平行四辺形のソースを表示

{{出典の明記|date=2021年10月}}
{{Infobox polygon
| name        = 平行四辺形
| image       = Parallelogram.svg
| caption     = 
| type        = [[四角形]]、[[台形]]
| edges       = 4
| symmetry    = [[点対称|C<sub>2</sub>]], [2]<sup>+</sup>, 
| area        = ''b'' × ''h'' (底辺 × 高さ);<br>''ab'' sin ''θ'' (隣接する辺と、それらによって決められる頂角の正弦の積)
| properties  = [[凸多角形|凸状]]}}
[[Image:Parallelogram.svg|250px|right|thumb|平行四辺形]]
'''平行四辺形'''（へいこうしへんけい、{{lang-en-short|parallelogram}}）とは、2組の対辺がそれぞれ[[平行]]である[[四角形]]のことである。

平行四辺形は、[[台形]]の一種である。また、特殊な平行四辺形に[[長方形]]、[[菱形]]、[[正方形]]がある。

== 平行四辺形の性質 ==
平行四辺形は、次のような性質を持つ。

*対辺の長さが等しい（対辺は2組あるが、いずれもこの性質を満たす）。
*対角の大きさが等しい（対角は2組あるが、いずれもこの性質を満たす）。
*[[対角線]]が他の対角線の[[中点]]を通る（対角線は2本あるが、いずれもこの性質を満たす）。

平行四辺形は、[[点対称]]な図形である。対称の中心は、対角線の交点に等しい。

平行四辺形の対角線によって、平行四辺形を互いに合同な2つの三角形に分けることができる。

平行四辺形の[[面積]]Sは 〔[[底辺]]〕×〔[[高さ]]〕 で求めることができる。これは平行四辺形を面積を変えずに[[長方形]]に変形させることで説明できる<ref>底辺はどの辺でも構わない。ある辺を底辺と決めたら、それと[[直角]]に交わる[[線分]]を底辺からその対辺まで引いたとき、その線分の長さが高さである。</ref>。

平行四辺形は2つの[[図形の合同|合同]]な[[三角形]]を2つ、対応するひと組の辺を共有し、その両端の頂点が対応と逆順に重なるように並べた図形である。

三角形の面積を 〔底辺〕×〔高さ〕÷2 で表すことができるのは、それが平行四辺形の面積を2等分して求めた結果だからである。

平行四辺形も台形と同様に[[平面充填|平面を敷き詰める]]ことができる。

4本の辺が全て等しい平行四辺形は[[菱形]]、4つの角が全て等しい平行四辺形は[[長方形]]であり、その両方の性質を持つ平行四辺形が[[正方形]]である。

平行四辺形ABCDの対角線の交点をEとすると、
:<math>AB=CD</math>、　<math>BC=DA</math>、　<math>AE=CE</math>、　<math>BE=DE</math>
であるが、この4種の線分長には次の関係式が成り立つ。（[[中線定理]]）
:<math>AB^2+BC^2=2\left(AE^2+BE^2\right)</math>

== 平行四辺形の成立条件 ==
平面上の四角形（平面四角形）が次のいずれか1つの条件に当てはまるとき、平行四辺形である。<br>
すなわち、これらの条件は全て、平行四辺形の定義「2組の対辺がそれぞれ平行な四角形」と[[同値]]である。
*2組の対辺がそれぞれ平行する。（定義）
基本定義であり、空間中でも平行四辺形になる。<br>
対辺が平行するということは、四角形の4つの頂点が同一平面上にあり、<br>
平面四角形であることになるため、定義によってこの条件を満たす四角形は平行四辺形になる。
*1組の対辺が平行であり、かつその長さが等しい。
これも空間中でも平行四辺形になる。<br>
対辺が平行するということは、四角形の4つの頂点が同一平面上にあり、<br>
平面四角形であることになるため、平行四辺形になる。
*2組の対辺がそれぞれ等しい。
空間中では平行四辺形になるとは限らない。<br>
例えば、正四面体の交わる2つの面からなる四角形は対辺がそれぞれ等しいが、平行四辺形ではない。
*2組の対角がそれぞれ等しい。
これも空間中では平行四辺形になるとは限らない。<br>
例えは上記と同じく正四面体の交わる2つの面からなる四角形で、<br>
その対角もぞれぞれ等しいが、やはり平行四辺形ではない。
*2本の対角線がともに、互いの中点で交わる。
上記の2つとは違って、空間中でも平行四辺形になる。<br>
上記の例えでは対角線はねじれ位置にあり、交わらないため、<br>
この条件を満たす四角形は必ず平面四角形になるので、平行四辺形になる。

== 脚注 ==
<references />

== 関連項目 ==
{{ウィキポータルリンク|数学}}
{{Refbegin|2}}
*[[四角形]]
*[[菱形]]
*[[長方形]]
*[[正方形]]
*[[台形]]
*[[凧形]]
*[[平行六面体]]
*[[力の合成と分解]]
*[[力の平行四辺形]]
{{Refend}}
{{多角形}}

{{DEFAULTSORT:へいこうしへんけい}}
[[Category:四角形]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:数学に関する記事]]