平行六面体のソースを表示

[[Image:parallelepiped.svg|thumb|240px|平行六面体]]
'''平行六面体'''（へいこうろくめんたい、parallelepiped）とは、6面の[[平行四辺形]]で構成されている[[立体]]であり、[[ゾーン多面体]]、[[平行多面体]]の一種である。

== 性質 ==
平行六面体は異なる36種類の展開図がある。<ref>1982年9月数学セミナーP44</ref>

== 特殊な場合 ==
全てのとなり合う面が直交し、従って、6面がすべて長方形である場合には[[直方体]]となる。

6面がすべて合同の正方形でない[[菱形]]であるような平行六面体は特に{{ill2|菱面体|en|Rhombohedron}}と呼ばれ、2つの頂点に3つの菱形の鋭角が集まるもの('''acute''')と、鈍角が集まるもの('''obtuse''')の2種類がある。後者は鈍角の角度が120度以下でなければならない。

直方体であり、かつ、菱面体である場合が、[[立方体]]である。

== 体積 ==
一つの面を水平面に置くと、体積は、（一つの）水平面（それぞれ平行四辺形である）の面積に高さを掛け算したものになる。ここに、高さとは必ずしもある辺の長さではなく、水平面に垂直の軸に沿って計測されるものである。

あるいは、平行六面体の中心を座標原点に置いたときの８個の頂点の座標を '''ui''' で表すなら、体積は次式で与えることもできる。この場合は、図形の置かれる角度は問わない。
: <math display="inline">V=\sqrt{\frac 1 {8}\begin{vmatrix}\sum_{i = 1}^8 \mathbf{u_i}\otimes\mathbf{u_i} \end{vmatrix}}= \sqrt{\frac 1 {8}\begin{vmatrix}\sum_{i = 1}^8 \mathbf{u_i} \mathbf{u_i}^{\top} \end{vmatrix}}=\sqrt{\frac 1 {8}\begin{vmatrix}
\sum_{i = 1}^8 \begin{pmatrix}u_x \\ u_y \\ u_z\end{pmatrix}_i
\begin{pmatrix}u_x & u_y& u_z\end{pmatrix} _i\end{vmatrix}}
</math>
:: <math display="inline">=\sqrt{\frac 1 {8}\begin{vmatrix}
\sum_{i = 1}^8 \begin{pmatrix}u_xu_x & u_xu_y & u_xu_z \\ u_yu_x & u_yu_y & u_yu_z 
\\ u_zu_x & u_zu_y & u_zu_z \end{pmatrix}_i\end{vmatrix}}
</math>
:: <math display="inline">=\sqrt{\frac 1 {8}\begin{vmatrix}
\sum_{i = 1}^8 u_{ix}u_{ix}& \sum_{i = 1}^8 u_{ix}u_{iy}& \sum_{i = 1}^8 u_{ix}u_{iz}\\ \sum_{i = 1}^8 u_{iy}u_{ix}& \sum_{i = 1}^8 u_{iy}u_{iy}& \sum_{i = 1}^8 u_{iy}u_{iz}
\\ \sum_{i = 1}^8 u_{iz}u_{ix} & \sum_{i = 1}^8 u_{iz}u_{iy}& \sum_{i = 1}^8 u_{iz}u_{iz} \end{vmatrix}}
</math>

== 脚注 ==
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{{多面体}}

{{DEFAULTSORT:へいこうろくめんたい}}
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