幾何学単位系のソースを表示

'''幾何学単位系'''（きかがくたんいけい）とは、[[物理学]]、特に[[一般相対性理論]]において用いられる[[単位系]]である。20世紀後半の宇宙論においては広く使用されており、1973年に発行された[[チャールズ・マイスナー]]、[[キップ・ソーン]]、[[ジョン・ホイーラー]]による一般相対論の教科書『[[Gravitation (書籍)|Gravitation]]』{{Enlink|Gravitation (book)|英語版}}でも採用された<ref name=":0">{{Harvp|Myers|2016|p=4}}</ref>。

== 概要 ==
幾何学単位系において、[[光速|光速度]] <math>c</math> と[[万有引力定数]] <math>G</math> は1であり、また単位は長さの[[冪乗|冪]] ([[無次元量|無次元]]も含む) によって表現される。従って、1[[メートル|m]]に対応する時間単位は <math display="inline">c^{-1}\fallingdotseq 3.3356\times10^{-9}</math> (秒)、質量単位は <math display="inline">c^2G^{-1}\fallingdotseq 1.3466\times 10^{27}</math>([[キログラム|kg]]) となる<ref name=":0" />。

幾何学単位系で表現すると、すべての ''G'' や ''c'' が数式から消えるので、相対性理論の多くの方程式が非常に単純な形になる。たとえば、質量 ''m'' で、非回転、非帯電の[[ブラックホール]]の[[シュワルツシルト半径]] ''r'' は、単純に ''r'' = 2''m'' と表わすことができる。

幾何学単位系は長さ・時間・質量およびそれらの組立単位を規定するが、それ以外については特に言及されていない。幾何学単位系と同様に光速度と万有引力定数を1とした単位系としては、[[ジョージ・ジョンストン・ストーニー#ストーニースケール|ストーニー単位系]]{{Enlink|Stoney units|Stoney units|en}}や[[プランク単位系]]が存在する。

== 定義 ==
幾何学単位系において、すべての時間間隔は光がその時間間隔に移動した距離として[[解釈]]される。つまり、[[秒]]を[[光秒]]と解釈し、時間は長さの[[量の次元|次元]]を持つとする。これは、[[特殊相対性理論]]の運動法則においては、時間と距離は同じ基盤の上にあるという概念によるものである。

[[エネルギー]]と[[運動量]]は[[4元運動量]]ベクトルの構成要素と解釈され、[[質量]]はこのベクトルの大きさであるので、幾何学単位系では、これらは長さの次元を持つことになる。キログラムで表わされた質量は、''G''/''c''<sup>2</sup> をかけることによってメートルで表わされた同じ質量に換算することができる。例えば、[[太陽]]の質量は[[国際単位系]]では 2.0×10<sup>30</sup> kg であるが、幾何学単位系では 1.5 km となる。これは、太陽と同じ質量を持つ[[ブラックホール]]の[[シュワルツシルト半径]]の半分である。他の物理量についての換算率は、''G'' と ''c'' を組み合わせることによって導出することができる。

[[アインシュタインテンソル]]のような「曲率テンソル」の構成要素は、幾何学単位系では断面曲率（L<sup>－2</sup>）の次元を持つ。[[エネルギー・運動量テンソル]]の構成要素も同様である。時空の[[計量テンソル]]は無次元であるため、アインシュタインの[[場の方程式]]は、断面曲率の次元で次元的に一貫している。このとき、[[アインシュタインの定数|アインシュタインの重力定数]]は{{Math|8π}}となる。

「経路曲率」は曲線の曲率ベクトルの大きさの逆数なので、幾何学単位系では、それは「[[長さの逆数]]」の次元を持つ。経路曲率は[[時空]]における非測地的な曲線の曲がりかたを測定し、時間的曲線をある[[観測者]]の[[世界線]]と解釈するならば、その経路曲率はその観測者が経験する[[加速度]]の大きさと解釈することができる。経路曲率と同一視することができる物理量には、[[電磁場テンソル]]の構成要素を含む。

幾何学単位系においては、すべての[[速度]]は曲線の[[傾き]]と解釈することができる。傾きは明らかに[[無次元量]]である。 無次元量と同一視することができる物理量には、電磁気ポテンシャルの 4元ベクトルと電磁流の 4元ベクトルの構成要素を含む。

[[質量]]や[[電荷]]のような[[4元ベクトル|時間的ベクトル]]の大きさと同一視することのできる物理量は、「長さ」の次元を持つ。[[角運動量]]のような2-ベクトル（{{Enlinkm|bivector|3=en}}、面素ベクトルに相当する2階[[外積代数|外積]]空間のベクトル）の大きさと同一視することができる物理量は、「面積」の次元を持つ。
{| class="wikitable"
|+単位換算表<ref name=":0" />
!物理量
!幾何学単位系
!係数
!国際単位系
|-
|質量
|m
|<math display="inline">c^2G^{-1}</math>
|{{Val|1.3466|e=27|u=kg}}
|-
|長さ
|m
|<math display="inline">1</math>
|{{Val|1|u=m}}
|-
|時間
|m
|<math display="inline">c^{-1}</math>
|{{Val|3.3356|e=-9|u=s}}
|-
|[[エネルギー]]
|m
|<math display="inline">c^4G^{-1}</math>
|{{Val|1.2102|e=44|u=kg⋅m<sup>2</sup>⋅s<sup>－2</sup>}}
|-
|[[速度]]
|1 (無次元量)
|<math display="inline">c</math>
|{{Val|2.9979|e=8|u=m.s-1}}
|-
|[[角運動量]]
|m<sup>2</sup>
|<math display="inline">c^3G^{-1}</math>
|{{Val|4.037|e=35|u=kg⋅m<sup>2</sup>⋅s<sup>－1</sup>}}
|-
|[[エネルギー密度]]
|m<sup>－2</sup>
|<math display="inline">c^4G^{-1}</math>
|{{Val|1.2102|e=44|u=kg⋅m<sup>－1</sup>⋅s<sup>－2</sup>}}
|}

== 関連項目 ==
* [[物理定数]]
* [[自然単位系]]

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
<references />

==参考文献==
* Robert M. Wald (1984). General Relativity. Chicago: University of Chicago Press. ISBN 0-226-87033-2. ''Appendix F''.
* {{Citation|洋書|ref=harv|title=Natural system of units in general relativity|last=Myers|first=Alan L.|year=2016|url=https://www.seas.upenn.edu/~amyers/NaturalUnits.pdf|format=PDF|access-date=2023-03-10}}

{{DEFAULTSORT:きかかくたんいけい}}
[[Category:単位系]]
[[Category:一般相対性理論]]