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'''幾何ブラウン運動''' (きかブラウンうんどう、{{lang-en-short|geometric Brownian motion; GBM}}) は、[[対数]]変動が[[平均]]μ[[分散 (確率論)|分散]]σの[[ブラウン運動]]にしたがう連続時間の[[確率過程]]<ref>Introduction to Probability Models by Sheldon M. Ross, 2007 Section 10.3.2</ref>で、金融市場に関するモデルや、[[金融工学]]における[[オプション取引|オプション]]価格のモデルでよく利用されている。幾何ブラウン運動の増分が <math>S_t</math> に対する比として表されることから幾何(geometric)の名称がつけられている。<ref>(訳者注)[[幾何級数]](geometric sequence)と同様。</ref>

== 定義 ==
次の[[確率微分方程式]]にしたがう確率過程 <math>S_t</math> を幾何ブラウン運動という。

:<math> dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dB_t </math>

ここで、
: ''dS''<sub>''t''</sub> は増分。例：運用資産（''S''）の増減額。
: ''dB''<sub>''t''</sub> は[[ブラウン運動]]（[[ウィーナー過程]]）の増分。
: μ は（現在の ''S''<sub>''t''</sub> に対する割合であらわした）ドリフト。金融の場合は期待収益率<ref>ここでの収益率は、変化後の''S''を変化前の''S''で除算した値ではなく、その値から１を減算した値。</ref>。
: σ は（現在の ''S''<sub>''t''</sub> に対する割合であらわした）[[ボラティリティ]]。

<math>\mu S_t\,dt</math> はドリフト項と呼ばれ決定論的なトレンドを表現し、<math>\sigma S_t\,dB_t</math> は予測不可能な出来事を表現している。<math>\sigma = 0</math> の場合は、<math>S_t = S_0 e^{\mu t}</math> である。

上記の確率微分方程式は[[伊藤の公式]]をもちいて次のように書き換えることができる。

:<math> d\log{S_t} = \left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right) \,dt + \sigma \,dB_t </math>

=== 解 ===
初期値を <math>S_0</math> とすると、解は次のように表せる。

:<math> S_t = S_0\exp\left( \left(\mu - \frac{\sigma^2}{2} \right)t + \sigma B_t\right),</math>

=== 統計的性質 ===
幾何ブラウン運動の確率変数 log(''S''<sub>''t'' </sub>/''S''<sub>0</sub>) は、平均(μ-σ<sup>2</sup>/2)t 分散 σ<sup>2</sup>t の[[正規分布]]にしたがい、その平均と分散は以下のように表せる。

[[期待値|平均]]
: <math>\mathbb{E}(S_t)= e^{\mu t}S_0</math>
[[分散 (確率論)|分散]]
: <math>\operatorname{Var}(S_t)= e^{2\mu t}S_0^2 \left( e^{\sigma^2 t}-1\right).</math>

== 非整数ブラウン運動への拡張 ==
ブラウン運動 B<sub>t</sub> を[[非整数ブラウン運動]] B<sub>H,t</sub> にまで拡張した時の確率微分方程式は

:<math> dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dB_{H,t} </math>

となる。ここで、dB<sub>H,t</sub> は[[ハースト指数]] H の非整数ブラウン運動の増分。

解は、

:<math> S_t = S_0\exp\left( \mu t - \frac{1}{2} \sigma^2 t^{2H} + \sigma B_{H,t}\right),</math>

となる。<ref>[https://books.google.co.jp/books?id=ccdwU2NW9f4C&printsec=frontcover&source=gbs_v2_summary_r&redir_esc=y&hl=ja#v=onepage&q&f=false Stochastic calculus for fractional Brownian motion and applications], By Francesca Biagini, Yaozhong Hu, Bernt Öksendal, Tusheng Zhang, Springer, 2008</ref>

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 関連項目 ==
*[[ブラック–ショールズ方程式]]
*[[確率的ボラティリティモデル]]
*[[非整数ブラウン運動]]

{{確率論}}
{{Math-stub}}

{{DEFAULTSORT:きかふらうんうんとう}}
[[Category:確率過程]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:金融工学]]