平面応力状態のソースを表示

'''平面応力状態'''（へいめんおうりょくじょうたい）とは、物体内の[[応力]]が平面的、すなわち、適当な座標系 (''x'' , ''y'' , ''z'' ) に対して
:&sigma;<sub>''z''</sub> = &tau;<sub>''zx''</sub> = &tau;<sub>''zy''</sub> = 0
となる応力状態である<ref>{{cite|和書 |author=野田直剛|author2=谷川義信|author3=須見尚文|author4=辻知章 |title=基礎弾性力学 |publisher=日新出版 |edition=8|year=1999 |isbn=4-8173-0146-5 |page=59}}</ref>。z 軸方向に広がる薄い板の側面に、板の中央面に平行で、z 軸方向に関し一様な外力が作用し、かつ板の上下面に外力が作用しないとき平面応力状態とみなすことができる。さらにこの場合、残りの応力成分と変位成分は近似的に''x'' , ''y'' の関数とみなしてよい。

== 平面応力状態でのフックの法則 ==
平面応力状態での[[フックの法則]]は、''E'' を[[ヤング率]]、&nu;を[[ポアソン比]]として
: <math>\begin{align}
& \sigma_x = 2\mu\epsilon_x+\lambda'(\epsilon_x+\epsilon_y),\quad
  \sigma_y = 2\mu\epsilon_y+\lambda'(\epsilon_x+\epsilon_y),\quad
  \sigma_z = 0,\\
& \tau_{xy} = 2\mu\gamma{xy},\quad
  \tau_{yz} = \gamma_{zx} = 0
\end{align}</math>
または
: <math>\begin{align}
& \epsilon_x = \frac{1}{E}(\sigma_x-\nu\sigma_y),\quad
  \epsilon_y = \frac{1}{E}(\sigma_y-\nu\sigma_x),\quad
  \epsilon_z = -\frac{\nu}{E}(\sigma_x+\sigma_y),\\
& \gamma_{xy} = \frac{1}{2G}\tau_{xy},\quad
  \gamma_{yz} = \gamma_{zx} = 0
\end{align}</math>
と表される<ref>{{cite|和書 |author=渋谷寿一|author2=本間寛臣|author3=斎藤憲司 |title=現代材料力学 |publisher=朝倉書店 |year=1986 |isbn=4-254-23051-6 |page=117}}</ref>。ただし&lambda;と&mu;は[[ラメ定数]]、
:<math>\lambda' = \frac{2\lambda\mu}{\lambda+2\mu}</math>
である。特に、平面応力状態では、z 軸方向の垂直ひずみは 0 とはならず、xy 平面のひずみのポアソン比に起因する分だけ発生する<ref name=kobayashi>{{cite|和書 |author=小林英男|author2=轟章 |title=固体の弾塑性力学 |publisher=数理工学社 |year=2007 |isbn=978-4-901683-51-7 |pages=32-36}}</ref>ことに注意を要する。

== エアリーの応力関数 ==
平面応力状態における[[応力#平衡方程式|応力の平衡方程式]]は、外力が作用しない場合、次式となる<ref name=kobayashi/><ref>外力が存在しても、それが[[保存力]]であれば応力関数は定義できる。</ref>：
:<math>\begin{align}
\frac{\partial\sigma_x}{\partial x}+\frac{\partial\tau_{xy}}{\partial y}=0,\\
\frac{\partial\tau_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial\sigma_y}{\partial y}=0.
\end{align}</math>
これは、次の関係式を満たす'''エアリー（Airy）の応力関数'''&phi;を導入することで自動的に満足される：
:<math>\sigma_x=\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2},\quad\sigma_y=\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2},\quad\tau_{xy}=-\frac{\partial^2\phi}{\partial x\partial y}.</math>
これを上記のフックの法則を用いて&phi;とひずみとの関係式に書き直し、[[ひずみ#適合条件式|ひずみの適合条件式]]に代入することで、&phi;の満たすべき条件式が次のように得られる：
:<math>\nabla^4\phi=\frac{\partial^4\phi}{\partial x^4}+2\frac{\partial^4\phi}{\partial x^2\partial y^2}+\frac{\partial^4\phi}{\partial y^4}=\nabla^2(\sigma_x+\sigma_y)=0.</math>
これは&phi;が[[重調和関数]]であり、主応力和（応力テンソルの第1不変量）が[[調和関数]]であることを示す。

[[複素解析]]の結果を用いると、応力関数は複素関数でも表現できる。この場合の応力関数を'''ウェスターガード（Westergaard）の応力関数'''と呼ぶ。

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 関連項目 ==
* [[平面ひずみ状態]]
* [[ジョージ・ビドル・エアリー]]
* {{仮リンク|ハロルド・ウェスターガード|en|Harold M. Westergaard}}<!--たぶんこの人が由来ですが根拠が示せません-->

{{DEFAULTSORT:へいめんおうりよくしようたい}}
[[Category:固体力学]]