幸運数のソースを表示

'''幸運数'''（こううんすう、{{lang-en-short|lucky number}}）とは、[[エラトステネスの篩]]に似た方法で選ばれる[[自然数]]である。

== 概要 ==
[[Image:LuckySieve.gif|frame|幸運数篩をデモンストレーションするアニメーション。赤みがかったオレンジ色の背景の数字は幸運数。数字が除かれると、その背景が灰色から紫色に変わる。このアニメーションでは、以下の方法に沿って1から120までの幸運数を探している。]]
幸運数でない数を篩い落とす方法は以下の通りである。まず自然数の数列を書き出す。

 '''1''', 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30,

次にこの数列から 2n 番目の数（すなわち[[偶数]]）を除き（つまりそれこそが[[奇数]]の自然数の[[等差数列]]であるが）、数の順番を昇順に変えたまま、また数列を作る。

 1,    '''3''',    5,    7,    9,   11,   13,   15,   17,   19,   21,   23,   25,   27,   29,

ここで 2 番目の数である 3 は幸運数である。さらにこの数列から 3n 番目の数（すなわち<math>6</math>で割った余りが5の数）を除き、同様に数列を作る。

 1,    3,          '''7''',    9,         13,   15,         19,   21,         25,   27,

ここで 3 番目の数である 7 も幸運数となる。次にこの数列から 7n 番目の数（すなわち<math>\operatorname{lcm}(6,7)=42</math>で割った余りが19または39の数）を除き数列を作ると

 1,    3,          7,    '''9''',         13,   15,               21,         25,   27,

この段階で 4 番目の数である 9 は幸運数となる。次は 9n 番目の数（すなわち<math>\operatorname{lcm}(6,7,9)=126</math>で割った余りが27,57,91または121の数）を除き、以下同様に無限にこの操作を続ける。そうして取り除く数を増やしていっても残る数が幸運数である。

幸運数は無数に存在し、そのうち最小の数は [[1]] である。幸運数を 1 から小さい順に列記すると
:[[1]], [[3]], [[7]], [[9]], [[13]], [[15]], [[21]], [[25]], [[31]], [[33]], [[37]], [[43]], [[49]], [[51]], [[63]], [[67]], [[69]], [[73]], [[75]], [[79]], [[87]], [[93]], [[99]], …（{{OEIS|A000959}}）

幸運数は[[ポーランド]]の[[数学者]][[スタニスワフ・ウラム]]によって[[1955年]]ごろに提案された。「幸運」というのは歴史家の[[フラウィウス・ヨセフス]]の逸話「[[ヨセフスの問題]]」にかけた意味である。

幸運数は[[素数]]と性質を共有する部分がある。幸運数の表れ方は[[素数定理]]に近いものがあり、[[ゴールドバッハの予想]]は幸運数に対しても拡張される。つまり「4 以上の偶数は 2 個の幸運数の和として表せる」という予想が考えられる。

幸運数かつ素数な数（lucky prime）が無数に存在するかどうかは分かっていない。lucky prime を小さい順に列記すると
:3, 7, 13, 31, 37, 43, 67, 73, 79, 127, 151, 163, 193, …（{{OEIS|A031157}}）

== 関連項目 ==
* [[エラトステネスの篩]]
* [[素数]]
* [[ヨセフスの問題]]
== 外部リンク ==
* {{MathWorld|title=Lucky Number|urlname=LuckyNumber}}

{{DEFAULTSORT:こううんすう}}
[[Category:整数の類]]
[[Category:スタニスワフ・ウラム]]
[[Category:数学に関する記事]]