平方数のソースを表示

{{出典の明記|date=2022-11}}
{{No footnotes|date=2023-3}}
{{読み仮名|'''平方数'''|へいほうすう|{{lang-en-short|square number}}}}とは、[[整数]]の[[自乗]]（二乗）で表される数である。平方数は[[図形数]]の特に[[多角数]]の一種であり、[[正方形]]をなすように等間隔に点を配列した際の点の個数に対応している。
{{読み仮名|'''四角数'''|しかくすう}}、{{読み仮名|'''正方形数'''|せいほうけいすう}}とも呼ばれる。

平方数の概念は[[有理数]]など整数以外の数に一般化できる（[[#一般化]]を参照）。

整数は無数に存在するため、平方数もまた無数に存在する。平方数の最初の数個は以下の通り（{{OEIS|A290}}）：
: {{math2|0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81}}, 
: {{math2|100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361}}, 
: {{math2|400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, …}}

== 性質 ==
* （正の）[[約数#約数の個数|約数の個数]]が[[奇数]]である[[自然数]]は平方数に限る（一般に[[約数]]の個数は[[素因数]]の指数に1を足した数の積に等しく、約数の個数が奇数ならすべての指数は[[偶数]]となるため、奇数個の約数を持つ数は平方数でなければならない）
** 特に、正の約数が3個だけある自然数は[[素数]]の平方数である（その約数は {{mvar|p}} を素数として {{math2|1, ''p'', ''p''{{sup|2}}}}）
** 奇数の[[完全数]]は存在したとしても約数の個数が[[偶数]]であることが知られているため、平方数は完全数ではない
* {{math|1}} から {{math|2''n'' &minus; 1}} までの {{mvar|n}} 個の奇数の[[総和]]は {{math|''n''{{sup|2}}}} に等しい：<math>\textstyle\sum\limits_{k=1}^n (2k-1)= n^2</math>
* {{mvar|n}} 番目までの平方数の和は <math>\textstyle\sum\limits_{k=1}^n k^2 =\frac{1}{6} n(n+1)(2n+1)</math> であり、これは {{mvar|n}} 番目の[[四角錐数]]に等しい。また[[組合せ (数学)|組合せ]]記号を用いて {{math|{{sub|''n''+2}}C{{sub|3}} + {{sub|''n''+1}}C{{sub|3}}}} とも表現できる。
* {{math|0}} を除く平方数の[[逆数]]の和は <math>\tfrac{\;\pi^2}{6}</math> に収束する：<math>\textstyle\sum\limits_{k=1}^{\infty} \tfrac{1}{\;k^2} = \tfrac{\;\pi^2}{6}</math>{{main|リーマンゼータ函数|バーゼル問題}}
* 連続する平方数 {{math|''n''{{sup|2}}}} と {{math|(''n'' + 1){{sup|2}}}} の間に必ず素数があるかは証明されていない（[[ルジャンドル予想]]）
** だが、素数であるか2個の素数の積である数が存在することは、[[1975年]]に[[陳景潤]]によって証明されている。
* 平方数の列の[[階差数列]]は公差 {{math|2}} の[[等差数列]]であり、第2階差数列は定数列 {{math|2}}である。したがって平方数の列は2階等差数列である。
* 平方数は連続する2つの[[三角数]]の和で表せる
* 奇数の平方数の差は{{math|8}}の倍数となる（奇数 {{mvar|n}}, {{mvar|m}} について、平方数の差 {{math|1=''n''{{sup|2}} &minus; ''m''{{sup|2}} = (''n'' + ''m'')(''n'' &minus; ''m'')}} は（奇数同士の和差は偶数のため）偶数の積であり、{{math|2''m''}} は[[単偶数]]のため積の一方は[[複偶数]]となるから、結局 {{math|8}} の倍数となる）
* 平方数を {{math|3}} や {{math|4}} で割った余りは {{math|0}} または {{math|1}} である。
* [[多角数定理]]および類似の定理より以下のことが言える：
** すべての[[自然数]]は[[高々 (数学)|高々]]4個の平方数の和で表せる（[[四平方定理]]）
** すべての自然数は平方数と2個の三角数の和で表される
** すべての自然数は平方数と偶数の平方数と[[三角数]]の和で表される
** {{math2|8''k'' + 1, 6''k'' + 2, 8''k'' + 3, 8''k'' + 5, 8''k'' + 6}} の形の自然数は高々3個の平方数の和で表される（いわゆる「[[三個の平方数の和|三平方和定理]]」）
* [[二個の平方数の和]]について以下のことが言える：
** {{math|4''k'' + 1}} の形の素数は2個の平方数の和で表せる
** {{math|8''k'' + 1, 8''k'' + 3}} の形の素数は {{math|''x''{{sup|2}} + 2''y''{{sup|2}}}} で表せる
** {{math|12''k'' + 1, 12''k'' + 7}} の形の素数は {{math|''x''{{sup|2}} + 3''y''{{sup|2}}}} で表せる
* 31個の数を除くすべての自然数は異なる平方数の和で表せる（{{OEIS|A001422}}）
* 相異なる2つの自然数から[[ピタゴラス数]]を生成でき、[[直角三角形]]の斜辺に相当する数は2つの自然数の平方の和となり、他の一辺に相当する数は平方の差となる

=== 平方数でもある数 ===

* [[フィボナッチ数]]である平方数は {{math|[[0]], [[1]], [[144]]}} のみである
* 三角数である平方数（[[平方三角数]]）は {{math2|[[0]], [[1]], [[36]], [[1225]], …}}（{{OEIS|A001110}}）
* [[五角数]]である平方数は {{math2|[[0]], [[1]], [[9801]], 94109401, …}}（{{OEIS|A036353}}）
* [[立方数]]でもある平方数は6乗数 {{math|''n''{{sup|6}}}} である。{{math2|[[0]], [[1]], [[64]], [[729]], [[4096]], …}}（{{OEIS|A001014}}）

=== 基数に依存する性質 ===

* [[ハーシャッド数]]である平方数は {{math2|1, 4, 9, 36, 81, 100, 144, 225, 324, 400, 441, 576, …}}（{{OEIS|A118547}}）
* 十の位が奇数の平方数は、一の位が必ず {{math|6}} になる。{{math2|16, 36, 196, 256, 576, 676}} など。
* 下2桁が {{math|25}} の平方数は、百の位が必ず {{math2|0, 2, 6}} のいずれかになる。{{math2|25, 225, 625, 1225,2025, …}}
*{{math|144}} と {{math|441}}、{{math|169}} と {{math|196}} と {{math|961}}、{{math|256}} と {{math|625}}、{{math|1024}} と {{math|2401}} のように、数字を並べ替えただけで、別の平方数になるものがある。（{{OEIS|A034289}}）
* [[十進法]]において、平方数の[[数字根]]は {{math|1, 4, 7, 9}} のどれかにしかならない
** これにより、[[三進法]]では三の位が {{math|0}} の場合は一の位は {{math|0}} または {{math|1}} であり、三の位が {{math|1, 2}} の場合は一の位が {{math|1}} としかならない
* 十進法において、平方数の下二桁は {{math2|00, 01, 04, 09, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89, 96}} の22通りのうちどれかにしかならない
** これにより、{{math|5}} で割った余りも {{math|0, 1, 4}} のどれかにしかならないし {{math|10}} で割った余りも {{math|0, 1, 4, 5, 6, 9}} のどれかにしかならない
* 平方数を[[二進法]]表示したとき、二の位は必ず {{math|0}} となる（二進法では下2桁は {{math2|00, 01, 10, 11}} の4通りであり、それぞれ平方すると {{math2|1=00{{sup|2}} = 00, 01{{sup|2}} = 01, 10{{sup|2}} = 100, 11{{sup|2}} = 1001}} と二の位がいずれも {{math|0}} であるため）

== 一般化 ==
[[有理数]]の平方として表される有理数を'''平方数'''ということもある。さらに一般には、[[可換体]] {{mvar|K}} の乗法群 {{math|''K''{{sup|*}}}} の部分集合 {{math|{''x''{{sup|2}} {{!}} ''x'' ∈ ''K''} }}（[[直積集合]]と紛れるおそれのないときにはこれを {{math|(''K''{{sup|*}}){{sup|2}}}} などと表す）の元を平方数や平方元と呼ぶことがある。主に {{math|(''K''{{sup|*}}){{sup|2}} ≠ ''K''{{sup|*}}}} のときに意味を持つ。
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== 注釈 ==
{{脚注ヘルプ}}
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== 出典 ==
{{reflist}}-->

== 参考文献 ==
* {{cite journal
 |last=Chen
 |first=Jing-run
 |title=On the distribution of almost primes in an interval
 |journal=Scientia Sinica
 |issn=0250-7870
 |volume=18
 |pages=611&ndash;627
 |year=1975
 |zbl=0381.10033
 |ref=harv
}}

== 関連項目 ==
* [[図形数]]
* [[矩形数]]
* [[多角数]]

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=SquareNumber|title=Square Number}}

{{級数}}

{{DEFAULTSORT:へいほうすう}}
[[Category:初等数学]]
[[Category:整数の類]]
[[Category:図形数]]
[[Category:多角数]]
[[Category:四角形]]
[[Category:積]]
[[Category:数学に関する記事]]