床関数と天井関数のソースを表示

{{Otheruses|数学関数|プログラミング言語の関数|端数処理}}
{{出典の明記|date=2016-11}}
[[画像:Floor function.svg|thumb|床関数]]
[[画像:Ceiling function.svg|thumb|天井関数]]
'''床関数'''（ゆかかんすう、{{lang-en-short|floor function}}）と'''天井関数'''（てんじょうかんすう、{{lang-en-short|ceiling function}}）は、[[実数]]に対してそれぞれ、自身以下の最大、自身以上の最小の[[整数]]を出力する[[関数 (数学)|関数]]である。

英語の {{lang|en|floor}}, {{lang|en|ceiling}} といった名称と、<math>\lfloor x \rfloor</math>, <math>\lceil x \rceil</math> という記法は、プログラミング言語 [[APL]] の元となる ''A Programming Language'' という本の中で[[ケネス・アイバーソン]]によって[[1962年]]に導入された<ref>{{Harvnb|Iverson|1962}}</ref>。

床関数と天井関数の間には
:<math>\lceil x \rceil = - \lfloor -x \rfloor</math>
の関係があるため、どちらで表しても本質的には同様となる。

== 床関数 ==
'''床関数'''は、[[実数]] {{mvar|x}} に対して {{mvar|x}} 以下の最大の[[整数]]と定義され、
* <math>\lfloor x \rfloor</math>
* <math>\operatorname{floor}(x)</math>
* <math>[x]</math>
などと書かれる。3番目の[[記号]]は'''ガウス記号'''と呼ばれる。[[カール・フリードリヒ・ガウス]]が7つの証明を示した[[平方剰余の相互法則]]の3番目の証明に用いた（1808年）ことに由来する<ref>{{Harvnb|ガウス|2012|pp=13-19}}</ref><ref>{{Harvnb|Gauss|1808|pp=5-8}}</ref>。日本、中国、ドイツなどでよく使われている。日本の高校数学や大学入試ではガウス記号が使われることがほとんどである。

床関数の定義を数式で表すと次のようになる：
:<math>\lfloor x \rfloor:= \max \{ n \in \mathbb{Z} \mid n\le x\}.</math>
実数 {{mvar|x}} に対し、<math>\lfloor x \rfloor</math> を'''整数部分'''、<math>x - \lfloor x \rfloor</math> を'''[[小数]]部分'''と呼ぶ。整数部分は整数、小数部分は 0 以上 1 未満である。小数部分は {{math2|''x'' mod 1}} や {{math|{{mset|''x''}}}} とも書かれる。例えば、入力値が0以上や整数なら以下のようになる：

{{mvar|n}} を任意の整数とすると、
*<math>\lfloor n \rfloor = n,\;\{ n \}=0</math>
*<math>\lfloor 1.7 \rfloor = 1,\;\{ 1.7 \} = 0.7</math>
*<math>\left\lfloor \frac{4}{3} \right\rfloor = 1,\;\left\{ \frac{4}{3} \right\} = \frac{1}{3}</math>
*<math>\lfloor \sqrt{3} \rfloor = \lfloor 1.732\cdots \rfloor = 1,\;\{ \sqrt{3} \} = \sqrt{3} -1 = 0.732\cdots</math>
*<math>\lfloor \pi \rfloor = \lfloor 3.14\cdots \rfloor = 3,\;\{ \pi \} = \pi -3 = 0.14\cdots</math>
*<math>\lfloor e \rfloor = \lfloor 2.71\cdots \rfloor = 2,\;\{e\} = e-2 = 0.71\cdots</math>
（{{π}} は[[円周率]]、{{mvar|e}} は[[ネイピア数]]）

なお、<u>入力値が負非整数の場合は、整数部分・小数部分は小数表示のそれぞれ小数点以上・以下の部分とならない</u>ことに注意する必要がある：
*<math>\lfloor -1.7 \rfloor = -2,\;\{ -1.7 \} = 0.3</math>（<math>\lfloor -1.7 \rfloor</math> は&minus;1, <math>\{ -1.7 \}</math> は0.7ではない）
*<math>\left\lfloor -\frac{4}{3} \right\rfloor = -2,\;\left\{ -\frac{4}{3} \right\} = \frac{2}{3}</math>
*<math>\lfloor -\sqrt{3} \rfloor = \lfloor -1.732\cdots \rfloor = -2,\;\{ -\sqrt{3} \} = 2- \sqrt{3} = 0.267\cdots</math>
*<math>\lfloor -\pi \rfloor = \lfloor -3.14\cdots \rfloor = -4,\;\{ -\pi \} = 4- \pi = 0.85\cdots</math>
{{math|−1.2}} の整数部分を {{math|−1}} と定義する流儀（「[[端数処理|0への丸め]]」）もあるが一般的ではない。

正の[[有理数]]の[[分数#帯分数|帯分数]]表示は、この整数部分と小数部分（[[分数#真分数と仮分数|真分数]]）の和分解への表示である。

== 天井関数 ==
床関数と密接に関係しているのが'''天井関数'''である。天井関数は実数 {{mvar|x}} に対して {{mvar|x}} 以上の最小の整数と定義され、
*<math>\lceil x \rceil</math>
*<math>\operatorname{ceil} (x)</math>
*<math>\operatorname{ceiling} (x)</math>
などと書かれる。これを数式で表すと次のようになる：
:<math>\lceil x \rceil := \min \{n \in \mathbb{Z} \mid x \le n \}.</math>
例えば、以下のようになる。

{{mvar|n}} を任意の整数とすると、
*<math>\lceil n \rceil = n</math>
*<math>\lceil 1.7 \rceil = 2</math>
*<math>\lceil \sqrt{3} \rceil = \lceil 1.732\cdots \rceil = 2</math>
*<math>\lceil -\pi \rceil = \lceil -3.14\cdots \rceil = -3</math>

== 床関数と天井関数の性質 ==
=== 基本的性質 ===
以下 {{mvar|x}} は任意の実数とする。
*<math>\lfloor x \rfloor</math> は[[整数]]
*<math>\lfloor x \rfloor \le x < \lfloor x \rfloor + 1</math>
であるが、上記2つが床関数を[[特徴づけ (数学)|特徴付ける]]。

同様に、天井関数は
*<math>\lceil x \rceil</math> は整数
*<math>\lceil x \rceil -1< x \le \lceil x \rceil</math>
によって特徴付けられる。

床関数と天井関数の関係は、{{mvar|x}} が整数、非整数であるかによってそれぞれ
*<math>\lceil x \rceil - \lfloor x \rfloor</math> は 0 か 1
となる。床関数と天井関数の基本不等式を併せると
*<math>\lceil x \rceil - 1 \le \lfloor x\rfloor \le x \le \lceil x \rceil \le \lfloor x \rfloor + 1</math>
*任意の整数 {{mvar|n}} に対し、
*:<math>\lfloor n+x \rfloor = n + \lfloor x\rfloor</math>
*:<math>\lceil n+x \rceil = n + \lceil x\rceil</math>

床関数と天井関数は互いに他方を表せる：
*<math>\lceil x \rceil = - \lfloor - x \rfloor</math>
*<math>\lfloor x \rfloor = - \lceil - x \rceil</math>
*床関数・天井関数は[[冪等]]である：
*:<math>\lfloor\lfloor x \rfloor\rfloor = \lfloor x \rfloor</math>
*:<math>\lceil\lceil x \rceil\rceil = \lceil x \rceil</math>
*任意の整数 {{mvar|n}} に対し、
*:<math>\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor + \left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil = n</math>.

=== 解析的性質 ===
* 床関数と天井関数は[[単調写像#広義と狭義|広義増加]]である：
*:<math>x_1 < x_2 \Rightarrow \lfloor x_1 \rfloor \le \lfloor x_2 \rfloor</math>
*:<math>x_1 < x_2 \Rightarrow \lceil x_1 \rceil \le \lceil x_2 \rceil</math>
床関数・天井関数は、[[区分的]]に[[定数関数]]であり、整数点（すなわち、整数となる {{mvar|x}}）で[[連続写像|不連続]]であるが[[半連続]]（床関数は上半連続、天井関数は下半連続）である。床関数・天井関数の非整数点での[[微分#微分係数|微分係数]]が存在し、{{math|0}} である。
* {{mvar|x}} が整数でないとき、床関数と天井関数は次のように[[フーリエ級数]]展開できる：
:<math>\lfloor x\rfloor = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(2 \pi kx)}{k}.</math>
:<math>\lceil x\rceil = x + \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(2 \pi kx)}{k}.</math>
* 同様に {{mvar|x}} が整数でないとき、[[逆三角関数|逆余接関数]]と[[三角関数|余接関数]]を用いて次のように表せる：
:<math>\lfloor x\rfloor = x- \frac{1}{\pi} \arccot \bigl( \cot(\pi x) \bigr).</math>
:<math>\lceil x\rceil = x + \frac{1}{\pi} \arccot \bigl( \cot (-\pi x) \bigr).</math>
*床関数と天井関数の平均は次のようにフーリエ級数展開できる：
*:<math>\frac{1}{2} \left( \lfloor x\rfloor + \lceil x\rceil \right) = x + \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(2 \pi kx)}{k}.</math>

=== 床関数の性質 ===
*{{mvar|x}} が整数、{{mvar|''n''}} が[[正の数と負の数|正]]の整数のとき、次の式が成り立つ。
*:<math>\left\lfloor \frac{x}{n} \right\rfloor \geq \frac{x}{n} - \frac{n-1}{n}.</math>
*{{mvar|n}} が整数のとき、{{math2|''n'' ≤ ''x''}} と <math>n \le \lfloor x \rfloor</math> は同値である。意匠を凝らした言い方では、床関数は[[ガロア接続]]の片翼を担っており、整数を実数へ埋め込む関数の上随伴である。
*床関数を用いると、いくつかの[[素数]]生成式を作ることができる（ただしこれらは実際の計算には役立たない）。1つの例として、{{mvar|n}}番目の素数 {{mvar|p{{sub|n}}}} は
:<math>p_n = 1 + \textstyle\sum\limits_{j=1}^{2^n} \left\lfloor \sqrt[n]{\dfrac{n}{\sum\limits_{i=1}^j \left\lfloor \cos^2 \frac{(i-1)!+1}{i} \pi \right\rfloor}} \right\rfloor.</math>
*エルミートの恒等式 (Hermite’s identity)：実数 {{mvar|a}}, 正の整数 {{mvar|n}} に対し、
*:<math>\lfloor na \rfloor = \textstyle\sum\limits_{i=0}^{n-1} \left\lfloor a+ \dfrac{i}{n} \right\rfloor .</math>
*[[互いに素 (整数論)|互いに素]]である正の整数 {{math2|''m'', ''n''}} に対し、次の式が成り立つ<ref>[https://inupri.web.fc2.com/seisuu/gauss_2.pdf 整数問題としての{{Nowiki|[ガウス記号]}} (2) (2015.8.25)] 犬プリ（赤阪正純）</ref>：
*:<math>\textstyle\sum\limits_{i=1}^{n-1} \left\lfloor \dfrac{im}{n} \right\rfloor = \dfrac{(m-1)(n-1)}{2}.</math>
*[[自然数]] {{mvar|n}} に対し、{{mvar|n}} の 1 以外の正の[[約数]]の個数を {{mvar|a{{sub|n}}}} とすると、
*:<math>\textstyle\sum\limits_{\scriptstyle i+j=n+1 \atop \scriptstyle i,j \geq 1} \left\lfloor \dfrac{i}{j} \right\rfloor = \textstyle\sum\limits_{k=2}^{n+1} a_k</math>（{{OEIS|id=A002541}}）
*[[レイリーの定理]]は、1 より大きい[[無理数]]が、床関数を用いて自然数の集合を2つに分ける方法を表している。
*[[ワイソフのゲーム]]（2山の片方からまたは、両方から同数ずつ取る石取りゲーム）の後手必勝形は
*:<math>( \lfloor n \varphi \rfloor , \lfloor n \varphi^2 \rfloor )</math>（{{mvar|n}} は 0 以上の整数、{{mvar|φ}} は[[黄金比]]）
*正の整数 {{mvar|k}} を [[位取り記数法|{{mvar|n}}進法]]で表すと、<math>\lfloor \log_n k \rfloor + 1</math> 桁となる。
*[[ルジャンドルの公式]]：自然数 {{mvar|n}} の[[階乗]]が素数 {{mvar|p}} で（整数の範囲で）割り切れる回数は <math>\textstyle\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \log_p n \rfloor} \left\lfloor \dfrac{n}{p^i} \right\rfloor</math>
*[[正多角形|正{{mvar|n}}角形]]（{{mvar|n}} は3以上の自然数）の[[対角線]]の長さの種類は <math>\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor -1 \Bigl( {=} \; \frac{2n-5+(-1)^n}{4} \Bigr)</math> だけある。

== 四捨五入の床関数表示など ==
実数 {{math2|''x'' ≥ 0}} に[[制限 (数学)|制限]]すると、床関数・天井関数とは小数第1位での[[端数処理|切り捨て・切り上げ]]である。これを利用して、[[位取り記数法]]表示での任意の位での切り捨てや[[端数処理#四捨五入|四捨五入]]を床関数で表すことができる。

*実数 {{mvar|x}} の小数点以下を四捨五入した値は、次の式で表される：
*:<math>\lfloor x+0.5 \rfloor \quad (x \ge 0)</math>
*:<math>\lceil x-0.5 \rceil \quad (x \le 0)</math>

以下[[十進法]]表示とする。実数 {{math2|''x'' ≥ 0}} に対して、
*{{math|10{{sup|''n''}}}}の位での切り捨ては
*:<math>10^{n+1} \left\lfloor \frac{x}{10^{n+1}} \right\rfloor</math>
*小数第{{mvar|n}}位での切り捨ては
*:<math>\frac{1}{10^{n-1}} \lfloor 10^{n-1} x \rfloor</math>
*{{math|10{{sup|''n''}}}}の位での四捨五入は
*:<math>10^{n+1} \left\lfloor \frac{x}{10^{n+1}} +0.5 \right\rfloor</math>
*小数第{{mvar|n}}位での四捨五入は
*:<math>\frac{1}{10^{n-1}} \lfloor 10^{n-1} x +0.5 \rfloor</math>

== 組版 ==
床関数は <math>\lfloor x \rfloor</math>、天井関数は<math>\lceil x \rceil</math> と上下の欠けた角括弧で表される。これらは、[[LaTeX|{{LaTeX}}]] では <code>\lfloor</code>, <code>\rfloor</code>, <code>\lceil</code>, <code>\rceil</code> と書かれる。{{lang|en|Unicode}} では <code>U+2308</code> から <code>U+230B</code> に割り当てられている。
{|class="wikitable" style="text-align:center;lang:en;xml:lang="
|-lang="ja" xml:lang="ja"
!記号!![[Unicode]]!![[JIS X 0213]]!![[文字参照]]!!名称
{{CharCode|8968|2308|-|LEFT CEILING|lceil}}
{{CharCode|8969|2309|-|RIGHT CEILING|rceil}}
{{CharCode|8970|230A|-|LEFT FLOOR|lfloor}}
{{CharCode|8971|230B|-|RIGHT FLOOR|rfloor}}
|}

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
*{{Citation |last=Iverson |first=Kenneth E. |authorlink=ケネス・アイバーソン |title=A Programming Language |language=English |publisher=Wiley |year=1962 |isbn=0-471-43014-5 |oclc=523128}}
*{{Citation |last=Gauss |first=Carl Friedrich |authorlink=カール・フリードリヒ・ガウス |title=Theorematis arithmetici demonstratio nova |publisher=Commentations societatis regiae scientiarum Gottingensis |volume=16 |pages=5-8 |language=Latin |year=1808 |url=https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN23599524X?tify=%7B%22pages%22:%5B9%5D%7D}}
*{{Cite book|和書 |author=[[カール・フリードリヒ・ガウス|J.C.F.ガウス]] |translator=[[高瀬正仁]] |title=ガウス 数論論文集 |series=ちくま学芸文庫 |publisher=[[筑摩書房]] |date=2012-07-10 |isbn=978-4-480-09474-2 |ref={{Harvid|ガウス|2012}}}}

== 外部リンク ==
*{{高校数学の美しい物語|907|ガウス記号の定義と３つの性質}}
*{{Kotobank|階段関数|2=ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典}}
*{{MathWorld|title=Floor Function|urlname=FloorFunction}}
*{{MathWorld|title=Ceiling Function|urlname=CeilingFunction}}

{{DEFAULTSORT:ゆかかんすう}}
[[Category:特殊関数]]
[[Category:数学に関する記事]]