幾何学的不変式論のソースを表示

{{要改訳}}
数学では、'''幾何学的不変式論'''(Geometric invariant theory)（もしくは、'''GIT'''）は、[[代数幾何学]]で[[モジュライ空間]]の構成に使用する目的で、[[群作用]]による商を構成する方法である。幾何学的不変論は、[[デヴィッド・マンフォード]](David Mumford)により、1965年、古典的{{仮リンク|不変式論|en|invariant theory}}(invariant theory)での論文 {{harv|Hilbert|1893}} のアイデアを使って開発された。

幾何学的不変式論は、[[代数多様体]]（もしくは、[[概型|スキーム]]）上の群 G による[[群作用]]を研究し、合理的な性質を持つスキームとして G による X の「商」を構成するテクニックをもたらす。動機の一つは、[[代数幾何学]]での[[モジュライ空間]]を、マークされた対象をパラメトライズするスキームの商として構成することにあった。1970年代と1980年代には、[[シンプレクティック幾何学]]や{{仮リンク|同変トポロジー|en|equivariant topology}}(equivariant topology)と相互作用しながら発展し、{{仮リンク|インスタントン|en|instanton}}(instanton)や{{仮リンク|モノポール (数学)|label=モノポール|en|monopole (mathematics)}}(monopoles)のような[[微分幾何学]]での対象のモジュライ空間の構成に使われた。
<!--== Geometric Invariant Theory ==
In [[mathematics]] '''Geometric invariant theory''' (or '''GIT''') is a method for constructing quotients by [[group action]]s in [[algebraic geometry]], used to construct [[moduli space]]s. It was developed by [[David Mumford]] in  1965, using ideas from the paper {{harv|Hilbert|1893}}  in  classical [[invariant theory]]. 

Geometric invariant theory studies an [[group action|action of a group]] ''G'' on an [[algebraic variety]] (or [[scheme (mathematics)|scheme]])  ''X'' and  provides techniques for forming the 'quotient' of ''X'' by ''G'' as a scheme with reasonable properties. One motivation was to construct [[moduli space]]s in [[algebraic geometry]] as quotients of schemes parametrizing marked objects. In the 1970s and 1980s the theory developed interactions with [[symplectic geometry]] and [[equivariant topology]], and was used to construct  moduli spaces of objects in [[differential geometry]], such as [[instanton]]s and [[monopole (mathematics)|monopoles]].-->

== 背景 ==
{{main|{{仮リンク|不変式論|en|Invariant theory}}(Invariant theory) }}
不変式論は、[[代数多様体]]（あるいは、[[概型|スキーム]]) X 上の[[群 (数学)|群]] G の[[群作用]]に関連した理論で、古典不変式論は、 X&nbsp;=&nbsp;V が[[ベクトル空間]]のときには、G は有限群かまたは V 上に線型に作用する{{仮リンク|古典リー群|en|classical Lie group}}(classical Lie group)の内の一つであることを言っている。この作用は V 上[[多項式環|多項式函数]]の空間 R(V) へ公式
: <math> g\cdot f(v)=f(g^{-1}v), \quad g\in G, v\in V</math>
により作用する G の線型作用を導く。

V 上への G-作用の多項式[[不変量]]は、群の作用による'''変数変換'''の下に不変な V 上の多項式函数 f であり、従って G の全ての g に対して g・f = f となる。不変式は可換代数 A = R(V)<sup>G</sup> を形成し、この代数は'''不変式の商'''(invariant theory quotient) V//G 上の函数の代数として解釈される。現代[[代数幾何学]]のことばでは、
: <math> V/\!\!/G=\operatorname{Spec} A=\operatorname{Spec} R(V)^G</math>
である。
<!--== Background ==
{{main|Invariant theory}}
Invariant theory is concerned with a [[group action]] of a [[group (mathematics)|group]] ''G'' on an [[algebraic variety]] (or a [[scheme (mathematics)|scheme]]) ''X''. Classical invariant theory addresses the situation when ''X''&nbsp;=&nbsp;''V'' is a [[vector space]] and ''G'' is either a finite group, or one of the [[classical Lie group]]s that acts linearly on ''V''. This action induces a linear action of ''G'' on the space of [[Ring of polynomial functions|polynomial functions]] ''R''(''V'') on ''V'' by the formula

: <math> g\cdot f(v)=f(g^{-1}v), \quad g\in G, v\in V.</math>

The polynomial [[invariant (mathematics)|invariant]]s of the ''G''-action on ''V'' are those polynomial functions ''f'' on ''V'' which are fixed under the 'change of variables' due to the action of the group, so that ''g''・''f''&nbsp;=&nbsp;''f'' for all ''g'' in ''G''. They form a commutative algebra ''A''&nbsp;=&nbsp;''R''(''V'')<sup>''G''</sup>, and this algebra is interpreted as the algebra of functions on the 'invariant theory quotient' ''V'' //''G''. In the language of modern [[algebraic geometry]],

: <math> V/\!\!/G=\operatorname{Spec} A=\operatorname{Spec} R(V)^G.</math>-->

この記述にはいくつかの困難な点があり、最初一つは、[[一般線型群]]の場合にヒルベルトにより成功裏に解決された代数 A が有限生成であることを証明することである。これは商が[[アフィン代数多様体]](affine algebraic variety)であるときに必要である。同じ事実が任意の群 G に対して成立するかどうかを問うたのが、[[#ヒルベルトの第14問題|ヒルベルトの第14問題]]<ref>'''{{Anchors|ヒルベルトの第14問題}}ヒルベルトの第14問題'''： k を[[可換体|体]]、K を n 変数の k 上の[[有理函数]]体 <math>k(x_1,\dots, x_n)</math> の部分体とする。そこで交叉
:<math> R:= K \cap k[x_1, \dots, x_n]</math>
として定義される [[結合多元環|k-代数]](k-algebra) R を考える。ヒルベルト(Hilbert)は、そのような代数 R は k 上有限生成であろうと予想した。1900年のヒルベルトの提出した問題の中の第12番目の問題。</ref>であり、[[永田雅宜]]が一般には否定的であることを示した。他方、20世紀の前半に[[表現論]]の発達の中で、この回答が肯定的であるような群の大きなクラスが特定され、これらのことを[[簡約群]]と呼び、全ての有限群や古典群を含むクラスである。
<!--Several difficulties emerge from this description. The first one, successfully tackled by Hilbert in the case of a [[general linear group]], is to prove that the algebra ''A'' is finitely generated. This is necessary if one wanted the quotient to be an [[affine algebraic variety]]. Whether a similar fact holds for arbitrary groups ''G'' was the subject of [[Hilbert's fourteenth problem]], and [[Masayoshi Nagata|Nagata]] demonstrated that the answer was negative in general. On the other hand, in the course of development of [[representation theory]] in the first half of the twentieth century, a large class of groups for which the answer is positive was identified; these are called [[reductive group]]s and include all finite groups and all classical groups. -->

しかし、A が有限生成であることは、A の完全な記述に向けての第一段階であり、むしろ、微妙な問題を解決することの前進は穏やかであった。不変式は古典的には制限された領域でのみで記述されていて、この記述を超えるいくつかの場合の複雑さは、一般の不変式の代数の完全な理解には望みが薄い。さらに、全ての多項式 f が V の中の与えられた G-作用の異なる[[軌道 (群論)|軌道]]の上にあるような点のペア u と v で、同じ値を取ることがあるかも知れない。単純な例として、0 を除く複素数の乗法群 '''C'''<sup>*</sup> があり、n-次元複素ベクトル空間 '''C'''<sup>n</sup> 上にスカラーを掛けることにより作用している。 この場合には、全ての多項式不変量が定数であるが、作用には多くの異った軌道がある。0 ベクトルはそれ自身で軌道を形成し、任意の 0 でないベクトルに 0 でない複素数をかけることも軌道を形成するので、0 でない軌道は複素射影空間 '''CP'''<sup>n&minus;1</sup> の点によりパラメトライズされる。これが起きるとき、「不変式は軌道を分離しない」といい、代数 A は位相的な[[商位相空間|商空間]] X/G を反映する。実際、この商空間は頻繁に[[ハウスドルフ空間|非分離的]]となる。1893年に、ヒルベルトは不変式により 0 軌道から分離できない軌道を決定する条件を定式化し証明した。むしろ注目すべきは、[[抽象代数学]]の急速な発展を導いた彼の初期の不変式の仕事とは異なり、ヒルベルトの結果はあまり知られていなく、その後70年にわたりほとんど使われることはなかった。20世紀前半の不変式論の大きな発展は、不変式論の明確な計算に関連していて、同時に、幾何学というよりも代数の論理に従っていた。
<!--The finite generation of the algebra ''A'' is but the first step towards the complete description of ''A'', and the progress in resolving this more delicate question was rather modest. The invariants had classically been described only in a restricted range of situations, and the complexity of this description beyond the first few cases held out little hope for full understanding of the algebras of invariants in general. Furthermore, it may happen that all polynomial invariants ''f'' take the same value on a given pair of points ''u'' and ''v'' in ''V'', yet these points are in different [[orbit (group theory)|orbits]] of the ''G''-action. A simple example is provided by the multiplicative group '''C'''<sup>*</sup> of non-zero complex numbers that acts on an ''n''-dimensional complex vector space '''C'''<sup>''n''</sup> by scalar multiplication. In this case, every polynomial invariant is a constant, but there are many different orbits of the action. The zero vector forms an orbit by itself, and the non-zero multiples of any non-zero vector form an orbit, so that non-zero orbits are paramatrized by the points of the complex [[projective space]] '''CP'''<sup>''n''&minus;1</sup>. If this happens, one says that "invariants do not separate the orbits", and the algebra ''A'' reflects the topological [[Quotient space (topology)|quotient space]] ''X'' /''G'' rather imperfectly. Indeed, the latter space is frequently [[Hausdorff space|non-separated]]. In 1893 Hilbert formulated and proved a criterion for determining those orbits which are not separated from the zero orbit by invariant polynomials. Rather remarkably, unlike his earlier work in invariant theory, which led to the rapid development of [[abstract algebra]], this result of Hilbert remained little known and little used for the next 70 years. Much of the development of invariant theory in the first half of the twentieth century concerned explicit computations with invariants, and at any rate, followed the logic of algebra rather than geometry.-->

== マンフォードの本 ==

幾何学的不変式論はマンフォード(Mumford)の1965年に最初に出版された単行本により発見され発展した。この本では、[[タフィット・ヒルベルト|ダヴィッド・ヒルベルト]]の結果を含む、現代代数幾何学の問題へ19世紀のアイデアを適用した（本は後日出版された第二版では、フォガルティ(Fogarty)とマンフォード(Mumford)により付録が付けられ、カーワン(Kirwan)によりシンプレクティック商の章が追加され、大きく拡張されている）。本は[[概型|スキーム論]]と例の中で有効な計算機テクニックの双方を使っている。
<!--== Mumford's book ==

Geometric invariant theory was founded and developed by Mumford in a monograph, first published in 1965, that applied ideas of nineteenth century invariant theory, including some  results of [[David Hilbert|Hilbert]], to modern algebraic geometry questions. (The book was greatly expanded in two later editions, with extra appendices by Fogarty and Mumford, and a chapter on symplectic quotients by Kirwan.) The book uses both  [[scheme theory]] and  computational techniques available in examples. -->
<!--- Incorporate below
The theory has been very influential, and the technical concept of ''stability'' used has been basic in much later research, for example on moduli spaces of [[vector bundle]]s.
-->
本の中で使われた抽象的な設定は、スキーム X 上の[[群作用]]という設定である。[[群作用#軌道と等方部分群|軌道空間]](orbit space)
:<math>G\backslash X</math>
つまり、群作用による X の[[商位相空間|商空間]]という単純な考え方のアイデアで、抽象的な説明が可能なある理由によって代数幾何学の困難さへ挑戦した。実際、何故、[[同値関係|同値性]]が（厳密な）[[正則函数 (スキーム論)|正則函数]](regular function)（多項式函数）と相互作用するという理由は何もなく、このことは代数幾何学の心臓部である。考えるべき軌道空間 <math>G\backslash X</math> 上の函数は、G の作用の下で[[不変 (数学)|不変]]となる X 上の函数である。直接のアプローチは、[[代数多様体の函数体|函数体]]の方法（つまり、[[有理函数]]）により可能である。その上の{{仮リンク|G-不変|en|G-invariant}}(G-invariant)な有理函数を、{{仮リンク|商多様体|en|quotient variety}}(quotient variety)の函数体として取ることを考える。不幸にして、[[双有理幾何学]]の観点からは、これは求める答えの第一近似のみを与えることができる。マンフォードはこのことを本の序に記載している。
<!--The abstract setting used is that of a [[group action]] on a scheme ''X''.
The simple-minded idea of an [[orbit space]] 

:''G''\''X'',

i.e. the [[Quotient space (topology)|quotient space]] of ''X'' by the group action, runs into difficulties in algebraic geometry, for reasons that are explicable in abstract terms. There is in fact no general reason why [[equivalence relation]]s should interact well with the (rather rigid) [[regular function]]s (polynomial functions), which are at the heart of algebraic geometry. The functions on the orbit space ''G''\''X'' that should be considered are those on ''X'' that are [[Invariant (mathematics)|invariant]] under the action of ''G''. The direct approach can be made, by means of the [[function field of an algebraic variety|function field]] of a variety (i.e. [[rational function]]s): take the [[G-invariant|''G''-invariant]] rational functions on it, as the function field of the [[quotient variety]]. Unfortunately this &mdash; the point of view of [[birational geometry]] &mdash; can only give a first approximation to the answer. As Mumford put it in the Preface to the book:-->

:'''双有理類の全てのモデルの中での問題は、ある軌道の集合を分類する、あるいは、あるモジュライ問題の代数的軌道の集合を分類するような[[代数幾何学用語一覧#幾何学的点|幾何学的点]](geometric point)を持つモデルが存在するかということである。'''

第 5章で彼は、取り分けて、特殊なテクニカルな問題を指摘した。そこでは、[[モジュライ空間|モジュライ問題]]では、準古典的タイプ -- つまり、[[非特異]]であることによってのみ全ての代数多様体を対象とした（他に{{仮リンク|代数多様体の偏極|en|polarization of an algebraic variety}}(polarization)という条件でも分類する）大きな集合が分類されている。モジュライはパラメータ空間により表される。例えば、[[代数曲線]]に対して、[[ベルンハルト・リーマン|リーマン]]の時代から次元
:0, 1, 3, 6, 9, …
である[[連結空間|連結な要素]]が存在するであろうことが知られている。

[[種数]] g&nbsp;=0, 1, 2, 3, 4, …, に従い、モジュライは各々の成分の上の函数である。{{仮リンク|粗いモジュライ問題|en|coarse moduli problem}}(coarse moduli problem)で、マンフォードは次の条件となるべき障害を考えている。

*非分離的なモジュライ空間上のトポロジー（つまり、良い設定にはパラメータが不足している）
*無限個の既約成分（これは避けられないが、{{仮リンク|局所有限性|en|local finiteness}}(local finiteness)が保たれる）
*トポロジカルには見通せるが、スキームとして表現することに失敗する要素がある
<!--:''The problem is, within the set of all models of the resulting birational class, there is one model whose [[geometric point]]s classify the set of orbits in some action, or the set of algebraic objects in some moduli problem''.

In Chapter 5 he isolates further the specific technical problem addressed, in a [[moduli problem]] of quite classical type &mdash; classify the big 'set' of all algebraic varieties subject only to being [[non-singular]] (and a requisite condition on [[polarization of an algebraic variety|polarization]]). The moduli are supposed to describe the parameter space. For example for [[algebraic curve]]s it has been known from the time of [[Riemann]] that there should be [[connected space|connected component]]s of dimensions 

:0, 1, 3, 6, 9, …

according to the [[genus (curve)|genus]] ''g''&nbsp;=0, 1, 2, 3, 4, …, and the moduli are functions on each component. In the [[coarse moduli problem]] Mumford considers the obstructions to be:

*non-separated topology on the moduli space (i.e. not enough parameters in good standing)
*infinitely many irreducible components (which isn't avoidable, but [[local finiteness]] may hold)
*failure of components to be representable as schemes, although respectable topologically.-->

理論全体の動機の第三の点について、もし最初の 2つが解決したらに続けて、マンフォードは次のように書いている。

:[第三の問題] '''[[射影線型群|射影群]]により[[ヒルベルトスキーム]]や{{仮リンク|周スキーム|en|Chow scheme}}(Chow scheme)のある{{仮リンク|局所閉|en|locally closed}}(locally closed)部分集合の軌道が存在するかどうかという疑問と本質的同値となる'''。

これを扱うために、かれは'''安定性'''(stability)の考え（実際に三つ）を導入した。このことにより、以前には危険であった領域に彼が足を踏み入れることを可能となった。つまり、多くの数学者、特に{{仮リンク|フランチェスコ・セヴィリ|en|Francesco Severi}}(Francesco Severi)が書いているように、文献の方法は限定的であった。双有理と言う観点は、{{仮リンク|余次元|en|codimension}} 1 の部分集合について注意せずに前進することができる。スキームとしてモジュライ空間を得ることは、一方では、{{仮リンク|表現函手|en|representable functor}}(representable functor)としてスキームを特徴付ける問題（[[グロタンディエク]]スクールがこのことを研究したように）であるが、しかし幾何学的に安定性条件が明らかにしたように、[[コンパクト化]]の問題である。非特異多様体への限定は、モジュライ空間のいかなるいかなる意味においても[[コンパクト空間]]を導かない。多様体は特異点を持つところへ退化することが可能だからである。他方では、高次の特異性を持つ多様体に対応する点は良くない性質を持っていて、答えを出しにくい。正しい中間的着地点は、許可される充分安定な点であり、このことがマンフォードの際立った仕事である。この考え方は全く新しいというわけではなく、そのある側面は、[[タフィット・ヒルベルト|ダヴィッド・ヒルベルト]]が不変式論の分野を離れる以前の最後に考えたアイデアの中にあるからである。

本の序文にも、後日、{{仮リンク|ウィリアム・ハボウシュ|en|William Haboush}}(William Haboush)により証明された{{仮リンク|ハボウシュの定理|label=マンフォード予想|en|haboush's theorem}}(Mumford conjecture)が言明してある。
<!--It is the third point that motivated the whole theory. As Mumford puts it, if the first two difficulties are resolved

:[the third question] ''becomes essentially equivalent to the question of whether an orbit space of some [[locally closed]] subset of the [[Hilbert scheme|Hilbert]] or [[Chow scheme]]s by the [[projective group]] exists''.

To deal with this he introduced a notion (in fact three) of '''stability'''. This enabled him to open up the previously treacherous area &mdash; much had been written, in particular by [[Francesco Severi]], but the methods of the literature had limitations. The birational point of view can afford to be careless about subsets of [[codimension]] 1. To have a moduli space as a scheme is on one side a question about characterising schemes as [[representable functor]]s (as the [[Grothendieck]] school would see it); but geometrically it is more like a [[compactification (mathematics)|compactification]] question, as the stability criteria revealed. The restriction to non-singular varieties will not lead to a [[compact space]] in any sense as moduli space: varieties can degenerate to having singularities. On the other hand the points that would correspond to highly singular varieties are definitely too 'bad' to include in the answer. The correct middle ground, of points stable enough to be admitted, was isolated by Mumford's work. The concept was not entirely new, since certain aspects of it were to be found in [[David Hilbert]]'s final ideas on invariant theory, before he moved on to other fields.

The book's Preface also enunciated the [[haboush's theorem|Mumford conjecture]], later proved by [[William Haboush]].-->
<!-- Expand on this, but not just yet
In many contexts where both theories apply, geometric invariant theory quotients are equivalent to [[symplectic reduction]].
-->

==安定性== <!-- "安定点"はここへリダイレクト-->
<!--{{Redirect-distinguish|安定点|安定不動点}}--> 
簡約群 G がベクトル空間 V 上へ線型に作用していると、V の 0 でない点は次のような各々の呼ばれ方をする。
*'''不安定'''(unstable)　0 がその軌道の閉包にあるとき
*'''半安定'''(semi-stable)　0 がその軌道の閉包にないとき
*'''安定'''(stable)　その軌道が閉じていて、スタビライザーが有限のとき

以上のことを言う同値な方法が{{仮リンク|ヒルベルト・マンフォード評価条件|en|Hilbert–Mumford criterion}}(Hilbert–Mumford criterion)として知られている。
*0 でない点 x が不安定であることと、G の 1径数部分群が存在し、x についてのウェイトが正であることは同値
*0 でない点 x が不安定であることと、全ての不変多項式が 0 と x で同じ値を持つことは同値
*0 でない点 x が半安定であることと、x についてのウェイトが正であるような G の 1径数部分群が存在しないことと同値
*0 でない点 x が半安定であることと、不変多項式が存在して、0 と x で異なる値を持つこととは同値
*0 でない点 x が安定であることと、全ての G の 1径数部分群が x についてのウェイトが正（と負）であることと同値
*0 でない点 x が安定であることと、x の軌道に属していない全ての y に対し、x と y で異なる値を持つ不変多項式が存在し、不変多項式の環は、超越次数 dim(V)&minus;dim(G) を持つことと同値
<!--==Stability== "Stable point" redirects here"
{{Redirect-distinguish|Stable point|Stable fixed point}} 
If a reductive group ''G'' acts linearly on a vector space ''V'', then a non-zero point  of ''V'' is called
*'''unstable''' if 0 is in the closure of its orbit,
*'''semi-stable''' if 0 is not in the closure of its orbit,
*'''stable''' if its orbit is closed, and its stabilizer is finite.

There are equivalent ways to state these (this criterion is known as the [[Hilbert–Mumford criterion]]):
*A non-zero point ''x'' is unstable if and only if there is a 1-parameter subgroup of ''G'' all of whose weights with respect to ''x'' are positive.
*A non-zero point ''x'' is unstable if and only if every invariant polynomial has the same value on 0 and ''x''.
*A non-zero point ''x'' is semistable if and only if there is no 1-parameter subgroup of ''G'' all of whose weights with respect to ''x'' are positive.
*A non-zero point ''x'' is semistable if and only if some invariant polynomial has different values on 0 and ''x''.
*A non-zero point ''x'' is stable if and only if every 1-parameter subgroup of ''G'' has positive (and negative) weights with respect to ''x''.
*A non-zero point ''x'' is stable if and only if for every ''y'' not in the orbit of ''x'' there is some invariant polynomial that has different values on ''y'' and ''x'', and the ring of invariant polynomials has transcendence degree  dim(''V'')&minus;dim(''G'').-->

V の対応する射影空間の点は、V での点の像が不安定、半安定、安定のとき、それぞれ不安定、半安定、安定と呼ばれる。「不安定」は「半安定」（「安定」でない）の反対である。不安定な点は射影空間のザリスキー閉集合を形成することに対し、半安定と安定な集合は双方ともにザリスキー開集合を形成する（空集合かもしれない）。これらの定義は {{harv|Mumford|1977}} でなされ、マンフォードの本の第一版の定義と同じではない。

多くのモジュライ空間は、ある群作用による射影空間の部分集合の安定点の空間の商として構成することができる。これらの空間は半安定点のある同値クラスを加えることでコンパクト化することができる。異なる安定軌道は商空間の異なる点に対応するが、2つの異なる半安定軌道は、それらの閉包が交叉すると、商空間の中では同じ点に対応するかもしれない。
<!--A point of the corresponding projective space of ''V'' is called unstable, semi-stable, or stable if it is the 
image of a point in ''V'' with the same property.  "Unstable" is the opposite of "semistable" (not "stable"). The unstable points form a Zariski closed set of projective space, while the semistable and stable points both form Zariski open sets (possibly empty). These definitions are from {{harv|Mumford|1977}} and are not equivalent to the ones in the  first edition of Mumford's book.

Many moduli spaces can be constructed as the quotients of the space of stable points of some subset of projective space by some group action. These spaces can often compactified by adding certain equivalence classes of semistable points. Different stable orbits correspond to different points in the quotient, but two different semistable orbits may correspond to the same point in the quotient if their closures intersect. -->

例: {{harv|Deligne|Mumford|1969}}
'''[[安定曲線]]'''(stable curve)とは、種数が ≥2 である被約で連結な曲線であり、その特異点が通常二重点であり全ての非特異有理成分が少なくとも三点からなる別の成分で交叉している曲線を言う。種数 g の安定曲線のモジュライ空間は、ヒルベルト多項式 (6n&minus;1)(g&minus;1) を持つ '''P'''<sup>5g-6</sup> の中の曲線の[[ヒルベルトスキーム]]の部分集合を群 PGL<sub>5g&minus;5</sub> で割った商空間である。

例:
[[代数曲線]]（[[リーマン面]]）上のベクトルバンドル W が、{{仮リンク|安定ベクトルバンドル|en|stable vector bundle}}(stable vector bundle)であることと、W の全ての固有な 0 でない部分バンドルに対して、
:<math>\displaystyle\frac{\deg(V)}{\hbox{rank}(V)} < \frac{\deg(W)}{\hbox{rank}(W)}</math>
であることとは同値である。また、この条件の < を ≤ と置き換えた時、半安定であることと同値である。
<!--Example: {{harv|Deligne|Mumford|1969}}
A '''[[stable curve]]''' is a reduced connected curve of genus ≥2 such that its only singularities are ordinary double points and every non-singular rational component meets the other components in at least 3 points. The moduli space of stable curves of genus ''g'' is the quotient of a subset of the [[Hilbert scheme]] of curves in '''P'''<sup>5''g''-6</sup> with Hilbert polynomial (6''n''&minus;1)(''g''&minus;1) by the group PGL<sub>5''g''&minus;5</sub>.

Example:
A vector bundle ''W'' over an [[algebraic curve]] (or over a [[Riemann surface]]) is a [[stable vector bundle]] 
if and only if 

:<math>\displaystyle\frac{\deg(V)}{\hbox{rank}(V)} < \frac{\deg(W)}{\hbox{rank}(W)}</math>

for all proper non-zero subbundles ''V'' of ''W'' 
and is semistable if this condition holds with < replaced by ≤.-->

== 脚注 ==
<references/>

==関連項目==
*{{仮リンク|幾何学的複雑性理論|en|Geometric complexity theory}}(Geometric complexity theory)
*{{仮リンク|幾何学的商|en|Geometric quotient}}(Geometric quotient)
*{{仮リンク|カテゴリカルな商|en|Categorical quotient}}(Categorical quotient)
*{{仮リンク|リダクションと可換な量子化|en|Quantization commutes with reduction}}(Quantization commutes with reduction)

== 参考文献 ==
*{{Citation | last1=Deligne | first1=Pierre | author1-link=Pierre Deligne | last2=Mumford | first2=David | author2-link=David Mumford | title=The irreducibility of the space of curves of given genus | url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1969__36__75_0 |mr=0262240 | year=1969 | journal=[[Publications Mathématiques de l'IHÉS]] | issue=36 | pages=75–109 | doi=10.1007/BF02684599 | volume=36}}
*{{citation|last=Hilbert|first=D.|title=Über die vollen Invariantensysteme|journal=Math. Annalen|volume=42|issue=3|page=313|year=1893|doi=10.1007/BF01444162}}
* Kirwan, Frances, ''Cohomology of quotients in symplectic and algebraic geometry''. Mathematical Notes, 31. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1984. i+211 pp. {{MathSciNet|id=0766741}} ISBN 0-691-08370-3
* Kraft, Hanspeter, ''Geometrische Methoden in der Invariantentheorie''. (German) (Geometrical methods in invariant theory) Aspects of Mathematics, D1. Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1984. x+308 pp. {{MathSciNet|id=0768181}} ISBN 3-528-08525-8
*{{Citation | last1=Mumford | first1=David | author1-link=David Mumford | title=Stability of projective varieties | url=http://retro.seals.ch/digbib/view?rid=ensmat-001:1977:23::185 |mr=0450272 | year=1977 | journal=L'Enseignement Mathématique. Revue Internationale. IIe Série | issn=0013-8584 | volume=23 | issue=1 | pages=39–110}}
*{{Citation | last1=Mumford | first1=David | author1-link=David Mumford | last2=Fogarty | first2=J. | last3=Kirwan | first3=F. | author3-link=Frances Kirwan | title=Geometric invariant theory | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=3rd | series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Results in Mathematics and Related Areas (2)] | isbn=978-3-540-56963-3 |mr=0214602( 1st ed 1965) {{MathSciNet|id=0719371}} (2nd ed) {{MathSciNet | id = 1304906}}(3rd ed.) | year=1994 | volume=34}}
* [[Ernest Vinberg|E.B. Vinberg]], [[Vladimir L. Popov|V.L. Popov]], ''Invariant theory'', in ''Algebraic geometry''. IV. Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 55 (translated from 1989 Russian edition) Springer-Verlag, Berlin, 1994. vi+284 pp.&nbsp;ISBN 3-540-54682-0

{{デフォルトソート:きかかくてきふへんしきろん}}
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[[Category:スキーム論]]
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