座標法のソースを表示

{{出典の明記|date=2017年12月}}
{{Expand English|Shoelace formula|date=2024年5月}}
'''座標法'''（ざひょうほう）とは、平面において[[多角形]]の頂点座標によってその[[面積]]を求める数学的[[アルゴリズム]]。[[測量]]における用語の一つ。
靴紐公式、靴紐の方法、靴紐のアルゴリズム、ガウスの面積公式とも呼ばれる。

[[三辺法]]や[[三斜法]]に比べ、基本的に座標値を直接用いた[[四則演算]]のみで面積が求められるため、[[計算機]]上での求積に適しており、また余計な[[誤差]]が入り込む余地が少ないといえる。[[測量法]]に基づいて、[[公共測量]]を実施する際に測量計画機関が作成する作業規程の[[規範]]となる「作業規程の準則」（[[2008年|平成20年]][[国土交通省]][[告示]]第413号）では、原則として面積の計算に座標法を使用することを規定している。

== 概要 ==
n個の頂点 (x<sub>1</sub>,y<sub>1</sub>),(x<sub>2</sub>,y<sub>2</sub>),...,(x<sub>n</sub>,y<sub>n</sub>) から成る自己交差を持たない多角形の面積は
:<math>
\begin{align}
S&=\frac{1}{2}\left|\sum_{k=1}^{n}(x_{k}y_{k+1}-x_{k+1}y_{k})\right|\\
&=\frac{1}{2}\left|\sum_{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k+1})(y_{k}+y_{k+1})\right|\\
&=\frac{1}{2}\left|\sum_{k=1}^{n}x_k(y_{k+1}-y_{k-1})\right|\\
&=\frac{1}{2}\left|\sum_{k=1}^{n}y_k(x_{k-1}-x_{k+1})\right|
\end{align}
</math>
ただし x<sub>0</sub>=x<sub>n</sub>,y<sub>0</sub>=y<sub>n</sub>,x<sub>n+1</sub>=x<sub>1</sub>,y<sub>n+1</sub>=y<sub>1</sub>とする。

頂点の順序付けが反時計回りである場合、総和の結果は正であり、絶対値を省略することが出来る。時計回りである場合、総和の結果は負となる。

この式は[[グリーンの定理]]の特別な場合とみなすことが出来る。a≦t≦bで媒介変数表示された単一閉曲線(x(t),y(t))で囲まれる領域の面積は

:<math>S=\frac{1}{2}\left|\int_{a}^{b}\left(x(t)y'(t)-x'(t)y(t)\right)\,dt\right|</math>

==例==
*三角形の面積 <math>\tfrac{1}{2}\left|x_1y_2-x_2y_1+x_2y_3-x_3y_2+x_3y_1-x_1y_3\right|</math>
*四角形の面積 <math>\tfrac{1}{2}\left|x_1y_2-x_2y_1+x_2y_3-x_3y_2+x_3y_4-x_4y_3+x_4y_1-x_1y_4\right|</math>
*五角形の面積 <math>\tfrac{1}{2}\left|x_1y_2-x_2y_1+x_2y_3-x_3y_2+x_3y_4-x_4y_3+x_4y_5-x_5y_4+x_5y_1-x_1y_5\right|</math>

== 関連項目 ==
{{ウィキプロジェクトリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg|34px|ウィキプロジェクト 数学]]}}
* [[三辺法]]
* [[三斜法]]
* [[平面直角座標系]]
* [[グリーンの定理]]
* [[プラニメータ]]

{{DEFAULTSORT:さひようほう}}
[[Category:測量]]
[[Category:面積]]
[[Category:多角形]]
[[Category:アルゴリズム]]