幾何学的群論のソースを表示

[[ファイル:F2_Cayley_Graph.png|サムネイル| 2つの生成元を持つ[[自由群]]の[[ケイリーグラフ]] 。 これは、{{仮リンク|グロモフ境界|en|Gromov boundary|}}が[[カントール集合]]である{{仮リンク|双曲群|en|hyperbolic group}}である。双曲群とその境界は、ケイリーグラフと同様に、幾何学的群論における重要なトピックである。]]
'''幾何学的群論'''（{{lang-en-short|Geometric group theory, GGT}}）は、[[有限生成群]]を研究する[[数学]]の一分野であり、群の代数的性質と、その群が[[群作用|作用]]する（つまり、幾何的な対称性、あるいは連続的な変換群として実現される）ような空間の[[位相幾何学|トポロジー的]]および[[幾何学|幾何学的]]性質との間の関係を調べるものである。

幾何学的群論におけるもう一つの重要な考え方は、有限生成群自体を幾何学的対象として考えることである。これは通常、群の[[ケイリーグラフ]]を調べることによって行われる。これには、グラフ構造に加えて、いわゆる{{仮リンク|語距離|en|word metric}}によって与えられる[[距離空間]]の構造が備わっている。

幾何学的群論は、分野としては比較的新しいものであり、1980年代後半から1990年代初頭にかけて、明確に識別できる数学の分野となった。 幾何学的群論は、[[低次元トポロジー]]、[[双曲幾何学]]、[[代数的位相幾何学|代数トポロジー]]、{{仮リンク|計算機群論|en|Computational group theory}}、[[微分幾何学]]と密接に相互作用する。[[計算複雑性理論]]、[[数理論理学]]、[[リー群]]とその離散部分群の研究、[[力学系]]、[[確率論]]、[[K理論]]、その他の数学の分野とも密接に関連している。

ピエール・デ・ラ・ハープは彼の著書『''Topics in Geometric Group Theory''』の冒頭で次のように書いている。

「私の個人的な信念の一つは、対称性と群に魅了されることは、人間の限界への不満に対処する一つの方法であるということです。我々は、対称性を認識することを好みます。対称性は我々が見ることのできることよりも多くを認識させてくれます。この意味で、幾何学的群論の研究は文化の一部であり、[[ジョルジュ・ド・ラーム]]が数学の指導、 [[ステファヌ・マラルメ|マラルメ]]の朗読、友人への挨拶など、多くの場面で実践したいくつかのことを思い出します。」<ref>P. de la Harpe, [https://books.google.com/books?id=60fTzwfqeQIC&pg=PP1&dq=de+la+Harpe,+Topics+in+geometric+group+theory ''Topics in geometric group theory''.] Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago, IL, 2000. {{ISBN2|0-226-31719-6|0-226-31721-8}}.</ref> {{Rp|3}} 
== 歴史 ==
幾何学的群論は、群を[[自由群]]の[[商群|商]]として説明する[[群の表示]]の解析を通じて[[離散群]]の性質を主に研究した'''{{仮リンク|組合せ群論|en|combinatorial group theory}}'''から生まれた。この分野は、1880年代初頭に、[[フェリックス・クライン]]の門生の{{仮リンク|ヴァルター・フォン・ダイク|en|Walther von Dyck}}によって最初に体系的に研究された<ref name="stillwell374">{{Citation|publisher=Springer|isbn=978-0-387-95336-6|last=Stillwell|first1=John|title=Mathematics and its history|year=2002|page=[https://books.google.com/books?id=WNjRrqTm62QC&pg=PA374 374]}}</ref> が、初期には、1856年の[[ウィリアム・ローワン・ハミルトン]]による、[[:en:Icosian calculus]]とよばれる[[十二面体]]の辺グラフを用いた{{仮リンク|正十二面体群|en|Icosahedral_symmetry}}の研究がある。現在、分野としての組合せ群論は、幾何学的群論に大きく含まれている。さらに、「幾何学的群論」という用語には、確率論的、測度論的、数論的、解析的、その他のアプローチを使用して、従来の組合せ群論の外にある離散群の研究がしばしば含まれるようになった。

20世紀の前半には、[[マックス・デーン]]、ヤコブ・ニールセン([[:en:Jakob Nielsen (mathematician)]])、{{仮リンク|クルト・ライデマイスター|en|Kurt Reidemeister}}、{{仮リンク|オットー・シュライアー|en|Otto Schreier}}、{{仮リンク|J・H・C・ホワイトヘッド|en|J. H. C. Whitehead}}、{{仮リンク|エグバート・ファンカンペン|en|Egbert van Kampen}}などの先駆的な研究により、離散群の研究にトポロジー的および幾何学的なアイデアが導入された<ref>Bruce Chandler and [[Wilhelm Magnus]]. ''The history of combinatorial group theory. A case study in the history of ideas.'' Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, vo. 9. Springer-Verlag, New York, 1982.</ref>。幾何学的群論の他の前身には、{{仮リンク|スモールキャンセル理論|en|small cancellation theory}}と{{仮リンク|バスセール理論|en|Bass–Serre theory}}がある。スモールキャンセル理論は、1960年代にマーティン・グリンドリンガーによって導入され<ref>{{Cite journal|last=Greendlinger|first=Martin|year=1960|title=Dehn's algorithm for the word problem|journal=Communications on Pure and Applied Mathematics|volume=13|issue=1|pages=67–83|DOI=10.1002/cpa.3160130108}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Greendlinger|first=Martin|year=1961|title=An analogue of a theorem of Magnus|journal=Archiv der Mathematik|volume=12|issue=1|pages=94–96|DOI=10.1007/BF01650530}}</ref> 、さらに{{仮リンク|ロジャー・リンドン|en|Roger Lyndon}}と{{仮リンク|ポール・シュップ|en|Paul Schupp}}によって発展された<ref>[[Roger Lyndon]] and [[Paul Schupp]], [https://books.google.com/books?id=aiPVBygHi_oC&printsec=frontcover&dq=lyndon+and+schupp ''Combinatorial Group Theory''], Springer-Verlag, Berlin, 1977. Reprinted in the "Classics in mathematics" series, 2000.</ref>。 これは、組合せ曲率条件を介して、群の有限表示に対応する{{仮リンク|ファンカンペン図式|en|Van Kampen diagram}}を研究し、そのような解析から群の代数的およびアルゴリズム的性質を導くものである。 1977年のセールの本<ref>J.-P. Serre, ''Trees''. Translated from the 1977 French original by [[John Stillwell]]. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1980. {{ISBN2|3-540-10103-9}}.</ref> で紹介されたバスセール理論は、[[木 (数学)|単体ツリー]]に対する群作用を研究することにより、群に関する代数構造の情報を導き出す。幾何学的群論の外的な前身には、リー群の格子の研究、特に[[モストウの剛性定理]]、{{仮リンク|クライン群|en|Kleinian groups}}の研究、1970年代と1980年代初頭に[[低次元トポロジー]]と双曲幾何学で達成された進歩、特に[[ウィリアム・サーストン]]の[[幾何化予想|幾何化プログラム]]が含まれる。

幾何学的群論が数学の別個の分野として出現したのは、通常、1980年代後半から1990年代初頭にさかのぼる。これは[[ミハイル・グロモフ]]の1987年のモノグラフ''『Hyperbolic groups』''<ref name="M. Gromov, 1987, pp. 75–263">Mikhail Gromov, ''Hyperbolic Groups'', in "Essays in Group Theory" (Steve M. Gersten, ed.), MSRI Publ. 8, 1987, pp. 75–263.</ref> およびその後のモノグラフの''『Asymptotic Invariants of Infinite Groups』''<ref>Mikhail Gromov, ''"Asymptotic invariants of infinite groups"'', in "Geometric Group Theory", Vol. 2 (Sussex, 1991), London Mathematical Society Lecture Note Series, 182, Cambridge University Press, Cambridge, 1993, pp. 1–295.</ref> により拍車がかかった。前者は大尺度(large-scale)で負の曲率を持つ有限生成群の概念を捉えた{{仮リンク|双曲群|en|hyperbolic group}}（語双曲群またはグロモフ双曲群または負曲率群としても知られる）を概念を導入したもので、後者は離散群の{{仮リンク|擬等長|en|Quasi-isometry}}類を理解するというグロモフのプログラムの概要を説明したものである。グロモフの研究は、離散群の研究に変革的な影響を与え<ref>Iliya Kapovich and Nadia Benakli. ''Boundaries of hyperbolic groups.'' Combinatorial and geometric group theory (New York, 2000/Hoboken, NJ, 2001), pp. 39–93, Contemp. Math., 296, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002. From the Introduction:" In the last fifteen years geometric group theory has enjoyed fast growth and rapidly increasing influence. Much of this progress has been spurred by remarkable work of M. L. Gromov [in Essays in group theory, 75–263, Springer, New York, 1987; in Geometric group theory, Vol. 2 (Sussex, 1991), 1–295, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1993], who has advanced the theory of word-hyperbolic groups (also referred to as Gromov-hyperbolic or negatively curved groups)."</ref><ref>[[Brian Bowditch]], ''Hyperbolic 3-manifolds and the geometry of the curve complex.'' [[European Congress of Mathematics]], pp. 103–115, Eur. Math. Soc., Zürich, 2005. From the Introduction:" Much of this can be viewed in the context of geometric group theory. This subject has seen very rapid growth over the last twenty years or so, though of course, its antecedents can be traced back much earlier. [...] The work of Gromov has been a major driving force in this. Particularly relevant here is his seminal paper on hyperbolic groups [Gr]."</ref><ref>{{Cite journal|last=Elek|first=Gabor|year=2006|title=The mathematics of Misha Gromov|journal=Acta Mathematica Hungarica|volume=113|issue=3|pages=171–185|DOI=10.1007/s10474-006-0098-5}}</ref>、「幾何学的群論」というフレーズがその後すぐに現れ始めた。（例えば<ref>Geometric group theory. Vol. 1. Proceedings of the symposium held at Sussex University, Sussex, July 1991. Edited by Graham A. Niblo and Martin A. Roller. London Mathematical Society Lecture Note Series, 181. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. {{ISBN2|0-521-43529-3}}.</ref> 参照）。

== 現代のテーマと発展 ==
1990年代と2000年代の幾何学的群論の注目すべきテーマと発展には、次のものがある。

* 群の擬等長の性質を研究するためのグロモフのプログラム。

: この分野で特に影響力のある広大なテーマは、大尺度(large scale)な幾何学によって[[群の生成系|有限生成群]]を分類する[[ミハイル・グロモフ|グロモフ]]のプログラム<ref>Mikhail Gromov, ''Asymptotic invariants of infinite groups'', in "Geometric Group Theory", Vol. 2 (Sussex, 1991), London Mathematical Society Lecture Note Series, 182, Cambridge University Press, Cambridge, 1993, pp. 1–295.</ref> である。正確には、これは{{仮リンク|語距離|en|word metric}}を入れた有限生成群の{{仮リンク|擬等長|en|Quasi-isometry}}類を分類することを意味する。このプログラムには以下が含まれる。
# {{仮リンク|擬等長|en|Quasi-isometry}}の下で不変である性質の研究。有限生成群のこのような性質の例には、次のものがある。有限生成群の{{仮リンク|増大度|en|Growth rate (group theory)}}。[[群の表示|有限表示群]]の{{仮リンク|等周関数|en|isoperimetric function}}または{{仮リンク|デーン関数|en|Dehn function}}。群のエンドの数。 {{仮リンク|群の双曲性|en|hyperbolic group}}。双曲群の{{仮リンク|グロモフ境界|en|Gromov boundary}}の[[位相同型|同相]]型;<ref>Iliya Kapovich and Nadia Benakli. ''Boundaries of hyperbolic groups.'' Combinatorial and geometric group theory (New York, 2000/Hoboken, NJ, 2001), pp. 39–93, Contemp. Math., 296, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002.</ref> 有限生成群の{{仮リンク|漸近錐|en|Ultralimit}}(asymptotic cone)（たとえば<ref>{{Cite journal|last=Riley|first=Tim R.|year=2003|title=Higher connectedness of asymptotic cones|journal=Topology|volume=42|issue=6|pages=1289–1352|DOI=10.1016/S0040-9383(03)00002-8}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Kramer|first=Linus|last2=Shelah|first2=Saharon|last3=Tent|first3=Katrin|last4=Thomas|first4=Simon|year=2005|title=Asymptotic cones of finitely presented groups|journal=Advances in Mathematics|volume=193|issue=1|pages=142–173|arxiv=math/0306420|DOI=10.1016/j.aim.2004.04.012}}</ref> 参照）。有限生成群の[[従順群|従順性]] ;実質的に([[:en:virtually]])[[アーベル群|アーベル]]である（つまり、有限位数のアーベル部分群をもつ）こと;実質的に[[冪零群|べき零]]であること。実質的に[[自由群|自由]]であること。[[群の表示|有限表示]]できること。{{仮リンク|語問題|en|word problem for groups}}が解ける有限表示群であること。など
# 擬等長不変量を用いて、群に関する代数的結果を証明する定理。例えば、{{仮リンク|グロモフの多項式増大定理|en|Gromov's theorem on groups of polynomial growth}}; スターリングスのエンド定理; [[モストウの剛性定理]]。
# 擬等長剛性定理。つまり、与えられた群または距離空間に対して、擬等長であるすべての群を代数的に分類するもの。この方向性は、ランク1格子の擬等長剛性に関するシュワルツ([[:en:Richard Schwartz (mathematician)]])の研究<ref>{{Cite journal|last=Schwartz|first=R.E.|year=1995|title=The quasi-isometry classification of rank one lattices|journal=Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques|volume=82|issue=1|pages=133–168|DOI=10.1007/BF02698639}}</ref> と、{{仮リンク|バウムスラッグ・ソリター群|en|Baumslag-Solitar group}}の擬等長剛性に関する{{仮リンク|ベンソン・ファーブ|en|Benson Farb}}とリー・モーシャーの研究により始められた。 <ref>{{Cite journal|last=Farb|first=Benson|last2=Mosher|first2=Lee|year=1998|title=A rigidity theorem for the solvable Baumslag–Solitar groups. With an appendix by Daryl Cooper|journal=[[Inventiones Mathematicae]]|volume=131|issue=2|pages=419–451|DOI=10.1007/s002220050210|MR=1608595}}</ref>

* {{仮リンク|語双曲群|en|hyperbolic group}}と{{仮リンク|相対双曲群|en|relatively hyperbolic group}}の理論。ここで特に重要な発展は、1990年代の{{仮リンク|ジル・セラ|en|Zlil Sela}}の研究により、語双曲群の同型問題が解かれたことである<ref>{{Cite journal|last=Sela|first=Zlil|year=1995|title=The isomorphism problem for hyperbolic groups. I|journal=[[Annals of Mathematics]]|volume=141|issue=2|pages=217–283|DOI=10.2307/2118520|JSTOR=2118520|MR=1324134}}</ref> 相対双曲群の概念は、もともと1987年にグロモフによって導入され<ref name="M. Gromov, 1987, pp. 75–263"/> 1990年代にはファーブ<ref>{{Cite journal|last=Farb|first=Benson|author-link=Benson Farb|year=1998|title=Relatively hyperbolic groups|journal=[[Geometric and Functional Analysis]]|volume=8|issue=5|pages=810–840|DOI=10.1007/s000390050075|MR=1650094}}</ref> と{{仮リンク|ブライアン・ボウディッチ|en|Brian Bowditch}}<ref>{{Cite book|first=Brian H.|last=Bowditch|author-link=Brian Bowditch|title=Treelike Structures Arising from Continua and Convergence Groups|url=https://books.google.com/books?id=95nTCQAAQBAJ|year=1999|publisher=American Mathematical Society|isbn=978-0-8218-1003-3|series=Memoirs American Mathematical Society|volume=662}}</ref> によって洗練された。相対双曲群の研究は2000年代になって注目を浴びるようになった。
* 数理論理学との相互作用と自由群の一階理論の研究。特に、セラ<ref>Zlil Sela, ''Diophantine geometry over groups and the elementary theory of free and hyperbolic groups.'' Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Beijing, 2002), pp. 87–92, Higher Ed. Press, Beijing, 2002.</ref> や{{仮リンク|オルガ・ハランポビッチ|en|Olga Kharlampovich}}、アレクセイ・ミアスニコフ<ref>{{Cite journal|last=Kharlampovich|first=Olga|last2=Myasnikov|first2=Alexei|year=1998|title=Tarski's problem about the elementary theory of free groups has a positive solution|journal=Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society|volume=4|issue=|pages=101–8|DOI=10.1090/S1079-6762-98-00047-X|MR=1662319}}</ref> の研究により、有名なタルスキ予想([[:en:free group]])に重要な進展があった。極限群(limit group)の研究や、非可換代数幾何学の言語や道具の導入が進んだ。
* 計算機科学、複雑性理論、形式言語の理論との相互作用。このテーマは、{{仮リンク|オートマティック群|en|automatic group}}<ref>D. B. A. Epstein, J. W. Cannon, D. Holt, S. Levy, M. Paterson, W. Thurston. ''[[Word Processing in Groups]]''. Jones and Bartlett Publishers, Boston, MA, 1992.</ref> の理論の発展によって例証されている。この概念は、有限生成群の積をとる操作に特定の幾何学的・言語論的条件を課すものである。
* 有限表示群の等周不等式、デーン関数とその一般化の研究。特にジャン＝カミーユ・ビルジェ、アレクサンドル・オリシャンスキー、{{仮リンク|エリヤフ・リップス|en|Eliyahu Rips}}、{{仮リンク|マーク・サピル|en|Mark Sapir}}<ref>{{Cite journal|last=Sapir|first=Mark|last2=Birget|first2=Jean-Camille|last3=Rips|first3=Eliyahu|year=2002|title=Isoperimetric and isodiametric functions of groups|journal=[[Annals of Mathematics]]|volume=156|issue=2|pages=345–466|JSTOR=3597195}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Birget|first=Jean-Camille|last2=Olʹshanskiĭ|first2=Aleksandr Yu.|last3=Rips|first3=Eliyahu|last4=Sapir|first4=Mark|year=2002|title=Isoperimetric functions of groups and computational complexity of the word problem|journal=[[Annals of Mathematics]]|volume=156|issue=2|pages=467–518|JSTOR=3597196}}</ref> の研究は、有限表示群のデーン関数としてありうるものを本質的に特徴づけており、分数次数のデーン関数を持つ群の明示的な構成を与えている。<ref>{{Cite journal|last=Bridson|first=M.R.|year=1999|title=Fractional isoperimetric inequalities and subgroup distortion|journal=Journal of the American Mathematical Society|volume=12|issue=4|pages=1103–18|DOI=10.1090/S0894-0347-99-00308-2|MR=1678924}}</ref>
* 有限生成群・有限表示群に対するJSJ分解理論の展開。<ref>{{Cite journal|last=Rips|first=E.|last2=Sela|first2=Z.|year=1997|title=Cyclic splittings of finitely presented groups and the canonical JSJ decomposition|journal=Annals of Mathematics (2)|volume=146|issue=1|pages=53–109|JSTOR=2951832}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Dunwoody|first=M.J.|last2=Sageev|first2=M.E.|year=1999|title=JSJ-splittings for finitely presented groups over slender groups|journal=Inventiones Mathematicae|volume=135|issue=1|pages=25–44|DOI=10.1007/s002220050278}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Scott|first=P.|last2=Swarup|first2=G.A.|year=2002|title=Regular neighbourhoods and canonical decompositions for groups|journal=Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society|volume=8|issue=|pages=20–28|DOI=10.1090/S1079-6762-02-00102-6|MR=1928498}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Bowditch|first=B.H.|year=1998|title=Cut points and canonical splittings of hyperbolic groups|journal=Acta Mathematica|volume=180|issue=2|pages=145–186|DOI=10.1007/BF02392898}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Fujiwara|first=K.|last2=Papasoglu|first2=P.|year=2006|title=JSJ-decompositions of finitely presented groups and complexes of groups|journal=Geometric and Functional Analysis|volume=16|issue=1|pages=70–125|arxiv=math/0507424|DOI=10.1007/s00039-006-0550-2}}</ref>
* {{仮リンク|幾何解析|en|geometric analysis}}, 離散群に関連する [[C*-環]] の研究、自由確率論との関係。このテーマは、特に{{仮リンク|ノビコフ予想|en|Novikov conjecture}}と{{仮リンク|バウム・コンヌ予想|en|Baum–Connes conjecture}}に関するかなりの進歩と、それらに関連する群論的な概念（位相的従順性、漸近次元、ヒルベルト空間への一様な埋め込み可能性、急減衰(rapid decay)条件など）の発展や研究に代表される (例えば<ref>{{Cite journal|last=Yu|first=G.|year=1998|title=The Novikov conjecture for groups with finite asymptotic dimension|journal=Annals of Mathematics (2)|volume=147|issue=2|pages=325–355|JSTOR=121011}}</ref><ref>G. Yu. ''The coarse Baum–Connes conjecture for spaces which admit a uniform embedding into Hilbert space.'' Inventiones Mathematicae, vol 139 (2000), no. 1, pp. 201–240.</ref><ref>{{Cite journal|last=Mineyev|first=I.|last2=Yu|first2=G.|year=2002|title=The Baum–Connes conjecture for hyperbolic groups|journal=Inventiones Mathematicae|volume=149|issue=1|pages=97–122|arxiv=math/0105086|DOI=10.1007/s002220200214}}</ref> を参照).
* 距離空間上の擬等角解析の理論との相互作用、特に2次元球面に同相な{{仮リンク|グロモフ境界|en|Gromov boundary}}を持つ双曲群の特徴付けに関するキャノンの予想との関係。<ref>{{Cite journal|last=Bonk|first=M.|last2=Kleiner|first2=B.|year=2005|title=Conformal dimension and Gromov hyperbolic groups with 2-sphere boundary|journal=Geometry and Topology|volume=9|issue=|pages=219–246|arxiv=math.GR/0208135|DOI=10.2140/gt.2005.9.219}}</ref><ref>M. Bourdon and H. Pajot. ''Quasi-conformal geometry and hyperbolic geometry.'' Rigidity in dynamics and geometry (Cambridge, 2000), pp. 1–17, Springer, Berlin, 2002.</ref><ref>M. Bonk, ''Quasiconformal geometry of fractals.'' International Congress of Mathematicians. Vol. II, pp. 1349–1373, Eur. Math. Soc., Zürich, 2006.</ref>
* [[:en:Finite subdivision rules]], {{仮リンク|キャノンの予想|en|Cannon's conjecture}}にも関係する。<ref name="finite">{{Cite journal|last=Cannon|first=J.W.|last2=Floyd|first2=W.J.|last3=Parry|first3=W.R.|year=2001|title=Finite subdivision rules|journal=Conformal Geometry and Dynamics|volume=5|issue=|pages=153–196|DOI=10.1090/S1088-4173-01-00055-8|MR=1875951}}</ref>
* 様々なコンパクト空間上の離散群の作用や群のコンパクト化を研究する際の{{仮リンク|位相的力学系|en|topological dynamics}}の相互作用、特に{{仮リンク|収束群|en|convergence group}}の方法<ref>P. Tukia. ''Generalizations of Fuchsian and Kleinian groups.'' First European Congress of Mathematics, Vol. II (Paris, 1992), pp. 447–461, Progr. Math., 120, Birkhäuser, Basel, 1994.</ref><ref>{{Cite journal|last=Yaman|first=A.|year=2004|title=A topological characterisation of relatively hyperbolic groups|journal=Journal für die Reine und Angewandte Mathematik|volume=566|issue=|pages=41–89|DOI=}}</ref>
*<math>\mathbb R</math>-樹([[:en:real tree]])の群作用の理論の発展（特にRips machine）とその応用。<ref>{{Cite journal|last=Bestvina|first=M.|author-link=Mladen Bestvina|last2=Feighn|first2=M.|year=1995|title=Stable actions of groups on real trees|journal=Inventiones Mathematicae|volume=121|issue=2|pages=287–321|DOI=10.1007/BF01884300}}</ref>
* CAT(0) 空間とCAT(0)立方複体への群作用の研究 <ref name=Bridson99/> 。これはアレクサンドロフ幾何学のアイデアに動機づけられている。
* 低次元トポロジーや双曲幾何学との相互作用、特に3次元多様体群の研究 (例えば<ref>{{Cite book|first=M.|last=Kapovich|title=Hyperbolic Manifolds and Discrete Groups|series=Progress in Mathematics|volume=183|url=https://books.google.com/books?id=YmphheDo18kC|year=2001|publisher=Birkhäuser|isbn=978-0-8176-3904-4}}</ref> 参照）。曲面の写像類群、[[ブレイド群]] および クライン群.
* 「ランダムな」群論的対象（群、群の要素、部分群など）の代数的性質を研究するための確率論的手法の導入。ここで特に重要な発展は、確率論的手法を用いて、ヒルベルト空間に一様埋め込み不可能な有限生成群の存在を証明したグロモフの研究<ref>M. Gromov. ''Random walk in random groups.'' Geometric and Functional Analysis, vol. 13 (2003), no. 1, pp. 73–146.</ref> である。他の注目すべき発展としては、群論的アルゴリズムや他の数学的アルゴリズムに対する[[:en:generic-case complexity]]<ref>{{Cite journal|last=Kapovich|first=I.|last2=Miasnikov|first2=A.|last3=Schupp|first3=P.|last4=Shpilrain|first4=V.|year=2003|title=Generic-case complexity, decision problems in group theory, and random walks|journal=Journal of Algebra|volume=264|issue=2|pages=665–694|DOI=10.1016/S0021-8693(03)00167-4}}</ref> の概念の導入と研究、ジェネリックな群の代数的な剛性の結果<ref>{{Cite journal|last=Kapovich|first=I.|last2=Schupp|first2=P.|last3=Shpilrain|first3=V.|year=2006|title=Generic properties of Whitehead's algorithm and isomorphism rigidity of random one-relator groups|journal=Pacific Journal of Mathematics|volume=223|issue=1|pages=113–140|DOI=10.2140/pjm.2006.223.113}}</ref> などがある。
* 根を無限個もつツリーの自己同型群の群としてのオートマタ群や{{仮リンク|反復モノドロミー群|en|iterated monodromy group}}の研究。 特に、中間増大度をもつ{{仮リンク|グリゴルチュク群|en|Grigorchuk's group}}とその一般化がこの文脈に登場する。<ref>L. Bartholdi, R. I. Grigorchuk and Z. Sunik. ''Branch groups.'' Handbook of algebra, Vol. 3, pp. 989-1112, North-Holland, Amsterdam, 2003.</ref><ref>V. Nekrashevych. ''Self-similar groups.'' Mathematical Surveys and Monographs, 117. American Mathematical Society, Providence, RI, 2005. {{ISBN2|0-8218-3831-8}}.</ref>
* 測度空間上の群作用の測度論的性質の研究、特に測度同値と軌道同値の概念の導入と発展、モストウ剛性の測度論的一般化。<ref>{{Cite journal|last=Furman|first=A.|year=1999|title=Gromov's measure equivalence and rigidity of higher rank lattices|journal=Annals of Mathematics (2)|volume=150|issue=3|pages=1059–81|JSTOR=121062}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Monod|first=N.|last2=Shalom|first2=Y.|year=2006|title=Orbit equivalence rigidity and bounded cohomology|journal=Annals of Mathematics (2)|volume=164|issue=3|pages=825–878|DOI=10.4007/annals.2006.164.825|JSTOR=20160009}}</ref>
* 離散群のユニタリ表現と{{仮リンク|カジュダンの性質(T)|en| Kazhdan's property (T)}}の研究<ref>Y. Shalom. ''The algebraization of Kazhdan's property (T).'' International Congress of Mathematicians. Vol. II, pp. 1283–1310, Eur. Math. Soc., Zürich, 2006.</ref>
* ''Out''(''F''<sub>''n''</sub>) ([[自由群]]の階数 ''n'' の外部自己同型群) と自由群の個々の自己同型の研究。ここで特に顕著な役割を果たしたのは、カラー(Culler)とフォートマン(Vogtmann)のouter space<ref>{{Cite journal|last=Culler|first=M.|last2=Vogtmann|first2=K.|year=1986|title=Moduli of graphs and automorphisms of free groups|journal=Inventiones Mathematicae|volume=84|issue=1|pages=91–119|DOI=10.1007/BF01388734}}</ref> と自由群の自己同型群のための線路([[:en:train track]])の理論<ref>{{Cite journal|last=Bestvina|first=M.|last2=Handel|first2=M.|year=1992|title=Train tracks and automorphisms of free groups|journal=Annals of Mathematics (2)|volume=135|issue=1|pages=1–51|JSTOR=2946562}}</ref> の導入と研究である。
* {{仮リンク|バス・セール理論の発展|en|Bass-Serre theory}}、特に多くの accessibility の結果<ref>{{Cite journal|last=Dunwoody|first=M.J.|year=1985|title=The accessibility of finitely presented groups|journal=Inventiones Mathematicae|volume=81|issue=3|pages=449–457|DOI=10.1007/BF01388581}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Bestvina|first=M.|last2=Feighn|first2=M.|year=1991|title=Bounding the complexity of simplicial group actions on trees|journal=Inventiones Mathematicae|volume=103|issue=3|pages=449–469|DOI=10.1007/BF01239522}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Sela|first=Z.|year=1997|title=Acylindrical accessibility for groups|journal=Inventiones Mathematicae|volume=129|issue=3|pages=527–565|DOI=10.1007/s002220050172}}</ref> とツリーの格子の理論<ref>H. Bass and [[Alexander Lubotzky|A. Lubotzky]]. ''Tree lattices. With appendices by Bass, L. Carbone, [[Alexander Lubotzky|Lubotzky]], G. Rosenberg and J. Tits.'' Progress in Mathematics, 176. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2001. {{ISBN2|0-8176-4120-3}}.</ref>。群の複体の理論などバス・セール理論の一般化。<ref name="Bridson99">{{Harvnb|Bridson|Haefliger|1999}}</ref>
* 群上の [[ランダムウォーク|ランダム・ウォーク]]とそれに関連する境界の理論の研究、特にポアソン境界の概念 (例えば<ref>{{Cite journal|last=Kaimanovich|first=V.A.|year=2000|title=The Poisson formula for groups with hyperbolic properties|journal=Annals of Mathematics (2)|volume=152|issue=3|pages=659–692|JSTOR=2661351}}</ref> 参照)。 [[従順群|従順性]]と、従順性が不明な群の研究。
* 有限群論との相互作用、特に subgroup growth の研究の進展。
* <math>SL(n, \mathbb R)</math> などの線形群や、他のリー群の、部分群と格子を、幾何学的方法 (例えば[[建物 (数学)|ビルディング]])、[[代数幾何学]]的ツール (例えば [[代数群]] と表現多様体)、解析的手法 (例えば [[ヒルベルト空間]]上のユニタリ表現) 、数論的手法などで調べる研究。
* 代数的・位相幾何学的手法を用いた、[[群のコホモロジー]]。特に [[代数的位相幾何学]]との相互作用や組合せの文脈での[[モース理論]]的な考え方の利用を含む; 大尺度, あるいは粗ホモロジーあるいはコホモロジー。 (たとえば<ref>{{Cite journal|last=Bestvina|first=M.|last2=Kapovich|first2=M.|last3=Kleiner|first3=B.|year=2002|title=Van Kampen's embedding obstruction for discrete groups|journal=Inventiones Mathematicae|volume=150|issue=2|pages=219–235|arxiv=math/0010141|DOI=10.1007/s00222-002-0246-7}}</ref> を参照) 
* Burnsideの問題,<ref>{{Cite journal|last=Ivanov|first=S.V.|year=1994|title=The free Burnside groups of sufficiently large exponents|journal=International Journal of Algebra and Computation|volume=4|issue=1n2|pages=1–309|DOI=10.1142/S0218196794000026}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Lysënok|first=I.G.|year=1996|title=Infinite Burnside groups of even exponent|journal=Izvestiya: Mathematics|volume=60|issue=3|pages=453–654|DOI=10.1070/im1996v060n03abeh000077}}</ref>   [[コクセター群]]やアルティン群の研究など、伝統的な組合せ群論のトピックの進展（これらの問題を研究するために現在使用されている方法は、幾何学的・位相幾何学的なものが多い）。

== 例 ==
次の例は、幾何学的群論でよく研究されている。 {{Div col|colwidth=25em}}
* [[従順群]]
* [[バーンサイド問題|自由バーンサイド群]]
* 無限[[巡回群]] [[整数|''Z'']]
* [[自由群]]
* [[自由積]]
* {{仮リンク|外部自己同型群|en|outer automorphism group}} Out''(F<sub>n</sub>)'' ([[:en:outer space]]を用いて)
* {{仮リンク|双曲群|en|hyperbolic group}}
* {{仮リンク|写像類群|en|mapping class group}} (曲面の自己同型)
* [[対称群]]
* [[ブレイド群]]
* [[コクセター群]]
* 一般{{仮リンク|アルティン群|en|Artin group}}
* [[トンプソン群]] ''F''
* {{仮リンク|CAT(0)群|en|CAT(0) group}}
* {{仮リンク|数論的群|en|arithmetic group}}
* {{仮リンク|オートマティック群|en|automatic group}}
* {{仮リンク|フックス群|en|Fuchsian group}}、{{仮リンク|クライン群|en|Kleinian group}}、そのほか対称空間に真性不連続に作用する群、特に半単純リー群の[[局所コンパクト群における格子|格子]]
* [[文様群]]
* {{仮リンク|バウムスラグ・ソリター群|en|Baumslag–Solitar group}}
* {{仮リンク|群のグラフの基本群|en|graph of groups}}
* {{仮リンク|グリゴールチャック群|en|Grigorchuk group}}
{{Div col end}}

== 参照 ==

* ピンポン補題（群を自由積で表すのに有用な手法） 
* [[従順群]] 
* ニールセン変換 
* [[ティーツェ変換]]

== 参考文献 ==
{{Reflist|2}}

=== 本とモノグラフ ===
これらのテキストは、幾何学的群論と関連トピックをカバーしている。

* {{Cite book|first=Brian H.|last=Bowditch|author-link=Brian Bowditch|title=A course on geometric group theory|series=MSJ Memoirs|volume=16|publisher=[[Mathematical Society of Japan]]|location=Tokyo|year=2006|isbn=4-931469-35-3}}
* {{Cite book|first=Martin R.|last=Bridson|author-link=Martin Bridson|first2=André|last2=Haefliger|author2-link=André Haefliger|title=Metric spaces of non-positive curvature|series=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]|volume=319|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin|year=1999|isbn=3-540-64324-9|ref=harv}}
* {{Cite book|first=Michel|last=Coornaert|first2=Thomas|last2=Delzant|first3=Athanase|last3=Papadopoulos|title=Géométrie et théorie des groupes : les groupes hyperboliques de Gromov|publisher=Springer-Verlag|series=Lecture Notes in Mathematics|volume=1441|year=1990|isbn=3-540-52977-2|mr=1075994}}
* {{Cite book|first=Michel|last=Coornaert|first2=Athanase|last2=Papadopoulos|title=Symbolic dynamics and hyperbolic groups|publisher=Springer-Verlag|series=Lecture Notes in Mathematics|volume=1539|year=1993|isbn=3-540-56499-3}}
* {{Cite book|first=P.|last=de la Harpe|title=Topics in geometric group theory|series=Chicago Lectures in Mathematics|publisher=University of Chicago Press|year=2000|isbn=0-226-31719-6}}
* {{Cite book|first=Cornelia|last=Druţu|author-link=Cornelia Druțu|first2=Michael|last2=Kapovich|author2-link=Michael Kapovich|title=Geometric Group Theory|series=American Mathematical Society Colloquium Publications|volume=63|publisher=[[American Mathematical Society]]|year=2018|url=https://www.math.ucdavis.edu/~kapovich/EPR/ggt.pdf|isbn=978-1-4704-1104-6|mr=3753580}}
* {{Cite book|first=D.B.A.|last5=Paterson|year=1992|location=|publisher=Jones and Bartlett|title=Word Processing in Groups|last6=Thurston|first6=W.|first5=M.|last=Epstein|last4=Levy|first4=S.|last3=Holt|first3=D.|last2=Cannon|first2=J.W.|isbn=0-86720-244-0}}
* {{Cite book|first=M.|last=Gromov|chapter=Hyperbolic Groups|editor-first=G.M.|editor-last=Gersten|title=Essays in Group Theory|publisher=MSRI|volume=8|location=|year=1987|isbn=0-387-96618-8|pages=75–263}}
* {{Cite book|first=Mikhael|last=Gromov|title=Asymptotic invariants of infinite groups|editor-first=G.A.|editor-last=Niblo|editor2-first=M.A.|editor2-last=Roller|volume=2|url=https://books.google.com/books?id=dH02YAfVqkYC&pg=PP1|date=1993|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-44680-8|pages=1–295}}
* {{Cite book|first=M.|last=Kapovich|title=Hyperbolic Manifolds and Discrete Groups|series=Progress in Mathematics|volume=183|url=https://books.google.com/books?id=YmphheDo18kC|year=2001|publisher=Birkhäuser|isbn=978-0-8176-3904-4}}
* {{Cite book|author-link=Roger Lyndon|first=Roger C.|last=Lyndon|first2=Paul E.|last2=Schupp|title=Combinatorial Group Theory|url=https://books.google.com/books?id=cOLrCAAAQBAJ|origyear=1977|date=2015|publisher=Springer|isbn=978-3-642-61896-3|series=Classics in mathematics}}
* {{Cite book|first=A.Yu.|last=Ol'shanskii|title=Geometry of Defining Relations in Groups|url=https://books.google.com/books?id=uS_pCAAAQBAJ&pg=PP1|date=2012|publisher=Springer|origyear=1991|isbn=978-94-011-3618-1}}
* {{Cite book|first=John|last=Roe|title=Lectures on Coarse Geometry|url=https://books.google.com/books?id=jbsFCAAAQBAJ|year=2003|series=University Lecture Series|volume=31|publisher=American Mathematical Society|isbn=978-0-8218-3332-2}}

== 外部リンク ==

* [http://www.math.ucsb.edu/~mccammon/geogrouptheory/ Jon McCammond's Geometric Group Theory Page]
* [http://www.math.mcgill.ca/wise/ggt/cayley.html ''What is Geometric Group Theory?'' By Daniel Wise]
* [https://web.archive.org/web/20040830075241/http://zebra.sci.ccny.cuny.edu/web/nygtc/problems/ Open Problems in combinatorial and geometric group theory]
* [http://xstructure.inr.ac.ru/x-bin/theme3.py?level=1&index1=-98867 Geometric group theory Theme on arxiv.org]

{{デフォルトソート:きかかくてきくんろん}}
[[Category:群論]]
[[Category:幾何学的群論]]
[[Category:数学に関する記事]]