrm{core}_2</math>）である。

== 同値な特徴づけ ==
正整数 ''n'' が無平方であることと、''n'' の[[素因数分解]]においてどの[[素数]]も 1 回よりも多く現れることがないことは同値である。別の言い方をすれば、''n'' の各[[素因数]] ''p'' に対して、素数 ''p'' は &nbsp;''n''&nbsp;/&nbsp;''p'' を割らない。また別の言い方をすれば、''n'' が無平方であることと、すべての分解 ''n''&nbsp;=&nbsp;''ab'' に対して因数 ''a'' と ''b'' が[[互いに素 (整数論)|互いに素]]であることは同値である。この定義から直ちに、任意の素数は無平方である。

正整数 ''n'' が無平方であることと、&mu;(''n'')&nbsp;≠&nbsp;0 は同値である。ただし &mu; は[[メビウス関数]]を表す{{sfn|ハーディ|ライト|2001|page=337}}。

正整数 ''n'' が無平方であることと、 ''n'' を正整数 ''m'' と無平方数 ''k'' によって
:<math> n=m^2 k</math>
の形に表したとき <math>m=1</math> となることは同値である。このこととメビウス関数の性質から、正整数 ''n'' が無平方であることと
:<math> \sum_{d^2\mid n} \mu(d)=1 \cdots (*)</math>
は同値である。この和は <math>\sum_{d\mid m} \mu(d)</math> に一致するからである。

正整数 ''n'' が無平方であることと、[[位数 (群論)|位数]] ''n'' のすべての[[アーベル群]]が[[群同型|同型]]であることは同値であり、それらがすべて[[巡回群]]であることとも同値である。このことは[[有限生成アーベル群]]の分類から従う。

正整数 ''n'' が無平方であることと、[[剰余環]] [[合同類環|{{math|'''Z'''/{{mvar|n}}'''Z'''}}]] （[[合同算術]]を参照）が[[可換体|体]]の[[環の直積|積]]であることは同値である。このことは[[中国の剰余定理]]と {{math|'''Z'''/{{mvar|k}}'''Z'''}} の形の環が体であることと ''k'' が素数であることが同値であることから従う。

すべての正整数 ''n'' に対して、''n'' のすべての正の約数からなる集合は、[[約数|整除性]]で順序を入れることによって[[半順序集合]]になる。この半順序集合はつねに{{仮リンク|分配束|en|distributive lattice}}である。それが[[ブール代数]]であることと ''n'' が無平方であることは同値である。

{{仮リンク|整数の根基|en|radical of an integer}}は常に無平方である。整数が自身の根基に等しければ無平方である。

== ディリクレ母関数 ==
無平方数の[[母関数#母関数としてのディリクレ級数|ディリクレ母関数]]は
:<math> \frac{\zeta(s)}{\zeta(2s) } = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{ |\mu(n)|}{n^{s}} </math>

（ここで &zeta;(''s'') は[[リーマンゼータ関数]]）で与えられる{{sfn|ハーディ|ライト|2001|page=338|ps=, [{{google books|id=xpxA-jz0Em0C|page=338|plainurl=1}} 定理 302]}}。このことは[[オイラー積]]
:<math>  \frac{\zeta(s)}{\zeta(2s) } =\prod_p \frac{(1-p^{-2s})}{(1-p^{-s})}=\prod_p (1+p^{-s})</math>
から容易に確かめられる。

== 分布 ==
''Q''(''x'') を ''x'' を超えない無平方数の個数とする{{sfn|ハーディ|ライト|2001|pages=[{{google books|id=xpxA-jz0Em0C|page=356|plainurl=1}} 356&ndash;]}}。大きい ''n'' に対して、''n'' より小さい正の整数の 3/4 は 4 で割り切れない、8/9 は 9 で割り切れない、など。これらの事象は独立であるから、次の近似を得る。
:<math>Q(x) \approx x\prod_{p\ \text{prime}} \left(1-\frac{1}{p^2}\right) = x\prod_{p\ \text{prime}} \frac{1}{(1-\frac{1}{p^2})^{-1}} </math>
:<math>Q(x) \approx x\prod_{p\ \text{prime}} \frac{1}{1+\frac{1}{p^2}+\frac{1}{p^4}+\cdots} = \frac{x}{\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}} = \frac{x}{\zeta(2)} </math>

この議論は厳密に行うことができる。非常に初等的な評価によって
:<math>Q(x) = \frac{x}{\zeta(2)} + O\left(\sqrt{x}\right) = \frac{6x}{\pi^2} + O\left(\sqrt{x}\right)</math>

（[[円周率]]と[[ランダウの記号]]を参照）が得られる。というのは上記の特徴づけ (*) から
:<math>Q(x)=\sum_{n\leq x} \sum_{d^2\mid n} \mu(d)=\sum_d \mu(d)\sum_{n\leq x, d^2\mid n}1=\sum_d \mu(d)\left\lfloor\frac{x}{d^2}\right\rfloor</math>
となるが、最後に現れる和の中の項は <math>d>\sqrt{x}</math> のとき 0 になるから
:<math>Q(x)=\sum_{d\leq\sqrt{x}} \mu(d)\left\lfloor\frac{x}{d^2}\right\rfloor
=\sum_{d\leq\sqrt{x}} \frac{x\mu(d)}{d^2}+O(\sum_{d\leq\sqrt{x}} 1)
=x\sum_{d\leq\sqrt{x}} \frac{\mu(d)}{d^2}+O(\sqrt{x})
=x\sum_{d} \frac{\mu(d)}{d^2}+O\left(x\sum_{d>\sqrt{x}}\frac{1}{d^2}+\sqrt{x}\right)
=\frac{x}{\zeta(2)}+O(\sqrt{x}).</math>
となるからである。
[[:en:Ivan Matveyevich Vinogradov|Ivan Matveyevich Vinogradov]]、[[:ru:Коробов, Николай Михайлович|M.N. Korobov]]、[[:en:Hans-Egon Richert|Hans-Egon Richert]] によるリーマンゼータ関数の最大の知られている零点のない領域を利用することによって、誤差項の最大サイズは [[:en:Arnold Walfisz|Arnold Walfisz]]<ref>A. Walfisz. "Weylsche Exponentialsummen in der neueren Zahlentheorie" (VEB deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1963.</ref>によって減らされていて、ある正の定数 ''c'' に対して
:<math>Q(x) = \frac{6x}{\pi^2} + O\left(x^{1/2}\exp\left(-c\frac{(\log x)^{3/5}}{(\log\log x)^{1/5}}\right)\right).</math>
である。[[リーマン予想]]を仮定すれば誤差項はさらに減らせて<ref>Jia, Chao Hua. "The distribution of square-free numbers", ''Science in China Series A: Mathematics'' '''36''':2 (1993), pp. 154–169. Cited in Pappalardi 2003, [http://www.mat.uniroma3.it/users/pappa/papers/allahabad2003.pdf A Survey on ''k''-freeness]; also see Kaneenika Sinha, "[http://www.math.ualberta.ca/~kansinha/maxnrevfinal.pdf Average orders of certain arithmetical functions]", ''Journal of the Ramanujan Mathematical Society'' '''21''':3 (2006), pp. 267–277.</ref>、
:<math>Q(x) = \frac{x}{\zeta(2)} + O\left(x^{17/54\,+\,\varepsilon}\right) = \frac{6x}{\pi^2} + O\left(x^{17/54\,+\,\varepsilon}\right).</math>

''n'' 以下の無平方数の個数と round(''n''/&zeta;(2)) のレースを {{OEIS2C|A158819}} で参照。

したがって無平方数の漸近密度あるいは{{仮リンク|自然密度|en|natural density}}は
:<math>\lim_{x\to\infty} \frac{Q(x)}{x} = \frac{6}{\pi^2} = \frac{1}{\zeta(2)}</math>

ただし ζ は[[リーマンゼータ関数]]であり 1/ζ(2) は約 0.6079 である（整数の 3/5 以上は無平方である）。

同様に、''Q''(''x'',''n'') で 1 から ''x'' までの ''n''-free な整数（例えば 3-free な整数とは無立方 (cube-free) な整数のこと）の個数を表せば、以下を示すことができる。
:<math>Q(x,n) = \frac{x}{\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^n}} + O\left(\sqrt[n]{x}\right) = \frac{x}{\zeta(n)} + O\left(\sqrt[n]{x}\right).</math>

4 の倍数は平方因子 4 = 2<sup>2</sup> をもつから、4 つ連続する整数がすべて無平方であることはありえない。一方、 4''n'' +1, 4''n'' +2, 4''n'' +3 が 3 つとも無平方となる ''n'' は無数に存在する。というのは十分大きな ''n'' に対して4''n'' +1, 4''n'' +2, 4''n'' +3 の少なくとも 1 つが平方因子をもつなら、4 の倍数と合わせて、平方因子をもつ整数は整数全体の少なくともほぼ半数を占めることになり、
:<math>Q(x) \leq \frac{x}{2}+C</math> （ ''C'' は定数）
となるが、これは上記の漸近密度と矛盾するからである。

また、平方因子をもつ、任意の長さの連続した整数が存在する。というのは <math>p_1, p_2, \ldots, p_l</math> を相異なる素数とし ''n'' を連立[[合同式]]
:<math>n\equiv -i\pmod{p_i^2} (i=1, 2, \ldots, l)</math>
の解とすると <math>n+i (i=1, 2, \ldots, l)</math> はそれぞれ ''p<sub>i </sub>''<sup>2</sup> で割り切れるからである。しかし、
:<math>Q(x) = \frac{x}{\zeta(2)} + O\left(\sqrt{x}\right) = \frac{6x}{\pi^2} + O\left(\sqrt{x}\right)</math>
よりある定数 ''c'' に対して ''x'' と <math>x+c\sqrt{x}</math> の間には必ず無平方数が存在することが分かる。さらに、初等的な議論によりある定数 ''c'' に対して ''x'' と <math>x+cx^{1/5}\log x</math> の間には必ず無平方数が存在することが知られている<ref>{{cite journal | last1 = Michael | first1 = Filaseta | last2 = Ognian | first2 = Trifonov | year = 1992 | title = On gaps between squarefree numbers II | url = | journal = J. London Math. Soc. | volume = (2) 45 | issue = | pages = 215–221 }}</ref>。一方、[[ABC予想]]を仮定すれば任意の &epsilon; &gt; 0 に対し、十分大きな ''x'' と <math>x+x^{\epsilon}</math> の間には必ず無平方数が存在する<ref>{{cite journal | last1 = Andrew | first1 = Granville | year = 1998 | title = ABC allows us to count squarefrees | url = | journal = Int. Math. Res. Notices | volume = 1998 | issue = 19 | pages = 991–1009 }}</ref>。

== 二進数としてエンコード ==
無平方数を無限積
:<math>\prod_{n=0}^\infty {p_{n+1}}^{a_n}, a_n \in \lbrace 0, 1 \rbrace,\text{ and }p_n\text{ is the }n\text{th prime}. </math>
として表現すれば、それらの <math>a_n</math> をとってそれらを二進数のビットとして使うことができる。すなわち
:<math>\sum_{n=0}^\infty {a_n}\cdot 2^n</math>

例えば、無平方数 42 は分解 2&nbsp;&times;&nbsp;3&nbsp;&times;&nbsp;7 をもち、無限積として表すと 2<sup>1</sup>&nbsp;·&nbsp;3<sup>1</sup> &nbsp;·&nbsp;5<sup>0</sup>&nbsp;·&nbsp;7<sup>1</sup>&nbsp;·&nbsp;11<sup>0</sup>&nbsp;·&nbsp;13<sup>0</sup>&nbsp;·&nbsp;...。したがって数 42 は二進列 <tt>...001011</tt> あるいは十進で11としてエンコードできる（二進数の桁は無限積の順番から逆になっていることに注意）。

すべての数の[[算術の基本定理|素因数分解は一意]]なので、無平方数のすべての二進エンコーディングも一意である。

逆もまた正しい。すべての正の整数は一意的な二進表現をもつので、このエンコーディングを逆にして一意的な無平方数にデコードすることができる。

再び例えば数 42 で、今回は単に正の整数として、始めれば、その二進表現は <tt>101010</tt> である。これをデコードすると2<sup>0</sup>&nbsp;·&nbsp;3<sup>1</sup>&nbsp;·&nbsp;5<sup>0</sup>&nbsp;·&nbsp;7<sup>1</sup>&nbsp;·&nbsp;11<sup>0</sup>&nbsp;·&nbsp;13<sup>1</sup> =&nbsp;3&nbsp;&times;&nbsp;7&nbsp;&times;&nbsp;13 =&nbsp;273。

したがって無平方数を順番にエンコードするとすべての整数の集合の置換になる。

[[オンライン整数列大辞典|OEIS]] の {{OEIS2C|A019565}}, {{OEIS2C|A048672}}, {{OEIS2C|A064273}} を参照。

== エルデシュの無平方予想 ==
[[ポール・エルデシュ]]は、[[中心二項係数]]
:<math>{2n \choose n}</math>
が ''n'' > 4 に対して無平方でないと予想した。このことは1985年に [[András Sárközy]] によって十分大きいすべての整数に対して証明され<ref>András Sárközy. On divisors of binomial coefficients, I. J. Number Theory 20 (1985), no. 1, 70–80.</ref>、1996年に[[オリヴィエ・ラマレ]]と {{仮リンク|Andrew Granville|en|Andrew Granville}} によってすべての整数に対して証明された<ref>Olivier Ramaré and Andrew Granville. Explicit bounds on exponential sums and the scarcity of squarefree binomial coefficients. Mathematika 43 (1996), no. 1, 73–107</ref>。

== 無平方核 ==
[[乗法的関数]] <math>\operatorname{core}_t(n)</math> は、素数の指数を ''t'' を法として見ることによって、正整数 ''n'' を ''t''-free な数に写すことで定義される。
: <math>\operatorname{core}_t(p^e) = p^{e\bmod t}.</math>
とくに、<math>\operatorname{core}_2</math> の値域の集合は無平方数全体である。それらのディリクレの生成関数は
: <math>\sum_{n\ge 1}\frac{\operatorname{core}_t(n)}{n^s} = \frac{\zeta(ts)\zeta(s-1)}{\zeta(ts-t)}</math>
である。OEIS では例えば {{OEIS2C|A007913}} (''t''=2), {{OEIS2C|A050985}} (''t''=3), {{OEIS2C|A053165}} (''t''=4)。

== 注 ==
=== 注釈 ===
{{reflist|group="注釈"}}
=== 出典 ===
<references/>
== 参考文献 ==
* {{citation|和書|title=数論入門|first1=G.H.|last1=ハーディ|first2=E.M.|last2=ライト|translator=示野信一, 矢神毅|publisher=PHP研究所|year=2001|isbn=9784431708483|ref=harv}}
* {{cite journal | first1=Andrew | last1=Granville | first2=Olivier | last2=Ramaré | title=Explicit bounds on exponential sums and the scarcity of squarefree binomial coefficients | mr=1401709 | zbl=0868.11009 |  year=1996 | journal=Mathematika | volume=43 | pages=73–107 | doi=10.1112/S0025579300011608 }}
* {{cite book |last=Guy | first=Richard K. | authorlink=Richard K. Guy | title=Unsolved problems in number theory | publisher=[[Springer-Verlag]] |edition=3rd | year=2004 |isbn=0-387-20860-7 | zbl=1058.11001 }}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|title=Squarefree|urlname=Squarefree}}
{{Divisor classes}}

{{DEFAULTSORT:へいほういんしをもたないせいすう}}
[[Category:数論]]
[[Category:整数の類]]
[[Category:数学に関する記事]]