幾何学的フローのソースを表示

'''幾何学的フロー''' (Geometric flow) とは、[[数学]]とりわけ[[微分幾何学]]では、通常はいくつかの[[曲率|外在・内在的曲率]]に関連付けられた幾何学的解釈を持つ[[多様体]]上の[[汎関数]]に関連付けられた[[ベクトル場|勾配フロー]]である。 

[[モジュライ空間]]（固有フローの場合）または[[パラメーター空間]]（外在フローの場合）のフローとして解釈できる。 

これらは、[[変分法]]の[[変分法|計算]]において本質的に重要であり、いくつかの有名な問題と理論が含まれる。特に興味深いのは、その[[臨界点 (数学)|特異点]]である。 

幾何学的フローは、'''幾何学的発展方程式'''とも呼ばれる。 

== 例 ==

=== 外在性 ===
外在的幾何学的フローは、[[部分多様体|埋め込まれた部分多様体]]、またはより一般的に[[部分多様体|はめ込まれた部分多様体]]上のフローである。一般に、それらはリーマン計量とはめ込みの両方を変換する。 

* 石鹸膜における平均曲率フロー。臨界点は極小曲面 
* 曲線短縮フロー、1次元の場合の平均曲率フロー 
* ウィルモアフロー、球面のミニマックス外転 
* 逆平均曲率フロー 

=== 内在性 ===
内在的幾何学的フローは、埋め込みやはめ込みにかかわらず、[[リーマン多様体|リーマン計量]]上のフローとなる。 

* [[ポアンカレ予想]]の解決、[[リチャード・S・ハミルトン]]の[[一意化定理|均一化定理]]の証明に使われた[[リッチフロー]] 
* カラビフロー、2次元の場合は[[弦理論]] 
* 山辺フロー、リッチフローにおけるいくつかの特殊な場合 

== フローのクラス ==
フローの重要なクラスは、'''曲率フロー''' 、 '''変分フロー'''（いくらか関数の極限化）、および[[放物型偏微分方程式]]の解として生じるフロー。特殊なフローは、以下のように、頻繁に現れる。

[[楕円型作用素|楕円演算子]]''L'' が与えられると、放物型PDE <math>u_t = Lu</math>はフローを生成し、フローの定常状態は[[楕円型偏微分方程式|楕円偏微分方程式]] <math>Lu=0</math> の解となる。 

方程式<math>Lu=0</math>は、ある汎関数''F''の[[オイラー＝ラグランジュ方程式|オイラー・ラグランジュ方程式]]であり、フローは''F''の勾配フローの変分として解釈され、流れの定常状態は汎関数の臨界点に対応する。 

幾何学的フローの文脈では、汎関数は多くの場合、ある曲率の[[ノルム|''L'' <sup>2</sup>]]ノルムとなる。     

曲率フローは、 ''体積を保存''する場合と''保存し''ない場合がある（カラビフローは''保存され''るが、リッチフローは''保存され''ない）。したがって、たとえば体積を固定することによって、フローを正規化することができる。 

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==

* {{Cite journal|last=Bakas|first=Ioannis|date=14 October 2005|title=The algebraic structure of geometric flows in two dimensions|journal=[[Journal of High Energy Physics]]|volume=2005|issue=10|page=038|arxiv=hep-th/0507284|bibcode=2005JHEP...10..038B|DOI=10.1088/1126-6708/2005/10/038}} 

* {{Cite journal|last=Bakas|first=Ioannis|date=5 Feb 2007|title=Renormalization group equations and geometric flows|arxiv=hep-th/0702034|bibcode=2007hep.th....2034B}}

== 関連項目 ==
* [[フロー (数学)]]
* [[リッチフロー]]

== 外部リンク ==

* https://www.kochi-ct.ac.jp/sangaku0/intro/2019/kawamura.pdf

{{DEFAULTSORT:きかがくてきふろお}}
[[Category:ベクトル解析]]
[[Category:リーマン幾何学]]
[[Category:変分法]]
[[Category:微分幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]