平方完成のソースを表示

[[画像:Completing the square.ogv|250px|thumb|平方完成の過程を示したアニメーション。([[:File:Completing the square.ogv|Details]], [[:File:Completing the square.gif|animated GIF version]])]]
'''平方完成'''（へいほうかんせい、{{lang-en-short|''completing the square''}}）とは、二次式（[[二次関数]]）を式変形して <math>a(x-h )^2</math> の形を作り、一次の項を見かけ上なくすことである。この式変形は全ての二次式に可能で、一意に決まる。
:<math>ax^2 + bx + c = a(x - h)^2 + k \quad (a \neq 0)</math>
<math>x-h</math> の <math>h</math> を除けば、つまり <math>x-h=t</math> と変換すれば
:<math>a t^2 +k</math>
の形に帰着される。このことより、以下のことが導出できる：
* [[二次方程式]]の解を求める（→[[二次方程式の解の公式]]）
* 二次関数のグラフの頂点の座標を求める
* [[微分積分学]]で、冪指数に一次の項を含む[[ガウス積分]]の計算
* [[ラプラス変換]]の計算
また、平方完成の考え方を応用して解く手法も見られる（[[#類似の手法]]）。

== 概観 ==
二次式 <math>ax^2 + bx + c \ (a \neq 0)</math> において、一次の項「<math>+ \; \! \; \! bx</math>」があるのとないのでは、応用上の取り扱いが大きく異なる。

変数 <math>x</math> が <math>x-h</math> の形になる代わりに一次の項がなくなれば、<math>h</math> の違いだけで済むことができる。

ここでは、'''二次の係数（最高次係数）'''が {{math|1}} の場合とそうでない場合に分けてみる。

;二次の係数（最高次係数）が {{math|1}} の場合
:<math>x^2 + bx + c</math>
の一次の項「<math>+ \; \! \; \! bx</math>」をなくして <math>x^2</math> を <math>(x-h )^2</math> の形にする。
:<math>(x-h )^2 = x^2 -2hx + h^2</math>
より、一次の係数を比較すると
:<math>b = -2h</math>
:<math>h=-\frac{b}{2}</math>
これにより、{{math|''x''{{sup|2}} + ''bx'' + ''c''}} の平方完成は次の式になる：
:<math>x^2 + bx + c = \left( x+ \frac{b}{2} \right)^2 - \frac{b^2}{4} + c</math>

;二次の係数（最高次係数）が {{math|1}} でない場合
:<math>ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)</math>
の一次の項「<math>+ \; \! \; \! bx</math>」をなくして <math>x</math> を <math>x-h</math> にする。

二次の係数が {{math|1}} の場合で得られた等式
:<math>x^2 + bx = \left( x+ \frac{b}{2} \right)^2 - \frac{b^2}{4}</math>
を利用する。
:<math>\begin{align}
ax^2 + bx + c &= a \left( x^2 + \frac{b}{a} x \right)+c \\
 &= a \left\{ \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \left( \frac{b}{2a} \right)^2 \right\} +c \\
 &= a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a} +c \\
 &= a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2 -4ac}{4a}
\end{align}</math><ref>{{Cite book
|title=Precalculus: Building Concepts and Connections
|first1=Revathi
|last1=Narasimhan
|publisher=Cengage Learning
|year=2008
|isbn=0-618-41301-4
|pages=133–134
|url=https://books.google.com/books?id=hLZz3xcP0SAC}}, [https://books.google.com/books?id=hLZz3xcP0SAC&pg=PA134 Section ''Formula for the Vertex of a Quadratic Function'', page 133–134,  figure 2.4.8]
</ref>
つまり、一次以上の項を二次の係数 {{mvar|a}} で括ることにより、二次の係数が {{math|1}} の場合を利用している。

== 二次形式の平方完成 ==
1変数の二次式の平方完成を踏まえて、一般の {{mvar|n}} 変数二次式に対しても、平方完成ができる。例えば二変数なら
:<math>a x^2 +bxy + cy^2 +dx+ey+f \quad (abc \neq 0)</math>
である。これは[[二次形式]]
:<math>\begin{pmatrix}
x &y
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
a            &\frac{b}{2} \\
\frac{b}{2} &c
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
x &y
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
d \\
e
\end{pmatrix} +f \quad (abc \neq 0)</math>
の形で書ける。

一般の {{mvar|n}} 変数二次式は、{{mvar|A}} を[[対称行列]]として
:<math>{}^t x Ax + {}^t x b + c = {}^t (x-h) A(x-h) + k \quad \left( h = -\frac{1}{2} A^{-1}b, \quad k = c - \frac{1}{4} {}^t b A^{-1} b \right)</math>
で書ける。

{{mvar|A}} が対称でないときは {{mvar|h}} と {{mvar|k}} の式が
:<math>h = -(A + {}^t A )^{-1} b, \quad k = c - {}^t h Ah = c - {}^t b \, (A + {}^t A )^{-1} A \, (A + {}^t A )^{-1} b</math>
とやや一般になるが同じ式で書ける。

== 幾何学的解釈 ==
[[画像:Completing the square.svg|250px|right]]
[[二次方程式]]
:<math>x^2 + bx = a</math>
を平方完成により解くことを考える。この過程を、面積図で表すと次のようになる。

{{math|''x''{{exp|2}}}} は一辺が {{mvar|x}} の正方形の面積、{{mvar|bx}} は縦横が {{math2|''b'', ''x''}} の長方形の面積に等しい。面積 {{mvar|bx}} の長方形を2等分割して、長さ {{mvar|x}} の辺で正方形と貼り合わせる。すると、正方形の角が欠けた形になる。

欠けている角に一辺が {{math|{{sfrac|''b''|2}}}} の正方形を補うと、全体が正方形になる。したがって、両辺に {{math|({{sfrac|''b''|2}}){{sup|2}}}} を加えると、平方 {{math|(''x'' + {{sfrac|''b''|2}}){{sup|2}}}} が完成する。
{{-}}

== 類似の手法 ==
平方完成とは、{{math|''u''{{exp|2}} + 2''uv''}} の形の式に第三項 {{math|''v''{{exp|2}}}} を加えて完全平方式を作る操作である。{{math|''u''{{exp|2}} + ''v''{{exp|2}}}} が先に与えられていても、中間項 {{math|2''uv''}} または {{math|&minus;2''uv''}} を加えることにより完全平方式を得ることができる。

=== 相反式の平方完成 ===
正の実数 {{mvar|x}} に対して、自身とその逆数の和は
:<math>\begin{align}
x + \frac{1}{x} &= \left(x - 2 + \frac{1}{x} \right) + 2 \\[5pt]
                &= \left( \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} \right)^2 + 2
\end{align}</math>
このように平方完成すると、正の数とその逆数の和は常に {{math|2}} 以上であることが示される。

=== 複二次式の因数分解 ===
複二次式
:<math>x^4 + 324</math>
を[[因数分解]]することを考える。この式は <math>(x^2)^2 + 18^2</math> と見ることができるから、中間項 {{math|2(''x''{{sup|2}})(18) {{=}} 36''x''{{sup|2}}}} を考え、
:<math>\begin{align}
x^4 + 324 &= (x^4 + 36x^2 + 324 ) - 36x^2 \\
 &= (x^2 + 18)^2 - (6x)^2 \\
 &= (x^2 + 18 + 6x)(x^2 + 18 - 6x) \\
 &= (x^2 + 6x + 18)(x^2 - 6x + 18)
\end{align}</math>
と因数分解できる。

== 二次方程式の解 ==
{{See|二次方程式の解の公式}}

== 二次関数のグラフ ==
{{multiple image
|align = right
|direction = vertical
|width = 200
|image1 = quartic h shift.svg
|alt1 = Graphs of quadratic functions shifted to the right by ''h'' = 0, 5, 10, and 15.
|caption1 = 二次関数のグラフが {{mvar|x}}軸方向に {{math2|''h'' {{=}} 0, 5, 10, 15}} 平行移動する様子。
|image2 = quartic v shift.svg
|alt2 = Graphs of quadratic functions shifted upward by ''k'' = 0, 5, 10, and 15.
|caption2 = 二次関数のグラフが {{mvar|y}}軸方向に {{math2|''k'' {{=}} 0, 5, 10, 15}} 平行移動する様子。
|image3 = quartic hv shift.svg
|alt3 = Graphs of quadratic functions shifted upward and to the right by 0, 5, 10, and 15.
|caption3 = 二次関数のグラフが {{mvar|x}}軸方向、{{mvar|y}}軸方向共に
 {{math2|0, 5, 10, 15}} ずつ平行移動する様子。
}}
[[二次関数]] <math>y=ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)</math> の {{mvar|xy}}-[[直交座標系|座標平面]]における[[グラフ (関数)|グラフ]]は、平方完成することによりその様子がよく分かる。

関数式 <math>ax^2 + bx + c</math> を平方完成して
:<math>y = a(x-h)^2 + k</math>
これのグラフは、[[放物線]] <math>y = ax^2</math> を {{mvar|x}}軸方向に <math>h</math>、{{mvar|y}}軸方向に <math>k</math> 平行移動したものであると分かる。特に、[[頂点 (曲線)|頂点]]（[[停留点]]）があり、その[[座標]]は
:<math>(h, k)</math>
であることが分かる。軸の方程式は
:<math>x=h</math>
である。
:{{math|''a'' > 0}} の場合、{{math|''x'' {{=}} ''h''}} で[[最大と最小|最小値]] {{mvar|k}} をとる。
:{{math|''a'' < 0}} の場合、{{math|''x'' {{=}} ''h''}} で[[最大と最小|最大値]] {{mvar|k}} をとる。
{{-}}

== 応用 ==
=== 積分 ===
[[不定積分]]
:<math>\int \frac{dx}{ax^2+bx+c}</math>
の被積分関数に平方完成を適用すれば、より基本的な積分
:<math>\int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \ln \left| \frac{x-a}{x+a} \right| +C</math>
または
:<math>\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} +C</math>
に帰着できる（<math>C</math>は[[積分定数]]）。

=== 複素数 ===
{{mvar|z}} を[[複素数]]とするとき、
:<math>|z|^2 - b^* z - bz^* + c</math>
:（{{mvar|b}} は複素数、{{mvar|c}} は[[実数]]）
:（{{math2|''z''*, ''b''*}} はそれぞれ {{math|''z'', ''b''}} の[[複素共役]]）
は常に実数である。このことは、複素数に対する恒等式 {{math|{{abs|''u''}}{{sup|2}} {{=}} ''uu*''}} を用いて、式を以下のように変形すると分かる：
:<math>\begin{align}
|z|^2 - b^* z - bz^* + c &= zz^* - b^* z - bz^* + bb^* - bb^* + c \\
 &= z( z^* - b^* ) - b(z^* - b^* ) - |b|^2 + c \\
        &= (z-b)(z^* -b^* ) - |b|^2 + c \\
        &= (z-b)(z-b)^* - |b|^2 + c \\
        &= |z-b|^2 - |b|^2 + c
\end{align}</math>

別の例として、{{math2|''a'', ''b'', ''x'', ''y''}} を実数とするとき、
:<math>ax^2 + by^2</math>
は、{{math|''a'' > 0, ''b'' > 0}} のとき、[[複素数の絶対値]]の平方を用いて書くことができる。実際に、<math>z = \sqrt{a}\,x + i \sqrt{b}\,y</math> と置けば
:<math>\begin{align}
|z|^2 &= z z^* \\
      &= (\sqrt{a}\,x + i \sqrt{b}\,y)(\sqrt{a}\,x - i \sqrt{b}\,y) \\
      &= ax^2 + by^2
\end{align}</math>
となる。

=== 冪等行列 ===
[[正方行列]] {{mvar|M}} が[[冪等行列|冪等]]とは {{math|''M''{{sup|2}} {{=}} ''M''}} が成り立つことである。
:<math>M = \begin{pmatrix}
a & b \\
b & 1-a
\end{pmatrix}</math>
は、<math>a^2 + b^2 = a</math> ならば冪等行列である。平方完成により
:<math>(a - \tfrac{1}{2})^2 + b^2 = \tfrac{1}{4}</math>
{{mvar|M}} が実行列なら、これは {{mvar|ab}}-平面において中心 {{math|({{sfrac|1|2}}, 0)}}、半径 {{math|{{sfrac|1|2}}}} の円の方程式である。角度 {{mvar|θ}} を用いて書けば、
:<math>M = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}
1 - \cos \theta &\sin\theta \\
\sin \theta     &1 + \cos \theta
\end{pmatrix}</math>
と媒介変数表示できる。

== 参考文献 ==
{{Reflist}}
*Algebra 1, Glencoe, {{ISBN2|0-07-825083-8}}, pp.539-544
*Algebra 2, Saxon, {{ISBN2|0-939798-62-X}}, pp.214-214, 241-242, 256-257, 398-401

== 外部リンク ==
{{commons category}}
* {{MathWorld|urlname=CompletingtheSquare|title=Completing the Square}}
* {{nlab|urlname=completing+the+square|title=completing the square}}{{En icon}}
*{{planetmath reference|id=4237|title=Completing the square}}
* {{ProofWiki|urlname=Completing_the_Square|title=Completing the Square}}{{En icon}}
* [https://study.com/academy/lesson/how-to-complete-the-square.html How to Complete the Square, Education Portal Academy]{{En icon}}
* [https://manabitimes.jp/math/1074 平方完成のやり方といくつかの発展形] - [[高校数学の美しい物語]]

{{DEFAULTSORT:へいほうかんせい}}
[[Category:初等代数学]]
[[Category:数学に関する記事]]