広義の記数法のソースを表示

この項では基本的な[[位取り記数法]]を除く、負の数や虚数を含む記数法等について述べる。
ここでは仮数とは、その位に記された数のこととし、
底（てい）とは、その位の一つ上の位の値が持つ、その位に対する重みの倍率とする。

== 標準的な記数法 ==
この節では、底が一定で冗長でない記数法について説明する。

書き方は位取り記数法と同じく、底が ''K'' であれば、数
:<math>\cdots+c_2K^2+c_1K^1+c_0K^0+c_{-1}K^{-1}+c_{-2}K^{-2}+\cdots</math>
を
:<math>\cdots c_2c_1c_0c_{-1}c_{-2}\cdots</math>
のように仮数を書き並べることで表記できる。この記法では、''n'' を[[自然数]]とすると
:<math>10^n=1\overbrace{0 \cdots 0}^{n}</math>
が成り立つ。一般的に[[位取り記数法]]と呼ばれるものは、0 から ''N'' &minus; 1 までの ''N'' 個の[[整数]]を仮数にもつ底が ''N'' の表記法のことである。これは任意の 0 以上の実数を無限に近似できるが、その他の数を表記するには[[演算 (数学)|演算子]]が必要となる。

中には底が自然数でないものも考えられている。[[コンピュータ]]では[[二進法]]を用いている場合がほとんどだが、符号の扱いが難しい。そこで、底を &minus;2 とした記法が考えられた。この方法では、0 と 1 を用いてすべての整数を表すことが出来る。その他に複素数を表記するため、&minus;1 + ''i'' を底としたものも考えられている（''i'' は[[虚数単位]]）。これらは[[ドナルド・クヌース]]により考案されたが、演算が複雑なため実際に用いられることは稀である。

=== 自然数を表記するもの ===
仮数が ''N'' 通りであるものの、0 を含まずに 1 から ''N'' までを使用するのが{{定訳なし|en|Bijective numeration|link=Bijective numeration}}である。この表記法で整数の 0 を表そうとすると[[空文字列]]になってしまう。また、途中の桁を 0 にすることはできない。''N''=26 である A, B, ..., Z, AA, AB, ... のような形式が、[[表計算ソフト]]の列名などで用いられている。''N''=1 とすると[[一進法]]となる。

=== 実数を表記するもの ===
仮数が ''N'' 通りであれば、底は ±''N'' となる。

任意の実数を表記できるものとして、次の例が考えられる。
{| class="wikitable"
|-
! rowspan=2 | 名前
! rowspan=2 | 仮数
! rowspan=2 | 底
! colspan=2 | 一桁の演算で繰り上がる確率
! rowspan=2 | 除算
|-
! 加算
! 乗算
|-
| マイナス二進法{{Enlink|Negabinary|3=en}}|| 0, 1 || &minus;2 || 1/4 || 0/4 || 可
|-
| なし[B] || &minus;2, &minus;1, 0, 1 || 4 || 4/16 || 3/16 || 可
|-
| [[平衡三進法]] (balanced ternary) [C] || &minus;1, 0, 1 || 3 || 2/9 || 0/9 || 可
|-
| マイナス三進法{{Enlink|Negatrinary|3=en}} [D] || 0, 1, 2 || &minus;3 || 3/9 || 1/9 || 可
|-
| なし[E] || &minus;3, &minus;1, 0, 1, 3 || 5 || 12/25 || 4/25 || 不可
|}

=== 複素数を表記するもの ===
''i''  は[[虚数単位]]とする。仮数が ''n'' 通りであれば、底の絶対値は<math>\sqrt{n}</math>となる。

任意の複素数を表記できるものとして、次の例が考えられる。
{| class="wikitable"
|-
! rowspan=2 | 名前
! rowspan=2 | 仮数
! rowspan=2 | 底
! colspan=2 | 一桁の演算で繰り上がる確率
! rowspan=2 | 除算
|-
! 加算
! 乗算
|-
| なし || 0, 1 || &minus;1+''i'' || 1/4 || 0/4 || 不可
|-
| なし || 0, 1 || <math>\sqrt{2}\,i</math> || 1/4 || 0/4 || 可
|-
| なし<ref group="*">実数を表記した場合、マイナス二進法と同じ表記となる。</ref>|| 0, 1, <math>\textstyle -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i</math>, <math>\textstyle -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i</math> || &minus;2 || 9/16 || 0/16 || 不可
|-
| なし<ref group="*">実数を表記した場合、平衡三進法と同じ表記となる。</ref>|| &minus;1+''i'', ''i'', 1+''i'', &minus;1, 0, 1, &minus;1&minus;''i'', &minus;''i'', 1&minus;''i'' || 3 || 32/81 || 16/81 || 可
|-
| {{link-en|2i進法|Quater-imaginary base}} || 0, 1, 2, 3 || 2''i'' || 6/16 || 4/16 || 可
|-
| なし || ''i'', &minus;1, 0, 1, &minus;''i'' || 2+''i'' || 12/25 || 0/25 || 不可
|}
'''注釈'''
<references group="*" />

== 冗長な記数法 ==
ここでは、[[小数点]]から上に数えて n番目の位を n-1番位と呼ぶことにする。
例えば二進法では、n番位の重みは 2<sup>n</sup> である。

次に例を挙げる。
* '''冗長二進法''' (redundant binary representation, RB) とは、[[符号付二進法]] (signed-digit, SD) の一種で、 -1, 0, 1 を仮数に持ち、底を 2 とした記数法である。任意の実数はこの表現を無限に持つ。
* '''非隣接形式''' (non-adjacent form, NAF) [F] とは、冗長二進法において隣接する二つの位の少なくとも一方の仮数を 0 としたものであり、符号付二進法の一種である。この記法による表現は任意の整数に対して一つだけ存在する。この表記方法は通常の二進法と比較して、仮数が 0 の位が多く乗法や指数演算の処理速度が速い。応用例としては、[[楕円曲線]]上のスカラー倍算を効率的に計算する方法が知られている。
* '''相互交代形式''' (mutual opposite form, MOF) [G] とは、冗長二進法において、0 を除くと 1 と -1 が交互に並び最上位が 1 で最下位が -1 としたものであり、符号付二進法の一種である。この記法による表現は任意の自然数に対して一つだけ存在する。 2004 年 8 月 23 日に、[[日立製作所]]により発表された<ref>{{Cite web |url=http://www.sdl.hitachi.co.jp/crypto/mof/index-j.html |title=MOF page |date=2004-09-16 |website=日立製作所 システム開発研究所 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20040916192719/http://www.sdl.hitachi.co.jp/crypto/mof/index-j.html |archivedate=2004-09-16 |url-status=dead|url-status-date=2021-12-04}}</ref>。
* 0, 1 を仮数に持ち、底を[[黄金比]] φ とし、隣り合う二つの位の少なくとも一方の仮数を 0 とした記数法 (golden ratio base, [[黄金進法]]) [K] がある。この記法では各位で、11 = 100 および 1 + 1 = 10.01 が成り立つ。また十進法で表記された数<math>\sqrt{5}</math>は、この記法では 10.1 と表記できることにも注意したい。

== 複数の底の混在 ==
{{See also|:en:Mixed radix}}
表記法の内部で底 ''N'' が一定であれば各桁の重みは ''N'' の[[冪乗]]となるが、ここではそれに限定しない表記法を述べる。
* 桁数が制限された二進法の、最上位の一つ下の位の底を -2 とした表記法 [H] による表記は[[2の補数]]表記と一致する。
* [[二五進法]] [I] とは、偶数番位は仮数が 0, 1, 2, 3, 4 で底が 5 、奇数番位は仮数が 0, 1 で底が 2 である記数法である。これは[[十進法]]の一つの位を二つに分割した形となっており、[[そろばん]]ではこれが使用されている。
<!--**類似して、[[情報技術]]分野における、[[十六進法]]の2桁組で1[[8ビット|オクテット]]を表す方法は、256進法の16-16進法表記であるともいえる。--><!--しかし2オクテットが256進2桁の数を表している場合であっても、その[[エンディアン|並び順]]には複数の流儀があり注意が必要である。--><!--
**[[ウェブカラー]]の3桁表記では各桁がオクテットを表しており、各オクテットの値は3桁表記の各桁の数字を11<sub>H</sub>倍して得られる。例えば09Cなら0099CCと等しい。-->
* [[階乗進法]] (factoradic) [J] とは、0番位は仮数が 0 で底が 1 、 1番位は仮数が 0, 1 で底が 2 、 2番位は仮数が 0, 1, 2 で底が 3 、 3番位は仮数が 0, 1, 2, 3 で底が 4 、…とした記数法である。また、この記法の拡張として、 -1番位は仮数が 0, 1 で底が 2 、 -2番位は仮数が 0, 1, 2 で底が 3 、…とした記数法があり、これには任意の[[有理数]]を有限小数で表記できるという特徴がある。なお n番位の重みは、 n≧0 ならば n の[[階乗]]、 n＜0 ならば -n+1 の階乗の逆数となる。
* [[時間]]の表記法の各単位を桁とみなすと、例えば32週5日7時間45分の各桁の重みは、週: 10080 分、日: 1440 分、時間: 60 分と言うことができる。

== 対応表 ==
ここでは -n を<math>\bar{n}</math>と表記する。
他には、[[World Wide Web|WWW]] との適合性のため -n を <span style="text-decoration:underline;">n</span> と書いたり、
<math>\bar{1}</math>を単に T と書く手法もある。
{| class="wikitable" style="text-align:right"
|-
!十進法!![A]!![B]!![C]!![D]!![E]!![F]!![G]!![H]!![I]!![J]!![K]
|-　
| -16 || 110000 || <math>\bar{1}</math>00 || <math>\bar{1}</math>11<math>\bar{1}</math> || 1102 || <math>\bar{3}</math><math>\bar{1}</math> || <math>\bar{1}</math>0000 ||  || 10000 ||  ||  || 
|-
| -15 || 110001 || <math>\bar{1}</math>01 || <math>\bar{1}</math>110 || 1220 || <math>\bar{3}</math>0 || <math>\bar{1}</math>0001 ||  || 10001 ||  ||  || 
|-
| -14 || 110110 || <math>\bar{1}</math>1<math>\bar{2}</math> || <math>\bar{1}</math>111 || 1221 || <math>\bar{3}</math>1 || <math>\bar{1}</math>0010 ||  || 10010 ||  ||  || 
|-
| -13 || 110111 || <math>\bar{1}</math>1<math>\bar{1}</math> || <math>\bar{1}</math><math>\bar{1}</math><math>\bar{1}</math> || 1222 || <math>\bar{1}</math>3<math>\bar{3}</math> || <math>\bar{1}</math>010<math>\bar{1}</math> ||  || 10011 ||  ||  || 
|-
| -12 || 110100 || <math>\bar{1}</math>10 || <math>\bar{1}</math><math>\bar{1}</math>0 || 1210 || <math>\bar{3}</math>3 || <math>\bar{1}</math>0100 ||  || 10100 ||  ||  || 
|-
| -11 || 110101 || <math>\bar{1}</math>11 || <math>\bar{1}</math><math>\bar{1}</math>1 || 1211 || <math>\bar{1}</math>3<math>\bar{1}</math> || <math>\bar{1}</math>0101 ||  || 10101 ||  ||  || 
|-
| -10 || 1010 || <math>\bar{2}</math><math>\bar{2}</math> || <math>\bar{1}</math>0<math>\bar{1}</math> || 1212 || <math>\bar{1}</math>30 || <math>\bar{1}</math>0<math>\bar{1}</math>0 ||  || 10110 ||  ||  || 
|-
| -9 || 1011 || <math>\bar{2}</math><math>\bar{1}</math> || <math>\bar{1}</math>00 || 1200 || <math>\bar{1}</math>31 || <math>\bar{1}</math>00<math>\bar{1}</math> ||  || 10111 ||  ||  || 
|-
| -8 || 1000 || <math>\bar{2}</math>0 || <math>\bar{1}</math>01 || 1201 || <math>\bar{1}</math><math>\bar{3}</math> || <math>\bar{1}</math>000 ||  || 11000 ||  ||  || 
|-
| -7 || 1001 || <math>\bar{2}</math>1 || <math>\bar{1}</math>1<math>\bar{1}</math> || 1202 || <math>\bar{1}</math>33 || <math>\bar{1}</math>001 ||  || 11001 ||  ||  || 
|-
| -6 || 1110 || <math>\bar{1}</math><math>\bar{2}</math> || <math>\bar{1}</math>10 || 20 || <math>\bar{1}</math><math>\bar{1}</math> || <math>\bar{1}</math>010 ||  || 11010 ||  ||  || 
|-
| -5 || 1111 || <math>\bar{1}</math><math>\bar{1}</math> || <math>\bar{1}</math>11 || 21 || <math>\bar{1}</math>0 || <math>\bar{1}</math>0<math>\bar{1}</math> ||  || 11011 ||  ||  || 
|-
| -4 || 1100 || <math>\bar{1}</math>0 || <math>\bar{1}</math><math>\bar{1}</math> || 22 || <math>\bar{1}</math>1 || <math>\bar{1}</math>00 ||  || 11100 ||  ||  || 
|-
| -3 || 1101 || <math>\bar{1}</math>1 || <math>\bar{1}</math>0 || 10 || <math>\bar{3}</math> || <math>\bar{1}</math>01 ||  || 11101 ||  ||  || 
|-
| -2 || 10 || <math>\bar{2}</math> || <math>\bar{1}</math>1 || 11 || <math>\bar{1}</math>3 || <math>\bar{1}</math>0 ||  || 11110 ||  ||  || 
|-
| -1 || 11 || <math>\bar{1}</math> || <math>\bar{1}</math> || 12 || <math>\bar{1}</math> || <math>\bar{1}</math> ||  || 11111 ||  ||  || 
|-
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 ||  || 00000 || 0 || 0 || 0
|-
| 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1<math>\bar{1}</math> || 00001 || 1 || 10 || 1
|-
| 2 || 110 || 1<math>\bar{2}</math> || 1<math>\bar{1}</math> || 2 || 1<math>\bar{3}</math> || 10 || 1<math>\bar{1}</math>0 || 00010 || 2 || 100 || 10.01
|-
| 3 || 111 || 1<math>\bar{1}</math> || 10 || 120 || 3 || 10<math>\bar{1}</math> || 10<math>\bar{1}</math> || 00011 || 3 || 110 || 100.01
|-
| 4 || 100 || 10 || 11 || 121 || 1<math>\bar{1}</math> || 100 || 1<math>\bar{1}</math>00 || 00100 || 4 || 200 || 101.01
|-
| 5 || 101 || 11 || 1<math>\bar{1}</math><math>\bar{1}</math> || 122 || 10 || 101 || 1<math>\bar{1}</math>1<math>\bar{1}</math> || 00101 || 10 || 210 || 1000.1001
|-
| 6 || 11010 || 1<math>\bar{2}</math><math>\bar{2}</math> || 1<math>\bar{1}</math>0 || 110 || 11 || 10<math>\bar{1}</math>0 || 10<math>\bar{1}</math>0 || 00110 || 11 || 1000 || 1010.0001
|-
| 7 || 11011 || 1<math>\bar{2}</math><math>\bar{1}</math> || 1<math>\bar{1}</math>1 || 111 || 1<math>\bar{3}</math><math>\bar{3}</math> || 100<math>\bar{1}</math> || 100<math>\bar{1}</math> || 00111 || 12 || 1010 || 10000.0001
|-
| 8 || 11000 || 1<math>\bar{2}</math>0 || 10<math>\bar{1}</math> || 112 || 13 || 1000 || 1<math>\bar{1}</math>000 || 01000 || 13 || 1100 || 10001.0001
|-
| 9 || 11001 || 1<math>\bar{2}</math>1 || 100 || 100 || 1<math>\bar{3}</math><math>\bar{1}</math> || 1001 || 1<math>\bar{1}</math>01<math>\bar{1}</math> || 01001 || 14 || 1110 || 10010.0101
|-
| 10 || 11110 || 1<math>\bar{1}</math><math>\bar{2}</math> || 101 || 101 || 1<math>\bar{3}</math>0 || 1010 || 1<math>\bar{1}</math>1<math>\bar{1}</math>0 || 01010 || 100 || 1200 || 10100.0101
|-
| 11 || 11111 || 1<math>\bar{1}</math><math>\bar{1}</math> || 11<math>\bar{1}</math> || 102 || 1<math>\bar{3}</math>1 || 10<math>\bar{1}</math>0<math>\bar{1}</math> || 1<math>\bar{1}</math>10<math>\bar{1}</math> || 01011 || 101 || 1210 || 10101.0101
|-
| 12 || 11100 || 1<math>\bar{1}</math>0 || 110 || 220 || 3<math>\bar{3}</math> || 10<math>\bar{1}</math>00 || 10<math>\bar{1}</math>00 || 01100 || 102 || 2000 || 100000.101001
|-
| 13 || 11101 || 1<math>\bar{1}</math>1 || 111 || 221 || 1<math>\bar{3}</math>3 || 10<math>\bar{1}</math>01 || 10<math>\bar{1}</math>1<math>\bar{1}</math> || 01101 || 103 || 2010 || 100010.001001
|-
| 14 || 10010 || 10<math>\bar{2}</math> || 1<math>\bar{1}</math><math>\bar{1}</math><math>\bar{1}</math> || 222 || 3<math>\bar{1}</math> || 100<math>\bar{1}</math>0 || 100<math>\bar{1}</math>0 || 01110 || 104 || 2100 || 100100.001001
|-
| 15 || 10011 || 10<math>\bar{1}</math> || 1<math>\bar{1}</math><math>\bar{1}</math>0 || 210 || 30 || 1000<math>\bar{1}</math> || 1000<math>\bar{1}</math> || 01111 || 110 || 2110 || 100101.001001
|}

== 演算 ==
標準的な記数法の上での、[[加法]]、[[減法]]、[[乗法]]、[[除法]]の[[二項演算|算法]]について説明する。

=== 加法、減法、乗法 ===
加法と乗法については、あらかじめ各仮数同士の計算結果を表にしておき、それを見ながら計算すればよい。
加算時の繰り上がりは上の位にさらに足すことや、二桁以上の乗算については、
<math>10^n=1\overbrace{0\cdots 0}^{n}</math>が成り立つことに注意して計算を実行していく。
減法については表を作ってもよいが、
引く数に -1 を掛けてから引かれる数に足すという方法も考えられる。

例として、底が 4 で仮数に -2, -1, 0, 1 を持つ記数法の、加算と減算と乗算の表を次に示す。
{| style="width:55%"
|
{| class="wikitable" style="text-align:right"
|+'''加算'''
|-
!+!!<math>\bar{2}</math>!!<math>\bar{1}</math>!!0!!1
|-
!<math>\bar{2}</math>
|<math>\bar{1}</math>0||<math>\bar{1}</math>1||<math>\bar{2}</math>||<math>\bar{1}</math>
|-
!<math>\bar{1}</math>
|<math>\bar{1}</math>1||<math>\bar{2}</math>||<math>\bar{1}</math>||0
|-
!0
|<math>\bar{2}</math>||<math>\bar{1}</math>||0||1
|-
!1
|<math>\bar{1}</math>||0||1||1<math>\bar{2}</math>
|}
|
{| class="wikitable" style="text-align:right"
|+'''減算''' (左－上)
|-
!－!!<math>\bar{2}</math>!!<math>\bar{1}</math>!!0!!1
|-
!<math>\bar{2}</math>
|0||<math>\bar{1}</math>||<math>\bar{2}</math>||<math>\bar{1}</math>1
|-
!<math>\bar{1}</math>
|1||0||<math>\bar{1}</math>||<math>\bar{2}</math>
|-
!0
|1<math>\bar{2}</math>||1||0||<math>\bar{1}</math>
|-
!1
|1<math>\bar{1}</math>||1<math>\bar{2}</math>||1||0
|}
|
{| class="wikitable" style="text-align:right"
|+'''乗算'''
|-
!×!!<math>\bar{2}</math>!!<math>\bar{1}</math>!!0!!1
|-
!<math>\bar{2}</math>
|10||1<math>\bar{2}</math>||0||<math>\bar{2}</math>
|-
!<math>\bar{1}</math>
|1<math>\bar{2}</math>||1||0||<math>\bar{1}</math>
|-
!0
|0||0||0||0
|-
!1
|<math>\bar{2}</math>||<math>\bar{1}</math>||0||1
|}
|}

=== 除法 ===
底を K とした K進法の上で R を D で割る手順を説明する。
記数法によって決まる、一桁の商を示す二変数関数 Q<sub>K</sub> が分かっているとし、
十分に大きな整数 n をとり、次の計算を行う。
                           r<sub>n</sub>=R
   c<sub>n</sub>=Q<sub>K</sub>(r<sub>n</sub>  , DK<sup>n</sup> )   r<sub>n-1</sub>=  r<sub>n</sub>-c<sub>n</sub>DK<sup>n</sup>
 c<sub>n-1</sub>=Q<sub>K</sub>(r<sub>n-1</sub>, DK<sup>n-1</sup>)   r<sub>n-2</sub>=r<sub>n-1</sub>-c<sub>n-1</sub>DK<sup>n-1</sup>
 c<sub>n-2</sub>=Q<sub>K</sub>(r<sub>n-2</sub>, DK<sup>n-2</sup>)   r<sub>n-3</sub>=r<sub>n-2</sub>-c<sub>n-2</sub>DK<sup>n-2</sup>
 
 ......
 
   c<sub>0</sub>=Q<sub>K</sub>(r<sub>0</sub>  , D   )    r<sub>-1</sub>=  r<sub>0</sub>-c<sub>0</sub>D
[[Image:Twindragon set.png|thumb|底が -1+i で 0, 1 を仮数に持つ記数法により 0.XXX... の形で表記できる範囲。[[ドラゴン曲線#ツインドラゴン|ツインドラゴン曲線]]と酷似する。]]
商は K進法で c<sub>n</sub>c<sub>n-1</sub>…c<sub>0</sub> となり、
余りは r<sub>-1</sub> となる。
ただし記数法によっては、 0.XXX... の形で表記できる範囲が[[フラクタル]]を描くため
Q<sub>K</sub> が作れなくなり、除算が不可能となる。
またこの操作をさらに続けると、循環小数が商として得られる。

Q(r, d) の例を次に示す。
* 十進法
d≦0 または r＜0 または 10d≦r は禁止で、<br />
0≦r＜d ならば Q(r, d)=0 <br />
d≦r＜2d ならば Q(r, d)=1 <br />
2d≦r＜3d ならば Q(r, d)=2 <br />
......<br />
8d≦r＜9d ならば Q(r, d)=8 <br />
9d≦r＜10d ならば Q(r, d)=9 となる。
* 底が -2 で仮数に 0, 1 を持つ記数法
d=0 または (r＜-2d/3 かつ r＜4d/3) または (-2d/3＜r かつ 4d/3＜r) は禁止で、<br />
d/3＜r≦4d/3 または 4d/3≦r＜d/3 ならば Q(r, d)=1 <br />
-2d/3≦r≦d/3 または d/3≦r≦-2d/3 ならば Q(r, d)=0 となる。
* 平衡三進法
d=0 または (r＜-3d/2 かつ r＜3d/2) または (-3d/2＜r かつ 3d/2＜r) は禁止で、<br />
d/2＜r≦3d/2 または 3d/2≦r＜d/2 ならば Q(r, d)=1 <br />
-d/2≦r≦d/2 または d/2≦r≦-d/2 ならば Q(r, d)=0 <br />
-3d/2≦r＜-d/2 または -d/2＜r≦-3d/2 ならば Q(r, d)=-1 となる。

== 記法の変換方法 ==
標準的な記数法に対しての、数の表記法を変換する方法を説明する。

=== 十進法からの変換（整数部分） ===
余りが仮数に含まれるように底で割っていく方法がある。この方法では下位の仮数から求まる。

例えば十進法で表記された数3620を平衡三進法に変換すると、
 3620 ÷ 3 = 1207 . . . -1
 1207 ÷ 3 =  402 . . .  1
  402 ÷ 3 =  134 . . .  0
  134 ÷ 3 =   45 . . . -1
   45 ÷ 3 =   15 . . .  0
   15 ÷ 3 =    5 . . .  0
    5 ÷ 3 =    2 . . . -1
    2 ÷ 3 =    1 . . . -1
    1 ÷ 3 =    0 . . .  1
から平衡三進法では
1<math>\bar{1}</math><math>\bar{1}</math>00<math>\bar{1}</math>01<math>\bar{1}</math>
と表記できる。

また、基本的には複素数を表記する記数法ではこの変換は難しいが、
底が -1+i で仮数に 0, 1 を持つ記数法では、比較的簡単に計算できる。
ある複素数 x+yi に対して (x, y は整数) 、
: (x + yi) ÷ (-1 + i) = p + qi . . . c
となる整数 p, q と仮数 c を求める。この式を変形すると、
: <math>\frac{-x+y+c}{2}=p\qquad\frac{-x-y+c}{2}=q</math>
の 2 式が得られる。 x+y が奇数なら -x+y, -x-y も奇数なので p, q が整数であることに注意すると、
x+y が奇数のとき c=1 、偶数のとき c=0 がわかる。

=== 十進法からの変換（小数部分） ===
上にある除法の節の Q<sub>K</sub> を利用し、次の計算を行う。
変換前の十進数を R とする。
                 r<sub>0</sub>=R
 c<sub>0</sub>=Q<sub>K</sub>(r<sub>0</sub>, 1)   r<sub>1</sub>=K×(r<sub>0</sub>-c<sub>0</sub>)
 c<sub>1</sub>=Q<sub>K</sub>(r<sub>1</sub>, 1)   r<sub>2</sub>=K×(r<sub>1</sub>-c<sub>1</sub>)
 c<sub>2</sub>=Q<sub>K</sub>(r<sub>2</sub>, 1)   r<sub>3</sub>=K×(r<sub>2</sub>-c<sub>2</sub>)
 ......
これにより、 R は K進法で c<sub>0</sub>.c<sub>1</sub>c<sub>2</sub>c<sub>3</sub>... と表記できる。

=== 十進法への変換（整数部分） ===
上位より仮数を足してから底を掛けていく方法がある。

例えば 0, 1 を仮数に持ち、底を -2 とした記数法で表記された数 1101101 を十進法に変換すると、
   0+1=  1    1×(-2)= -2
  -2+1= -1   -1×(-2)=  2
   2+0=  2    2×(-2)= -4
  -4+1= -3   -3×(-2)=  6
   6+1=  7    7×(-2)=-14
 -14+0=-14  -14×(-2)= 28
  28+1= 29
から十進法では 29 と表記できる。

=== 十進法への変換（有限小数部分） ===
上位より仮数を足してから底を掛けていき、最下位の仮数を足したら、
それに最下位の重みを掛けるという方法がある。

=== 十進法への変換（循環小数部分） ===
次の式を利用して変換できる。
<math>\frac{1}{e}+\frac{1}{e^2}+\frac{1}{e^3}+\cdots =\frac{1}{e-1}</math>
　　　　　(|e|＞1)

=== 位の統合と分割 ===
二つの記数法があるとし、それぞれの底が n, n<sup>k</sup> となっており、
底が n の方で k桁で表される全ての数が、底が n<sup>k</sup> の方では 1桁で表される時、
その対応により、各位を変換するだけで任意の数を変換することができる。
例えば、0, 1 を仮数に持つ底が -2 の記数法 [A] と、
-2, -1, 0, 1 を仮数に持つ底が 4 の記数法 [B] は、
10 と<math>\bar{2}</math> 、11と<math>\bar{1}</math> 、00 と 0 、01 と 1 が対応しているので、
例えば [A] で表記された 100011011 の二つの位を一つに統合すると、
101<math>\bar{2}</math><math>\bar{1}</math> となり [B] での表記が得られる。

== 詳しい定義 ==
各用語の詳しい定義を紹介する。

0 を含む連続した[[整数]]の集合 z をとり、その元を'''位'''(あるいは桁)と呼ぶ。
特定の位をさしたいときには、0番位や 1番位と単位をつけることにする。
そして、任意の n∈z に対して空でない[[実数]]の有限集合 m<sub>n</sub> をとり、
その元を n番位の'''仮数'''と呼ぶ。そして、任意の n∈z に対して実数 K<sub>n</sub> を定め、
この K<sub>n</sub> を n番位の'''重み'''(あるいは意味)と呼び、
K<sub>n+1</sub>/K<sub>n</sub> を n番位の'''底'''(あるいは[[基数]])と呼ぶ。
これらをもとに数を表す方法を'''記数法'''(あるいは[[位取り記数法]])という
( m<sub>n</sub> の元や K<sub>n</sub> は[[複素数]]でもよい)。
この z, m<sub>n</sub>, K<sub>n</sub> による記数法を'''K進法'''(あるいは K進記数法)とする。

集合
M<sub>K</sub>={<math>\sum_{n\in z}C_nK_n</math>|C<sub>i</sub>∈m<sub>i</sub>, i∈z}
をとったとき、任意の ε＞0 に対して |X-Y|＜ε となる Y∈M<sub>K</sub> が存在することを、
K進法で X を'''表記できる'''という。

ε を 0 に近づけたときの、 M<sub>K</sub> の元の[[極限]]
<math>\sum_{n\in z}C_nK_n</math>を X の '''K進展開''' と呼び、これを
...C<sub>2</sub>C<sub>1</sub>C<sub>0</sub>.C<sub>-1</sub>C<sub>-2</sub>...
と書いたものを X の '''K進表記'''(あるいは X の K進表現、あるいは X を意味する K進数)と呼ぶ。
このとき、0番位以外で仮数が 0 の位が無限に続く部分は省略するが、
省略されずに残った位の個数を'''桁数'''と呼ぶ(助数詞は桁)。

ある記数法において、ある（あるいは、全ての）整数について<ref>実数の場合、1.0 = 0.999... であるように、記数法ではなく数そのものの性質に由来する、表記の冗長性がある。</ref>表記法が複数あるような場合を、'''冗長'''であるという。

== 関連項目 ==
* [[位取り記数法]]
* [[p進数]]
* [[命数法]]

==注・参考文献==
<references/>
* 伊東規之『マイクロコンピュータの基礎』日本理工出版会 ISBN 9784890194322

[[Category:数の表現|こうきのきすうほう]]
[[Category:数学に関する記事|こうきのきすうほう]]
[[Category:広義の記数法|*]]