平面曲線のソースを表示

{{出典の明記|date=2017年8月}}
[[File:Hyperbola.svg|thumb|right|平面曲線の例: [[双曲線]]]]
[[初等幾何学]]における'''平面曲線'''（へいめんきょくせん、{{lang-en-short|plane curve, planar curve}}）は、その像がひとつの[[平面]]（特にユークリッド平面、{{ill2|アフィン平面|en|affine plane}}、[[射影平面]]など）に全く含まれるような[[曲線]]を言う。例えばユークリッド平面曲線は[[連続写像]] <math display="block">\alpha\colon I \to \mathbb{R}^2</math> によって同定することができる。ここに {{mvar|I}} は[[実数直線]] {{mathbf|R}} 内の[[区間 (数学)|区間]]である。

特に、{{math|2}} より大きい次元の[[ユークリッド空間]]に含まれる曲線が'''平面的''' (planar) であるとは、曲線の定義空間に全く含まれる適当な平面が存在して、その曲線の像がその平面に全く含まれるときに言う。平面的でない空間曲線は{{ill2|非平面曲線|en|skew curve}}という。

平面曲線が'''単純'''とは、それが自己交叉を持たないこと、すなわち <math display="block">\forall(t_1,t_2) \in I^2, t_1 \ne t_2 \iff \alpha(t_1) \ne \alpha(t_2)</math> となるときに言う。

もっともよく調べられる平面曲線は、[[微分幾何学]]において調べられる可微分な場合（滑らかな曲線、区分的に滑らかな曲線）や[[代数幾何学]]において調べられる曲線の陰伏方程式が多項式で与えられる場合（[[代数曲線]]）である。代数曲線は18世紀以降広汎に研究されてきた。

== 表現 ==
; {{anchors|陽表示|陽表式|曲線の陽表示|曲線の陽表式|平面曲線の陽表示|平面曲線の陽表式}}陽表式: 平面曲線を表す方法の一つは、各 {{mvar|x}} に対応する {{mvar|y}} の値を与える方程式 <math display="block">y = f(x)</math> を用いるもので、そのように与えられる {{mvar|xy}}-平面上の点 {{math|(''x'', ''y'')}} がその平面曲線上の点を表すように方程式を与えることである。この種の曲線は、実[[函数のグラフ]]として曲線のグラフを与えることでも記述できる。実際、この表現法はひとつの[[独立変数]]に関する写像 <math display="block">\alpha (t) = (t,f(t))</math> としても書くことができる。しかしこの方法は幾何学的には様々な制約があり、この形で表すには複雑すぎる曲線というものが極めて頻繁にあらわれるから、そのような場合にこの形で幾何学的性質を調べることは向かない。
; {{anchors|陰表示|陰伏式|曲線の陰表示|曲線の陰伏式|平面曲線の陰表示|平面曲線の陰伏式}}陰伏式: 平面曲線はまた二変数の函数を用いて <math display="block">F(x,y)=0</math> の形に表すこともできる。このような表現は、ある種の観点からは陽な表現よりも適していることもあるが、二つの変数の間の関係性が分かりにくくなる（関係を陽に表すことができても複雑すぎたり、そもそも不可能である場合もある）という問題に遭遇することにもなる。
; {{anchors|媒介表示|媒介変数表示|曲線の媒介表示|媒介曲線表示|曲線の媒介変数表示|平面曲線の媒介表示}}媒介変数表示: もっとも紛れがないという意味では、[[媒介変数]] {{math|''t'' ∈ ''I''}} を用いる <math display="block">\alpha\colon \begin{cases} x = \phi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}, \qquad (\alpha(t) := (\phi(t), \psi(t)))</math> のような表示をかんがえるのがよい。

== 可微分平面曲線 ==
滑らかな平面曲線、すなわち望ましい正則性条件を満足する一次元のひものような対象としての曲線（「局所的に[[直線]]に見える」平面曲線）を表し研究するためには、連続性条件は十分ではない。追加の条件として平面曲線は {{mvar|I}} 上{{ill2|複素変数函数の実微分|label=微分可能|fr|Fonction d'une variable complexe différentiable au sens réel}}とする。媒介表示された平面曲線 <math display="inline">\alpha(t) = (\phi(t), \psi(t))</math> が微分可能であるとは、二つの函数 {{mvar|φ, ψ}} がともに任意の {{mvar|t}} において微分可能であることを言う。滑らかな平面曲線は平面に含まれる一次元の[[滑らかな多様体]]であり、この意味で各点の近傍において[[滑らかな函数]]によって直線に写される。

=== 正則性と特異点 ===
媒介表示された平面曲線が点 {{math|''t''{{sub|0}}}} において'''正則'''もしくは正常 (regular) である、または点 {{mvar|''t''{{sub|0}}}} がこの曲線上の'''{{vanc|正則点}}'''であるとは、{{math|''α&prime;''(''t''{{sub|0}}) {{coloneqq}} (''φ&prime;''(''t''{{sub|0}}), ''ψ&prime;''(''t''{{sub|0}})) ≠ (0,0)}} なることを言い、区間 {{mvar|I}} 上で正常とは {{mvar|I}} 上の任意の {{mvar|t}} において {{math|''α&prime;''(''t'') ≠ (0,0)}} となることを言う。

{{math|1=''α&prime;''(''t''{{sub|0}}) = (0,0)}} を満たす点 {{mvar|''t''{{sub|0}}}} はこの曲線の'''[[曲線の特異点|{{vanc|特異点}}]]'''と呼ぶ。

[[File:Tangente en a.png|400px|right|平面曲線上の一点における接線]]
曲線の正則性は、その{{anchors|平面曲線の接線|曲線の接線|接線}}曲線の'''[[接線]]'''の定義を可能にする。可微分曲線 {{math|''α''(''t'')}} の正則点 {{math|''P''{{sub|0}} {{coloneqq}} ''α''(''t''{{sub|0}})}} における接線は、点 {{math|''P''{{sub|0}}}} を通り、ベクトル  <math display="block">\alpha'(t_0) = (\phi'(t_0),\psi'(t_0))</math> に平行な直線を言う。すなわち、点 {{math|''t''{{sub|0}}}} の周りで接線上の点 {{math|(''X'', ''Y'')}} は方程式 <math display="block">
  \psi'(t_0) \cdot (X - \phi(t_0)) - \phi'(t_0) \cdot (Y - \psi(t_0)) = 0
</math> を満足し、また媒介変数 {{mvar|t}} を用いれば {{math|(''X'', ''Y'') {{coloneqq}} (''X{{sub|t}}'', ''Y{{sub|t}}'')}} は <math display="block">\begin{cases} 
  X_t = \phi'(t_0) (t-t_0) + \phi(t_0) \\[3pt]
  Y_t = \psi'(t_0) (t-t_0) + \psi(t_0)
\end{cases}</math> としても表される。曲線が方程式 {{math|1=''y'' = ''f''(''x'')}} によって陽に与えられているならば、その点 {{math|(''x''{{sub|0}}, ''y''{{sub|0}})}} における接線は <math display="block">f'(x_0) \cdot (x-x_0) - (y-y_0) = 0</math> なる関係によって与えられる。また、曲線が陰伏方程式 {{math|1=''F''(''x'', ''y'') = 0}} によって与えられているならば接線は <math display="block">F_{x_0}\cdot(x-x_0) + F_{y_0}\cdot(y-y_0) = 0</math> なる関係を満たす。ただし、{{math|''F''{{sub|''x''{{sub|0}}}}, ''F''{{sub|''y''{{sub|0}}}}}} はそれぞれ {{mvar|F}} の {{mvar|x, y}} による偏微分をそれぞれ {{mvar|''x''{{sub|0}}, ''y''{{sub|0}}}} において評価した値である。

曲線の正則性は、その曲線の点 {{math|''t''{{sub|0}}}} における{{anchors|法線|曲線の法線|平面曲線の法線}}'''[[法線]]'''も定義可能にし、法線の方程式が <math display="block">\phi'(t_0) \cdot (\phi(t_0) - \phi(t)) + \psi'(t_0) \cdot (\psi(t_0) - \psi(t)) = 0</math> で与えられる。接線の場合と同様に
* 陽表示: <math display="inline">f'(x_0) \cdot (y-y_0) + (x-x_0) = 0</math>;
* 陰表示: <math display="inline">F_{y_0}\cdot(x-x_0) + F_{x_0}\cdot(y-y_0) = 0</math>
の陽にも書ける。

[[微分]]の定義により、<math display="block">\frac {\psi'(t)}{\phi'(t)} = \tan \theta</math> は幾何学的には曲線の接線の[[傾き (数学)|傾き]]を表しており、右辺において正弦が引数にとる角 {{mvar|θ}} は接線が {{mvar|x}}-軸の正の半直線となす角である。この関係式を <math display=block>\begin{cases}
  \cos \theta = \pm \frac {\phi'(t)}{\sqrt{\phi'(t)^2 + \psi'(t)^2}}\\[3pt]
  \sin \theta = \pm \frac {\psi'(t)}{\sqrt{\phi'(t)^2 + \psi'(t)^2}}
\end{cases}</math> と展開すれば、これにより曲線の接線の'''{{vanc|方向余弦}}'''と呼ばれる量 {{math|cos(''θ'')}} が得られる。

=== 曲線の長さ ===
{{main|弧長}}
{{mvar|I}} 上の可微分曲線 {{math|1=''α''(''t'') = (''φ''(''t''), ''ψ''(''t''))}} と区間 {{math|{{closed-closed|''a'', ''b''}} ⊂ ''I''}} に対し、曲線の {{math|''α''(''a'')}} から {{math|''α''(''b'')}} までの'''{{vanc|弧長}}'''とは <math display="block">L(\alpha) := \int_{a}^{b} \| \alpha'(t) \|\mathit{dt} = \int_{a}^{b} \sqrt{\phi'(t)^2 + \psi'(t)^2}\;\mathit{dt}</math> で与えられる

弧長は媒介変数の取り換えに関して不変である。すなわち、{{math|''β''(''s'') {{coloneqq}} ''α''(''t''(''s'')) (''t'': ''J'' → ''I''; ''s'' {{mapsto}} ''t'' {{coloneqq}} ''t''(''s''))}} を媒介変数の取り換えとすれば、<math display="block">L(\alpha) = \int_{a}^{b} \| \alpha'(t) \|\mathit{dt} = \int_{a}^{b} \| \beta'(s) \|\mathit{ds} = L(\beta)</math> が成り立つ{{efn|媒介変数の取り換えに関して <math display="inline">\beta'(s) = \frac{dt}{ds}(\frac{d\phi}{dt}, \frac{d\psi}{dt}) = \frac{dt}{ds}\alpha'(t(s))</math> を見るのは容易}}。

曲線が {{math|1=''y'' = ''f''(''x'')}} と陽に与えられれば、{{math|1=''x&prime;'' = 1}} かつ {{math|1=''df''/''dx'' = ''dy''/''dx''}} となるから、弧長を <math display="block">
 L = \int_{a}^{b} \sqrt{1+\Bigl(\frac{dy}{dx}\Big)^2}\;\mathit{dx}
</math> と書くことができる。

媒介変数の取り方として数学および幾何学的研究および応用において重要と考えられるものの一つに、平面[[極座標]]が挙げられる。曲線の極座標表示が {{math|''r'' {{coloneqq}} ''r''(''θ'') (''c'' ≤ ''θ'' ≤ ''d'')}} で与えられれば、直交座標系における {{mvar|θ}} に関する媒介変数表示は <math display="block">\begin{cases}
 \phi(\theta) := r(\theta) \cos \theta \\
 \psi(\theta) := r(\theta) \sin \theta
\end{cases}</math> で与えられ、これらの微分は <math display="block">\begin{cases}
 \phi'(\theta) = r'(\theta) \cos \theta - r(\theta) \sin \theta \\
 \psi'(\theta) = r'(\theta) \sin \theta + r(\theta) \cos \theta
\end{cases}</math> となるから、さらに弧長は <math display="block">
 L = \int_c^d \sqrt{\phi'(\theta)^2 + \psi'(\theta)^2}\;\mathit{d\theta}
   = \int_c^d \sqrt{r(\theta)^2 + r'(\theta)^2}\;\mathit{d\theta}
   = \int_c^d \sqrt{r(\theta)^2 + \Bigl(\frac{dy}{dx}\Big)^2}\;\mathit{d\theta}
</math> と書ける。

=== 曲線座標 ===
'''曲線上の座標系'''または'''弧長変数'''（弧長パラメータ）{{mvar|s}} とは、特別な種類の媒介変数表示で、積分の下の限界 {{mvar|a}} を固定し上の限界 {{mvar|t}} を変数と見るとき、積分 <math display="inline">s(t) = \int_{a}^{t} \| \alpha'(u) \| \mathit{du}</math> が上の限界 {{mvar|t}} のみに依存して決まるものを言う。この積分函数 {{mvar|s}} は幾何学的には、固定された点 {{mvar|a}} から測った（必要ならば[[符号 (数学)|符号付き]]で考えた）弧長である。これにより常に曲線上にはこの曲線座標系に基づく座標を入れることが可能となる（弧長変数による媒介表示）。実際、<math display="inline">s'(t) = \|\alpha'(t)\| >0</math> ゆえ {{math|''s''(''t'')}} は逆を持ち、それを {{math|''t'' {{coloneqq}} ''t''(''s'')}} と書けば、弧長変数への媒介変数の取り換え <math display="inline">\beta(s) = \alpha(t(s))</math> を得る。この場合、曲線上の一点における接線を決定することは、単位接ベクトルに平行となる直線をとることに等しい。すなわち <math display="block">\| \beta'(s) \| = | \frac {dt}{ds} | \cdot \| \alpha'(t) \| = \frac {1}{|s'(t)|} \| \alpha'(t) \| = \frac {\| \alpha'(t) \|}{\| \alpha'(t) \|} = 1</math> ゆえ、接ベクトルは単位ベクトルである。

=== 曲線上の微分幾何 ===
{{main|{{ill2|古典微分幾何学|fr|Géométrie différentielle classique}}|フレネ–セレの公式}}
弧長変数で媒介表示された曲線 {{math|''β''(''s'')}} に対し、{{math|''β&prime;''(''s'')}} はその単位接ベクトルである。さらに函数 {{math|''k'': ''I'' → '''R'''; ''s'' {{mapsto}} ''k''(''s'') {{coloneqq}} {{norm|''β&Prime;''(''s'')}} &ge; 0}} はこの曲線の[[曲率]]と呼ばれる。曲線が陽表示 {{math|1=''y'' = ''f''(''x'')}} を持てば曲率も <math display="block">
 k = \frac{f''(x)}{(1 + f'^{2})^{3/2}}
</math> と陽に計算できる。陰伏表示 {{math|1=''F''(''x'', ''y'') = 0}} の場合は <math display="block">
  k = \frac{F_{y}^{2} \cdot F_{xx} - 2 F_{x} \cdot F_{y} \cdot F_{xy} + F_{x}^{2} \cdot F_{yy}}{\left(F_{x}^{2} + F_{y}^{2} \right)^{3/2}}
</math> となる。

空間内の（十分正則な）曲線はその任意の点において、'''フレネ標構'''と呼ばれる「接ベクトル」「法ベクトル」「陪法ベクトル」の三つ組からなる参照系を持つが、このような曲線が'''平面的'''となるための必要十分条件はその陪法ベクトルが常に零となることである。

弧長表示 {{math|1=''β''(''s'') = (''φ''(''s''), ''ψ''(''s'')}} に対して単位接ベクトル <math display="inline">T(s) = \beta'(s) = (\phi'(s), \psi'(s))</math> および単位法ベクトル <math display="inline">N(s) = i \cdot T(s) = (- \psi'(s), \phi'(s))</math> は直ちに求められる（ただし {{mvar|i}} は[[虚数単位]]）。曲率を用いれば単位法ベクトルを <math display="block">N(s) = \frac{T'(s)}{\| T'(s) \|} = \frac{T'(s)}{k(s)}</math> と与えることもできる。{{mvar|T&prime;}} は {{mvar|T}} に直交し、{{mvar|N}} に平行である。

これらをまとめると「平面曲線に関する'''フレネの公式'''」および曲率は、任意の媒介表示曲線 {{math|''α''(''t'')}} に対して
<math display="block">\begin{align}
 T(t) &= \frac {\alpha'(t)}{\| \alpha'(t) \|},\quad N(t) = \frac {i \cdot \alpha'(t)}{\| \alpha'(t) \|};\\[5pt]
 k(t) &= \frac {\alpha''(t) \cdot (i \alpha'(t))}{\| \alpha'(t) \|^3}
\end{align}</math> と与えられる。

== 平面代数曲線 ==
[[平面代数曲線]]は、[[アフィン平面]]内の曲線で多項式方程式 {{math|1=''f''(''x'', ''y'') = 0}} によって定義されるもの、または[[射影平面]]内の曲線で[[斉次多項式]]方程式 {{math|1=''F''(''x'', ''y'', ''z'') = 0}} で定義されるものを言う。

任意の平面代数曲線は、その定義多項式の[[多項式の次数|次数]]をその曲線の次数として持つ。代数閉体上で考える場合には、曲線の次数はそれが{{ill2|一般の位置|en|general position}}にある直線と交わるときの交点数に等しい。例えば、方程式 {{math|1=''x''{{exp|2}} + ''y''{{exp|2}} = 1}} で与えられる円の次数は {{math|2}} である。

次数 {{math|2}} の非特異平面代数曲線は[[円錐曲線]]であり、それらの{{ill2|射影完備化|en|projective completion}}は全て円 {{math|1=''x''{{exp|2}} + ''y''{{exp|2}} = 1}} の射影完備化（つまり {{math|1=''x''{{exp|2}} + ''y''{{exp|2}} - ''z''{{exp|2}} = 0}}) の定める射影曲線）に[[同型]]である。次数 {{math|3}} の平面代数曲線は{{ill2|平面三次曲線|en|cubic plane curve}}といい、それが非特異ならば[[楕円曲線]]となる。次数 {{math|4}} の平面代数曲線は{{ill2|平面四次曲線|en|quartic plane curve}}と呼ぶ。

== 注釈 ==
{{notelist}}
== 参考文献 ==
{{reflist}}
*{{Citation|first=J. L.|last=Coolidge|title=A Treatise on Algebraic Plane Curves|publisher=Dover Publications|date=April 28, 2004|ISBN=0-486-49576-0}}.
*{{Citation|first=R. C.|last=Yates|title=A handbook on curves and their properties|publisher=J.W. Edwards|year=1952|asin=B0007EKXV0}}.

== 関連項目 ==
{{portal|数学}}
* {{ill2|曲線の一覧|en|list of curves}}
* [[平面曲線あてはめ]]
* {{ill2|二次元図表|en|Two-dimensional graph}}

== 外部リンク ==
* {{fr icon}} [http://www.mathcurve.com Mathcurve] : une encyclopédie des courbes
* {{MathWorld|urlname=PlaneCurve|title=Plane Curve}}
* {{PlanetMath|urlname=curvatureplanecurve|title= curvature (plane curve)}} / {{PlanetMath|urlname=meancurvatureplanecurve|title= mean curvature (plane curve)}}
* {{PlanetMath|urlname=singularpointsofplanecurve|title= singular points of plane curve}}
* {{ProofWiki|urlname=Definition:Plane_Curve|title=Definition:Plane Curve}}
* {{SpringerEOM|urlname=Plane_real_algebraic_curve|title=Plane real algebraic curve|author=Voitsekhovskii, M.I.}} 

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:へいめんきょくせん}}
[[Category:曲線]]
[[Category:数学に関する記事]]