弦の場の理論のソースを表示

{{Wikify|date=2023-01}}
{{要改訳}}
'''弦の場の理論'''（げんのばのりろん、[[英語]]: {{lang|en|String Field Theory}}）とは、[[特殊相対論|相対論]]的な弦の[[力学]]が[[場の量子論]]の言葉で再定式化されるような[[弦理論]]の定式化である。弦の[[散乱振幅]]を弦の結合と分岐の頂点、及び[[プロパゲーター]](propagator)を見つけることにより、この定式化は[[摂動|摂動論]]のレベルで完成している。これにより[[ファインマン・ダイアグラム]]の様な振幅が与えられる。大半の弦理論ではこの振幅は、[[弦理論|自由弦]]と加えられた[[相互作用]]項を[[第二量子化]]することにより得られる[[作用 (物理学)|古典的作用]]により[[エンコード]]されている。通常の（場の理論の）[[第二量子化]]の場合と同様に、その定式化の[[場の理論|古典場]]の構成は、元々の理論の[[波動函数|波動関数]]により与えられる。このことは、弦の場の理論の場合も '''弦の場''' と呼ばれる古典的構成が、自由弦の作る[[フォック空間]]の元で与えられることを意味する。
<!---{{String theory|cTopic=Theory}}-->
<!---'''String field theory''' (SFT) is a formalism in [[string theory]] in which the dynamics of [[special relativity|relativistic]] strings is reformulated in the language of [[quantum field theory]].  This is accomplished at the level of [[perturbation theory (quantum mechanics)|perturbation theory]] by finding a collection of vertices for joining and splitting strings, as well as string [[propagator]]s, that give a [[Feynman diagram]]-like expansion for string scattering amplitudes.  In most string field theories, this expansion is encoded by a [[Action (physics)|classical action]] found by [[second-quantized|second-quantizing]] the free string and adding interaction terms.  As is usually the case in second quantization, a [[classical field]] configuration of the second-quantized theory is given by a wave function in the original theory.  In the case of string field theory, this implies that a classical configuration, usually called the '''string field''', is given by an element of the free string [[Fock space]].-->

定式化の主要な有利点は、[[オンシェルとオフシェル|オフシェル]](off-shell)の[[波動関数#確率振幅|確率振幅]]の計算が可能なことであり、古典的作用が有効なときには、弦の散乱の標準的な種数による方法からは、直接見ることのできない非摂動的な情報をもたらすことである。特に、{{仮リンク|アショク・セン|en|Ashoke Sen}}(Ashoke Sen)の研究 <ref>A. Sen, "Universality of the tachyon potential", JHEP 9912:027, (1999)</ref>に従うと、不安定な[[Dブレーン]](D-brane)上の{{仮リンク|タキオン凝縮|en|tachyon condensation}}(tachyon condensation)の研究に役立つ。弦の場の理論は、
:*[[位相的弦理論]]や<ref>E. Witten, "Chern-Simons gauge theory as a string theory", Prog. Math. ''' 133''' 637, (1995)</ref>
:*[[非可換幾何学]]や<ref>E. Witten, "Noncommutative tachyons and string field theory", hep-th/0006071</ref>
:*低次元の弦理論<ref>D. Gaiotto and L. Rastelli, "A Paradigm of open/closed duality: Liouville D-branes and the Kontsevich model", JHEP 0507:053, (2005)</ref>

にも応用出来る。
<!---The principal advantages of the formalism are that it allows the computation of [[off-shell]] [[probability amplitude|amplitudes]] and, when a classical action is available, gives non-perturbative information that cannot be seen directly from the standard genus expansion of string scattering.  In particular, following the work of [[Ashoke Sen]],<ref>A. Sen, "Universality of the tachyon potential", JHEP 9912:027, (1999)</ref> it has been useful in the study of [[tachyon condensation]] on unstable [[D-branes]]. It has also had applications to [[topological string theory]],<ref>E. Witten, "Chern-Simons gauge theory as a string theory", Prog. Math. ''' 133''' 637, (1995)</ref> non-commutative geometry,<ref>E. Witten, "Noncommutative tachyons and string field theory", hep-th/0006071</ref> and strings in low dimensions.<ref>D. Gaiotto and L. Rastelli, "A Paradigm of open/closed duality: Liouville D-branes and the Kontsevich model", JHEP 0507:053, (2005)</ref>-->



弦の場の理論は、第二[[量子化 (物理学)|量子化]]される弦のタイプによって多くの多様性を持っている。'''開弦の場の理論''' は開弦の振幅を記述し、'''閉弦の場の理論''' は閉弦の場の理論を記述し、'''開閉弦の場の理論''' 開弦と閉弦の双方の場の理論を意味する。
<!---String field theories come in a number of varieties depending on which type of string is second quantized:  ''Open string field theories'' describe the scattering of open strings, ''closed string field theories'' describe closed strings, while ''open-closed string field theories'' include both open and closed strings.-->

加えて、元々の自由弦の理論でワールドシートの[[微分同相|微分同相写像]]と[[共形変換]]をどのように固定するかに依存して、結果として現れる弦の場の理論は、非常に異なったものとなりうる。{{仮リンク|光円錐ゲージ理論|en|light cone gauge}}(light cone gauge)を使うと、'''光円錐ゲージの弦の場の理論''' を得る。一方、{{仮リンク|BRST量子化|en|BRST quantization}}(BRST quantization)を使うと '''共変な弦の場の理論''' を得る。これらをハイブリッドにした弦の場の理論もあり、'''共変光円錐ゲージの弦の場の理論''' と呼ばれ、光錐ゲージ固定とBRSTゲージ固定を行う弦の場の理論を使う。<ref>H. Hata, K. Itoh, T. Kugo, H. Kunitomo, and K. Ogawa, "Manifestly Covariant Field Theory of Interacting String."  Phys.Lett. ''' B172''' (1986) 186.</ref>

弦の場の理論の最終的な形は、'''背景独立な開弦の場の理論''' と呼ばれ、全く別の形態を取る。ワールドシートの弦理論を第二量子化することに替わり、2-次元の場の量子論の空間を第二量子化する。<ref>E. Witten, "On background independent open string field theory." Phys.Rev.''' D46''' (1992) 5467.</ref>
<!---In addition, depending on the method used to fix the worldsheet [[diffeomorphisms]] and [[conformal transformation]]s in the original free string theory, the resulting string field theories can be very different.  Using [[light cone gauge]], yields ''light-cone string field theories'' whereas using [[BRST quantization]], one finds ''covariant string field theories''.  There are also hybrid string field theories, known as ''covariantized light-cone string field theories'' which use elements of both light-cone and BRST gauge-fixed string field theories.<ref>H. Hata, K. Itoh, T. Kugo, H. Kunitomo, and K. Ogawa, "Manifestly Covariant Field Theory of Interacting String."  Phys.Lett. ''' B172''' (1986) 186.</ref>

A final form of string field theory, known as ''background independent open string field theory'', takes a very different form; instead of second quantizing the worldsheet string theory, it second quantizes the space of two-dimensional quantum field theories.<ref>E. Witten, "On background independent open string field theory." Phys.Rev.''' D46''' (1992) 5467.</ref>-->

== 光錐の弦の場の理論 ==
光錐の弦の場の理論は{{仮リンク|スタンレイ・マンデルスタム|en|Stanley Mandelstam}}(Stanley Mandelstam)により導入され、<ref>S. Mandelstam, "Interacting String Picture of The Dual Resonance Models," Nucl. Phys. '''B64 ''', 205 (1973); S. Mandelstam, "Interacting String Picture of The Neveu-Schwarz-Ramond Model," Nucl. Phys. '''B69 ''', 77 (1974);</ref>マンデルスタムや[[マイケル・グリーン (物理学者)|マイケル・グリーン]](Michael Green)や[[ジョン・シュワルツ]](John Schwarz)やラース・ブリンク(Lars Brink)により開発された。<ref>
M. B. Green and J. H. Schwarz, “Supersymmetrical Dual String Theory. 2. Vertices
And Trees,” Nucl. Phys.  '''B198''', 252 (1982); <BR>
  M. B. Green and J. H. Schwarz, "Superstring Interactions," Nucl. Phys. '''B218 ''', 43 (1983); <BR>
M. B. Green, J. H. Schwarz and L. Brink, “Superfield Theory Of Type II Superstrings,”
Nucl. Phys. B 219, 437 (1983); <BR>
M. B. Green and J. H. Schwarz, “Superstring Field Theory,” Nucl. Phys. '''B243''' , 475
(1984);<BR>
S. Mandelstam, "Interacting String Picture Of The Fermionic String," Prog. Theor. Phys. Suppl. ''' 86 ''', 163 (1986); 
</ref> 光錐の弦の第二量子化の明らかな記述は、[[ミチオ・カク]](Michio Kaku)と{{仮リンク|吉川・圭二|en|Keiji Kikkawa}}(Keiji Kikkawa)により与えられた。<ref>Michio Kaku and K. Kikkawa, "Field theory of relativistic strings. I. Trees", Phys. '''Rev. D10''', 1110 (1974); <BR>
Michio Kaku and K. Kikkawa, "The Field Theory of Relativistic Strings. 2. Loops and Pomerons", Phys.Rev. '''D10''',1823,(1974).
</ref><ref>ミチオ・カク, "超弦理論とM理論", Springer-verlag Tokyo; ISBN 4-431-70867-7,(2000)</ref>
<!---Light-cone string field theories were introduced by [[Stanley Mandelstam]]<ref>S. Mandelstam, "Interacting String Picture of The Dual Resonance Models," Nucl. Phys. '''B64 ''', 205 (1973); S. Mandelstam, "Interacting String Picture of The Neveu-Schwarz-Ramond Model," Nucl. Phys. '''B69 ''', 77 (1974);</ref>
and developed by Mandelstam, [[Michael Green (physicist)|Michael Green]], [[John Henry Schwarz|John Schwarz]] and Lars Brink.<ref>
M. B. Green and J. H. Schwarz, “Supersymmetrical Dual String Theory. 2. Vertices
And Trees,” Nucl. Phys.  '''B198''', 252 (1982); <BR>
  M. B. Green and J. H. Schwarz, "Superstring Interactions," Nucl. Phys. '''B218 ''', 43 (1983); <BR>
M. B. Green, J. H. Schwarz and L. Brink, “Superfield Theory Of Type II Superstrings,”
Nucl. Phys. B 219, 437 (1983); <BR>
M. B. Green and J. H. Schwarz, “Superstring Field Theory,” Nucl. Phys. '''B243''' , 475
(1984);<BR>
S. Mandelstam, "Interacting String Picture Of The Fermionic String," Prog. Theor. Phys. Suppl. ''' 86 ''', 163 (1986); 
</ref>  An explicit description of the second-quantization of the light-cone string was given by [[Michio Kaku]] and [[Keiji Kikkawa]].<ref>Michio Kaku and K. Kikkawa, "Field theory of relativistic strings. I. Trees", Phys. '''Rev. D10''', 1110 (1974); <BR>
Michio Kaku and K. Kikkawa, "The Field Theory of Relativistic Strings. 2. Loops and Pomerons", Phys.Rev. '''D10''',1823,(1974).
</ref>-->

光錐の弦の場の理論は構成された最初の弦の場の理論であり、光錐ゲージの弦の散乱の単純さを基礎としている。例えば、{{仮リンク|ボゾン弦の理論|en|bosonic string theory|label=ボゾン閉弦}}(bosonic closed string)の場合には、ワールドシートの[[散乱|散乱図形]]は自然に[[ファインマン・ダイアグラム|ファインマン図形]]のような形をなり、下図のように一つの[[プロパゲーター]]の2つの成分から作られる。
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<BR>
::[[Image:Light Cone String Propagator.svg]]

さらに、結合と分岐のための2つの[[頂点]]は、3つのプロパゲーターを貼り合わせを使うことができて、下図のようになる。
<BR>
<BR>
::[[Image:Closed String Light Cone Vertex.svg]]

これらの頂点と[[プロパゲーター]]は、<math>n</math>-点の閉弦の散乱振幅の[[モジュライ空間]]の被覆のひとつを生成するので、もはやこれ以上高い頂点は要求されない。<ref>E. D’Hoker and S. B. Giddings, “Unitarity Of The Closed Bosonic Polyakov String,”
Nucl. Phys. '''B291''' (1987) 90.</ref> 同じような頂点が、[[開弦]]に対しても存在する。

光錐量子化された''[[超弦理論]]''を考えると、光錐の頂点が衝突するときに発散が起きるので、議論はさらに微妙である。<ref>J. Greensite and F. R. Klinkhamer, “New Interactions For Superstrings,” Nucl. Phys. '''B281''' (1987) 269</ref> [[一貫性 (データベース)|整合性]]を持った理論とするためには、発散をキャンセルする接触項と呼ばれるより高い次数の頂点を導入する必要がある。

光錐の弦の場の理論は、明らかに[[ローレンツ変換|ローレンツ共変性]](Lorentz invariance)を破るという欠点を持っている。しかし、{{仮リンク|光ライク|en|light-like}}(light-like)な[[キリングベクトル]]を持った背景では、光錐の場の理論は弦の作用の量子化を大幅に簡素化することができる。さらに、バーコビッツの弦<ref>N. Berkovits, "Super Poincare covariant quantization of the superstring", JHEP 0004:018, (2000).</ref>の出現までは、これが[[ラモン・ラモン場]]のある中で弦を量子化する唯一の知られた方法であった。最近の研究では、光錐の弦の場の理論はpp-ウェーブの背景での[[弦の理解]]において、重要な役割りを演ずる。<ref>M. Spradlin and A.  Volovich, "Light-cone string field theory in a plane wave", Lectures given at ICTP Spring School on Superstring Theory and Related Topics, Trieste, Italy, 31 Mar - 8 Apr (2003) hep-th/0310033.</ref>
<!---Light-cone string field theories were the first string field theories to be constructed and are based on the simplicity of string scattering in light-cone gauge.  For example, in the [[bosonic string theory|bosonic closed string]] case, the worldsheet scattering diagrams naturally take a Feynman diagram-like form, being built from two ingredients, a [[propagator]],
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<BR>
::[[Image:Light Cone String Propagator.svg]]

and two vertices for splitting and joining strings, which can be used to glue three propagators together,
<BR>
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::[[Image:Closed String Light Cone Vertex.svg]]

These vertices and propagators produce a single cover of the moduli space of <math>n</math>-point closed string scattering amplitudes so no higher order vertices are required.<ref>E. D’Hoker and S. B. Giddings, “Unitarity Of The Closed Bosonic Polyakov String,”
Nucl. Phys. '''B291''' (1987) 90.</ref>  Similar vertices exist for the open string.  

When one considers light-cone quantized ''superstrings'', the discussion is more subtle as divergences can arise when the light-cone vertices collide.<ref>J. Greensite and F. R. Klinkhamer, “New Interactions For Superstrings,” Nucl. Phys.
'''B281''' (1987) 269</ref>  To produce a consistent theory, it is necessary to introduce higher order vertices, called contact terms, to cancel the divergences.

Light-cone string field theories have the disadvantage that they break manifest [[Lorentz invariance]].  However, in backgrounds with [[light-like]] [[killing vector field|killing vectors]], they can considerably simplify the quantization of the string action.  Moreover, until the advent of the Berkovits string<ref>N. Berkovits, "Super Poincare covariant quantization of the superstring", JHEP 0004:018, (2000).</ref> it was the only known method for quantizing strings in the presence of [[Ramond–Ramond field]]s.  In recent research, light-cone string field theory played an important role in understanding strings in pp-wave backgrounds.<ref>M. Spradlin and A.  Volovich, "Light-cone string field theory in a plane wave", Lectures given at ICTP Spring School on Superstring Theory and Related Topics, Trieste, Italy, 31 Mar - 8 Apr (2003) hep-th/0310033.</ref>-->

== 自由な共変な弦の場の理論 ==
共変な弦の場の理論の構成（明らかにローレンツ共変性を持つ）での重要なステップは、共変力学項を構成することであった。この力学項は力学項自体で弦の場の理論を考えることができ、自由弦の場の理論と呼ばれる。ワロン・ジーゲル(Warron Giegel)の仕事<ref>W. Siegel, "String Field Theory Via BRST", in Santa Barbara 1985, Proceedings, Unified String Theories, 593; <br> W. Siegel, "Introduction to string field theory", Adv. Ser. Math. Phys. ''' 8'''.  Reprinted as hep-th/0107094</ref>である共変力学項の方法は、自由弦の理論を ''第一'' 量子化し、次に自由弦の理論の古典場が物資場と同要にゴーストを持つよう、''第二'' 量子化する標準的な方法である。例えば、26次元の平坦な空間の[[ボゾン]]的な開弦の場の場合は、BRST量子化された弦のフォック空間の一般的な元は、次の形を取る（上半平面の放射座標を使った量子化）。
::<math> |\Psi\rangle = \int d^{26} p  \left (T(p) c_1 e^{i p\cdot X} |0\rangle 
+ A_\mu (p) \partial X^\mu c_1 e^{i p \cdot X} |0 \rangle + \chi (p) c_0 e^{i p \cdot X}|0\rangle + \ldots
\right),</math>
ここに <math> |0\rangle </math> は自由弦の[[真空]]で、ドット（"."）は質量を持つ場を表す。ワールドシートの弦理論の言葉では、<math> T(p) </math>, <math> A_\mu(p) </math> と <math> \chi(p) </math> が、弦の振幅が様々な状態の中にあることを表現する。第二量子化の後では、それらは、[[タキオン]](tachyon) <math> T </math>、[[ゲージ理論|ゲージ場]] <math> A_\mu </math>、[[ファデエフ＝ポポフゴースト|ゴースト場]] <math> \chi </math> を表す古典場として、替わりに解釈される。
<!---An important step in the construction of covariant string field theories (preserving manifest [[Lorentz invariance]]) was the construction of a covariant kinetic term.  This kinetic term can be considered a string field theory in its own right: the string field theory of free strings.  Since the work of Warren Siegel,<ref>W. Siegel, "String Field Theory Via BRST", in Santa Barbara 1985, Proceedings, Unified String Theories, 593; <br> W. Siegel, "Introduction to string field theory", Adv. Ser. Math. Phys. ''' 8'''.  Reprinted as hep-th/0107094</ref> it has been standard to ''first'' BRST-quantize the free string theory and ''then'' second quantize so that the classical fields of the string field theory include ghosts as well as matter fields.  For example, in the case of the bosonic open string theory in 26-dimensional flat spacetime, a general element of the Fock-space of the BRST quantized string takes the form (in radial quantization in the upper half plane),

::<math> |\Psi\rangle = \int d^{26} p  \left (T(p) c_1 e^{i p\cdot X} |0\rangle 
+ A_\mu (p) \partial X^\mu c_1 e^{i p \cdot X} |0 \rangle + \chi (p) c_0 e^{i p \cdot X}|0\rangle + \ldots
\right),</math>
where <math> |0\rangle </math> is the free string vacuum and the dots represent more massive fields.  In the language of worldsheet string theory, <math> T(p) </math>, <math> A_\mu(p) </math>, and <math> \chi(p) </math> represent the amplitudes for the string to be found in the various basis states.  After second quantization, they are interpreted instead as classical fields representing the tachyon <math> T </math>, gauge field <math> A_\mu </math> and a ghost field <math> \chi </math>.-->

ワールドシートの弦理論では、フォック空間の非物理的な元は、条件 <math> Q_B |\Psi \rangle = 0 </math> を導入することにより、等価関係 <math> |\Psi \rangle \sim |\Psi\rangle + Q_B |\Lambda \rangle </math> と同様に消去される。第二量子化の後では、等価関係は[[ゲージ理論|ゲージ不変性]]として解釈される。一方、<math> |\Psi \rangle </math> が物理的であるという条件は、[[運動方程式]]と解釈される。物理的な場はゴースト数 1 であるので、弦の場 <math> |\Psi \rangle </math> がフォック空間のゴースト数 1 の元であることも前提としている。

ボゾン的な開弦の場合は、適当な対称性と運動方程式を持つゲージ固定された作用が元々{{仮リンク|アンドレ・ヌボー|en|André Neveu}}(André Neveu)、{{仮リンク|ヘルマン・ニコライ|de|Hermann Nicolai (Physiker)}}(Hermann Nicolai)、ピーター・ウェスト(Peter C. West)により得られている。<ref>A. Neveu, H. Nicolai and P. C. West, "New Symmetries And Ghost Structure Of Covariant String Theories", Phys.Lett. '''B167''' (1986) 307</ref>これは、
:: <math>
   S_{\text{free open}} (\Psi) = \tfrac{1}{2} \langle \Psi | Q_B |\Psi\rangle \ ,
</math>
により与えられ、<math> \langle \Psi | </math> は <math> |\Psi \rangle </math> のBPZ-双対である。<ref>
A. Belavin, A. Polyakov, A. Zamolodichikov, "Infinite Conformal Symmetry in Two-Dimensional Quantum Field Theory", Nucl. Phys. '''B241''', 333 (1984)</ref>

ボゾン的な閉弦に対するBRST-不変な力学項の構成は、さらに <math> (L_0 - \tilde{L}_0) |\Psi\rangle = 0 </math> と <math> (b_0 - \tilde{b}_0) |\Psi\rangle = 0 </math> という条件を加えることが必要である。従って、力学項は、
:: <math> S_{\text{free closed}} = \tfrac{1}{2} \langle \Psi | (c_0 - \tilde{c}_0) Q_B |\Psi \rangle  \ .</math>
となる。

さらに考える必要のあることは、超弦をスーパーゴーストがゼロモードであるとして扱うことである。
<!---In the worldsheet string theory, the unphysical elements of the Fock space are removed by imposing the condition <math> Q_B |\Psi \rangle = 0 </math> as well as the equivalence relation <math> |\Psi \rangle \sim |\Psi\rangle + Q_B |\Lambda \rangle </math>.  After second quantization, the equivalence relation is interpreted as a [[gauge invariance]], whereas the condition that <math> |\Psi \rangle </math> is physical is interpreted as an [[equation of motion]].  Because the physical fields live at ghostnumber one, it is also assumed that the string field <math> |\Psi \rangle </math> is a ghostnumber one element of the Fock space.

In the case of the open bosonic string a gauge-unfixed action with the appropriate symmetries and equations of motion was originally obtained by [[André Neveu]], Hermann Nicolai and [[Peter C. West]].<ref>A. Neveu, H. Nicolai and P. C. West, "New Symmetries And Ghost Structure Of Covariant String Theories", Phys.Lett. '''B167''' (1986) 307</ref> It is given by
:: <math>
   S_{\text{free open}} (\Psi) = \tfrac{1}{2} \langle \Psi | Q_B |\Psi\rangle \ ,
</math>
where <math> \langle \Psi | </math> is the BPZ-dual of <math> |\Psi \rangle </math>.<ref>
A. Belavin, A. Polyakov, A. Zamolodichikov, "Infinite Conformal Symmetry in Two-Dimensional Quantum Field Theory", Nucl. Phys. '''B241''', 333 (1984)</ref>

For the bosonic closed string, construction of a BRST-invariant kinetic term requires additionally that one impose <math> (L_0 - \tilde{L}_0) |\Psi\rangle = 0 </math> and <math> (b_0 - \tilde{b}_0) |\Psi\rangle = 0 </math>.  The kinetic term is then
:: <math> S_{\text{free closed}} = \tfrac{1}{2} \langle \Psi | (c_0 - \tilde{c}_0) Q_B |\Psi \rangle  \ .</math>

Additional considerations are required for the superstrings to deal with the superghost zero-modes.-->

== ウィッテンの3次の開弦の場の理論 ==
最も単純で最もよく研究されている共変な[[相互作用]]を持つ弦の場の理論が、[[エドワード・ウィッテン]](Edward Witten)により構成された。<ref>E. Witten, "Noncommutative Geometry and String Field Theory", Nucl. Phys '''B268 ''', 253, (1986)</ref>この理論は、ボゾン的な開弦の力学を記述しており、3次の頂点を自由な開弦の作用に加えることにより与えられる。
:: <math> S(\Psi) = \tfrac{1}{2} \langle \Psi |Q_B |\Psi \rangle + \tfrac{1}{3}  \langle \Psi,\Psi,\Psi \rangle </math>,
ここに、自由弦の場合、<math> \Psi </math> はBRST-量子化された自由なボゾン的な開弦のフォック空間のゴースト数 1 の元である。
<!---The best studied and simplest of covariant interacting string field theories was constructed by [[Edward Witten]].<ref>E. Witten, "Noncommutative Geometry and String Field Theory", Nucl. Phys '''B268 ''', 253, (1986)</ref>  It describes the dynamics of bosonic open strings and is given by adding to the free open string action a cubic vertex:
:: <math> S(\Psi) = \tfrac{1}{2} \langle \Psi |Q_B |\Psi \rangle + \tfrac{1}{3}  \langle \Psi,\Psi,\Psi \rangle </math>,

where, as in the free case, <math> \Psi </math> is a ghostnumber one element of the BRST-quantized free bosonic open-string Fock-space.-->

3次の頂点
::<math> \langle \Psi_1,\Psi_2,\Psi_3 \rangle </math>
は三重の線型写像で、全体でゴースト数 3 となる3つの弦の場となっている。

非可換幾何学に動機を持っていたウィッテンに従えば、次の式によって暗に定義される <math>*</math>-積を使うことが便利である。
:: <math> \langle\Sigma | \Psi_1 *\Psi_2 \rangle = \langle\Sigma, \Psi_1,\Psi_2\rangle  \ .</math>

<math>*</math>-積と3次の頂点は、（下記の）いくつかの性質を満たす（<math> \Psi_i </math> を一般的なゴースト数を持つ場としてよい）。
{{ol
| ''' サイクル性(Cyclicity) ''': 
::<math>\langle \Psi_1, \Psi_2, \Psi_3 \rangle = (-1)^{gn(\Psi_3) * (gn(\Psi_2)+ gn(\Psi_1))}\langle \Psi_3, \Psi_1, \Psi_2 \rangle</math>
|
 ''' BRTST 不変性(BRST invariance) ''': 
::<math> Q_B \langle \Psi_1, \Psi_2, \Psi_3 \rangle = \langle Q_B \Psi_1, \Psi_2,  \Psi_3 \rangle + (-1)^{gn(\Psi_1)}\langle \Psi_1, Q_B \Psi_2, \Psi_3 \rangle +(-1)^{gn(\Psi_1)+ gn(\Psi_2)}\langle \Psi_1, \Psi_2, Q_B \Psi_3 \rangle </math>
<math>*</math>-積に対し、これは <math>Q_B</math> が次数付き微分として作用することを意味する。
::<math>Q_B (\Psi_1 * \Psi_2) = (Q_B \Psi_1)*\Psi_2 + (-1)^{gn(\Psi_1)} \Psi_1 * (Q_B \Psi_2)</math>
| ''' 結合性(Associativity) '''
     
::<math>  \left(\Psi_1 * \Psi_2\right) * \Psi_3 = \Psi_1 * (\Psi_2 * \Psi_3) </math>

3次頂点の項では、
:: <math> \langle\Psi_1 ,\Psi_2 * \Psi_3,\Psi_4 \rangle =  \langle\Psi_1 ,\Psi_2 ,\Psi_3* \Psi_4 \rangle </math>
}}
以上の方程式では、<math> gn(\Psi) </math> で <math> \Psi </math> のゴースト数を表す。
<!---The cubic vertex,
::<math> \langle \Psi_1,\Psi_2,\Psi_3 \rangle </math>
is a triliniar map which takes three string fields of total ghostnumber three and yields a number.  
Following Witten, who was motivated by ideas from noncommutative geometry, it is conventional to introduce the <math>*</math>-product defined implicitly through
:: <math> \langle\Sigma | \Psi_1 *\Psi_2 \rangle = \langle\Sigma, \Psi_1,\Psi_2\rangle  \ .</math>

The <math>*</math>-product and cubic vertex satisfy a number of important properties (allowing  the <math> \Psi_i </math> to be general ghost number fields):
{{ol|
| ''' Cyclicity ''': 
::<math>\langle \Psi_1, \Psi_2, \Psi_3 \rangle = (-1)^{gn(\Psi_3) * (gn(\Psi_2)+ gn(\Psi_1))}\langle \Psi_3, \Psi_1, \Psi_2 \rangle</math>
|
 ''' BRST invariance ''': 
::<math> Q_B \langle \Psi_1, \Psi_2, \Psi_3 \rangle = \langle Q_B \Psi_1, \Psi_2,  \Psi_3 \rangle + (-1)^{gn(\Psi_1)}\langle \Psi_1, Q_B \Psi_2, \Psi_3 \rangle +(-1)^{gn(\Psi_1)+ gn(\Psi_2)}\langle \Psi_1, \Psi_2, Q_B \Psi_3 \rangle </math>

For the <math>*</math>-product, this implies that <math>Q_B</math> acts as a graded derivation
::<math>Q_B (\Psi_1 * \Psi_2) = (Q_B \Psi_1)*\Psi_2 + (-1)^{gn(\Psi_1)} \Psi_1 * (Q_B \Psi_2)</math>
| ''' Associativity '''
     
::<math>  \left(\Psi_1 * \Psi_2\right) * \Psi_3 = \Psi_1 * (\Psi_2 * \Psi_3) </math>

In terms of the cubic vertex,
:: <math> \langle\Psi_1 ,\Psi_2 * \Psi_3,\Psi_4 \rangle =  \langle\Psi_1 ,\Psi_2 ,\Psi_3* \Psi_4 \rangle </math>
}}
In these equations, <math> gn(\Psi) </math> denotes the ghost number of <math> \Psi </math>.-->

===ゲージ不変性===
3次の頂点のこれらの性質は、<math> S(\Psi) </math> が[[ヤン＝ミルズ理論]]のようなゲージ変換の下に不変であることを示すだけで十分である。
:: <math> \Psi \to \Psi + Q_B \Lambda + \Psi * \Lambda - \Lambda * \Psi \ , </math>
ここに <math> \Lambda </math> は無限小ゲージパラメータである。有限なゲージ変換は次の形をしている。
:: <math> \Psi \to e^{-\Lambda} (\Psi + Q_B )e^{\Lambda} </math>
ここに指数は次で定義される。
:: <math> e^{\Lambda} = 1 + \Lambda + \tfrac{1}{2} \Lambda* \Lambda + \tfrac{1}{3!} \Lambda * \Lambda * \Lambda + \ldots </math>
<!---These properties of the cubic vertex are sufficient to show that <math> S(\Psi) </math> is invariant under
the [[Yang-Mills]]-like gauge transformation,
:: <math> \Psi \to \Psi + Q_B \Lambda + \Psi * \Lambda - \Lambda * \Psi \ , </math>
where <math> \Lambda </math> is an infinitesimal gauge parameter.  Finite gauge transformations take the form
:: <math> \Psi \to e^{-\Lambda} (\Psi + Q_B )e^{\Lambda} </math>
where the exponential is defined by,
:: <math> e^{\Lambda} = 1 + \Lambda + \tfrac{1}{2} \Lambda* \Lambda + \tfrac{1}{3!} \Lambda * \Lambda * \Lambda + \ldots </math>-->

===運動方程式===
運動方程式は、次の方程式で与えられる。（この方程式を一部の学会ではクロイター方程式(Kroyter equation)と呼ぶこともある。）
:: <math> Q_B \Psi + \Psi * \Psi  = 0 \left. \right.</math>
弦の場 <math> \Psi </math> は通常の古典場の無限個の集りであるので、これらの方程式は非線型な[[微分方程式]]の無限個の集りを表す。（これらの方程式の）解を探すには、2つの方法がある。

ひとつは数値的な方法で、弦の場を消去し、単に固定された値よりも小さな質量を持つ場を意味するとする、「レベル消去(level truncation)」として知られている過程である。<ref>V. Kostelecky and S. Samuel, "Spontaneous Breaking of Lorentz Symmetry in String Theory", Phys. Rev. '''D39 ''', 683, (1989)</ref> これは運動方程式を有限個の結合された微分方程式とする過程で、多くの解の発見へつながった。<ref>B. Zwiebach, "Is the string field big enough?", Fortsch. Phys. ''' 49 ''' 387 (2001); <BR> W. Taylor and B. Zwiebach, "D-branes, tachyons, and string field theory." Boulder 2001, Strings, branes and extra dimensions 641.</ref>

第二の方法は、マルチン・シュナーベル(Martin Schnabl)の仕事<ref>M. Schnabl, "Analytic solution for tachyon condensation in open string field theory", Adv.Theor.Math.Phys. '''10''', (2006) 433</ref>により、*-積とBRST作用素による作用の下での単純な振る舞いを持つように仮設を注意深く取り込むことで、解析的な解を得ることができるという方法である。この方法は、タキオン真空解と同様に、臨界での変形を表す解として得られることを導いた。<ref>E. Fuchs and M. Kroyter, "Analytical Solutions of Open String Field Theory", arXiv:0807.4722; 
</ref>
<!---The equations of motion are given by the following equation: 
:: <math> Q_B \Psi + \Psi * \Psi  = 0 \left. \right.  \ .</math>
Because the string field <math> \Psi </math> is an infinite collection of ordinary classical fields, these equations represent an infinite collection of non-linear coupled differential equations.  There have been two approaches to finding solutions:  First, numerically, one can truncate the string field to include only fields with mass less than a fixed bound, a procedure known as "level truncation".<ref>V. Kostelecky and S. Samuel, "Spontaneous Breaking of Lorentz Symmetry in String Theory", Phys. Rev. '''D39 ''', 683, (1989)</ref>  This reduces the equations of motion to a finite number of coupled differential equations and has led to the discovery of many solutions.<ref>B. Zwiebach, "Is the string field big enough?", Fortsch. Phys. ''' 49 ''' 387 (2001); <BR> W. Taylor and B. Zwiebach, "D-branes, tachyons, and string field theory." Boulder 2001, Strings, branes and extra dimensions 641.</ref>  Second, following the work of Martin Schnabl <ref>M. Schnabl, "Analytic solution for tachyon condensation in open string field theory",
Adv.Theor.Math.Phys. '''10''', (2006) 433</ref> one can seek analytic solutions by carefully picking an ansatz which has simple behavior under star multiplication and action by the BRST operator.  This has led to solutions representing marginal deformations as well as the tachyon vacuum solution<ref>E. Fuchs and M. Kroyter, "Analytical Solutions of Open String Field Theory", arXiv:0807.4722; 
</ref>-->

===量子化===
整合性を持って <math> S(\Psi) </math> を量子化するためには、ゲージを固定する必要がある。伝統的な（ゲージ固定の）選択はファインマンとジーゲルによるゲージ固定
:: <math> b_0 \Psi = 0 \left.\right. </math>
である。ゲージ変換は、それ自体が冗長であるので（ゲージ変換のゲージ変換が存在する）、ゲージ固定の過程は{{仮リンク|BV形式|en|Batalin-Vilkovisky formalism}}(BV formalism)を経由し、ゴースト数無限を導入する必要がある。<ref>C. Thorn, "String Field Theory", Phys. Rept. ''' 175 ''', 1, (1989)</ref> 完全にゲージ固定された作用は、
:: <math> S_{\text{gauge-fixed}} = \tfrac{1}{2} \langle \Psi | c_0 L_0 |\Psi\rangle + \tfrac{1}{3} \langle \Psi,\Psi,\Psi \rangle </math>
により与えられる。ここに場 <math> \Psi </math> は''任意のゴースト数'' であることが可能である。このゲージで、ファインマン・ダイアグラムが単純なプロパゲーターと頂点から構成される。プロパゲーターは幅 <math> \pi </math> と長さ <math> T </math> のワールドシート上の帯状領域を形を取る。
<BR>
<BR>
:: [[Image:OSFT propagator.svg]]

赤い線に沿って <math> b </math>-ゴーストの積分を入れることもできる。モジュラス <math> T </math> は、0 から <math> \infty </math> まで[[積分法|積分]]する。

3次の頂点は次の図に示すように、3つのプロパゲーターを貼り合わせることにより記述することができる。
<BR>
<BR>
:: [[Image:OSFT three vertex.svg]]

3次元に埋め込まれた頂点を表現するために、プロパゲーターは中線に沿って半分に折り曲げてある。その結果により得られる幾何学は、3つのプロパゲーターの中線が出会い、曲率が特異となるただ一つの点を除き、完全に平坦である。

これらのファインマン・ダイアグラムは、開弦の散乱ダイアグラムのモジュライ空間の完全な[[被覆空間]]を生みだす。このことから、オンシェルの振幅に対し、ウィッテンの開弦の場の理論を使い計算された n-個の点を持つ開弦の振幅は、通常のワールドシートの方法を使い計算された振幅と同一である。<ref>S. Giddings, E. Martinec and E. Witten, "Modular Invariance in String Field Theory", Phys. Lett. '''B176 ''', 362, (1986); 
<br> B. Zwiebach, "A Proof that Witten's open string theory gives a single cover of moduli space", Commun. Math. Phys. ''' 142 ''' 193, (1991)</ref> ウィッテンの弦の場の理論を使った最初のオフシェル計算は、{{仮リンク|スチュアート・サミュエル|en|Stuart_Samuel_(physicist)}}(Stuart Samuel)により行われた。
<!---To consistently quantize <math> S(\Psi) </math> one has to fix a gauge.  The traditional choice has been Feynman-Siegel gauge,
:: <math> b_0 \Psi = 0 \left.\right. \ .</math>
Because the gauge transformations are themselves redundant (there are gauge transformations of the gauge transformations), the gauge fixing procedure requires introducing an infinite number of ghosts via the [[Batalin-Vilkovisky formalism|BV formalism]].<ref>C. Thorn, "String Field Theory", Phys. Rept. ''' 175 ''', 1, (1989)</ref>  The complete gauge fixed action is given by
:: <math> S_{\text{gauge-fixed}} = \tfrac{1}{2} \langle \Psi | c_0 L_0 |\Psi\rangle + \tfrac{1}{3} \langle \Psi,\Psi,\Psi \rangle \ , </math>
where the field <math> \Psi </math> is now allowed to be of ''arbitrary ghostnumber''.  In this gauge, the [[Feynman diagrams]] are constructed from a single propagator and vertex.  The propagator takes the form of a strip of worldsheet of width <math> \pi </math> and length <math> T </math>
<BR>
<BR>
:: [[Image:OSFT propagator.svg]]

There is also an insertion of an integral of the <math> b </math>-ghost along the red line.  The modulus, <math> T </math> is integrated from 0 to <math> \infty </math>.

The three vertex can be described as a way of gluing three propagators together as shown in the following picture:
<BR>
<BR>
:: [[Image:OSFT three vertex.svg]]

In order to represent the vertex embedded in three dimensions, the propagators have been folded in half along their midpoints.  The resulting geometry is completely flat except for a single curvature singularity where the midpoints of the three propagators meet.

These Feynman diagrams generate a complete cover of the moduli space of open string scattering diagrams.  It follows that, for on-shell amplitudes, the n-point open string amplitudes computed using Witten's open string field theory are identical to those computed using standard worldsheet methods.<ref>S. Giddings, E. Martinec and E. Witten, "Modular Invariance in String Field Theory", Phys. Lett. '''B176 ''', 362, (1986); 
<br> B. Zwiebach, "A Proof that Witten's open string theory gives a single cover of moduli space", Commun. Math. Phys. ''' 142 ''' 193, (1991)</ref> The first off-shell computations using Witten's string field theory were conducted by the physicist [[Stuart_Samuel_(physicist)#String_Theory|Stuart Samuel]].-->

== 超対称性と共変な開弦の場の理論 ==
ウィッテンの3次の開弦の場の理論の[[超対称性|超対称的]]拡張を構成する主要な方法は、2つある。一つは、ボゾンの仲間の形によく似せて構成する方法で、''変形された3次超弦理論の場の理論''(modified cubic superstring field theory)である。2つめは、{{仮リンク|ナタン・バーコヴィッツ|pt|Nathan Berkovits}}(Nathan Berkovits)による全く異なった、[[WZWモデル]](WZW model)タイプの作用をベースとした方法である。
<!---There are two main constructions of [[supersymmetric]] extensions of Witten's cubic open string field theory.  The first is very similar in form to its bosonic cousin and is known as ''modified cubic superstring field theory''.  The second, due to [[Nathan Berkovits]] is very different and is based on a [[Wess-Zumino-Witten model|WZW]]-type action.-->

===変形された3次超弦理論の場の理論===
ウィッテンの3次の開弦の場の理論のRNS弦への拡張である整合性を持つ第一の拡張は、クリスティアン・プレイトショフ、{{仮リンク|チャールズ・ソーン|en|Charles Thorn}}(Charles Thorn)、スコット・ヨスト、さらに独立に、イリーナ・アレフェエバ(Irina Aref'eva)、メドヴェーデフ(P. B. Medvedev)、ズバレフ(A. P. Zubarev)により得られた。<ref>C. Preitschopf, C. Thorn and S. Yost , "Superstring Field Theory," Nucl. Phys. '''B337 ''' (1990) 363 ; <br> I. Aref'eva, P. Medvedev and A. Zubarev, "New Representation for String Field Solves the Consistency Problem for Open Superstring Field Theory," Nucl. Phys. '''B341''' 464 (1990).</ref> NS弦は小さな[[ヒルベルト空間]]（つまり <math> \eta_0 |\Psi\rangle = 0 </math>）で、ゴースト数 1 のピクチャー数 0 の弦の場の形を取る。
<!---The first consistent extension of Witten's bosonic open string field theory to the RNS string was constructed by 
Christian Preitschopf, [[Charles Thorn]] and Scott Yost and independently by Irina Aref'eva, P. B. Medvedev and A. P. Zubarev.<ref>C. Preitschopf, C. Thorn and S. Yost , "Superstring Field Theory," Nucl. Phys. '''B337 ''' (1990) 363 ; <br> I. Aref'eva, P. Medvedev and A. Zubarev, "New Representation
for String Field Solves the Consistency Problem for Open Superstring Field Theory," Nucl.
Phys. '''B341''' 464 (1990).</ref>  The NS string field is taken to be a ghostnumber one picture zero string field in the small Hilbert space (i.e. <math> \eta_0 |\Psi\rangle = 0 </math>).
The action takes a very similar form to bosonic action,
:: <math> S(\Psi) = \tfrac{1}{2} \langle \Psi |Y(i) Y(-i) Q_B |\Psi \rangle
  +\tfrac{1}{3} \langle \Psi | Y(i) Y(-i) |\Psi * \Psi\rangle  \ ,</math>
where, 
:: <math> Y(z) = -\partial \xi e^{-2 \phi} c(z) </math>
is the inverse picture changing operator. The suggested <math> -\tfrac{1}{2} </math> picture number extension of this theory to the Ramond sector might be problematic.-->

作用は、ボゾン的な作用に似た形をしている。
:: <math> S(\Psi) = \tfrac{1}{2} \langle \Psi |Y(i) Y(-i) Q_B |\Psi \rangle
  +\tfrac{1}{3} \langle \Psi | Y(i) Y(-i) |\Psi * \Psi\rangle  \ ,</math>
ここに、
:: <math> Y(z) = -\partial \xi e^{-2 \phi} c(z) </math>
はピクチャー数を逆にする作用素である。示唆されているピクチャー数 <math> -\tfrac{1}{2} </math> の理論をラモンセクター(Ramond sector)へ拡張することは問題があるかも知れない。

この作用はツリーレベルの振幅を再現するため示され、正しいエネルギーを持つタキオン真空解を持っている。<ref>Theodore Erler, "Tachyon Vacuum in Cubic Superstring Field Theory", JHEP 0801:013, (2008)</ref> この作用の一つの微妙な点は、中点でピクチャー数を変換する作用素を入れることで、このことは線型化された運動方程式が次の形をとることを意味する。
:: <math> Y(i)Y(-i) Q_B \Psi = 0 \left.\right. \ .</math>
<math> Y(i) Y(-i) </math> は非自明な核を持っているので、<math> Q_B </math> の[[コホモロジー]]にはない本質的に余剰な解が存在する。<ref>N. Berkovits, "Review of open superstring field theory", hep-th/0105230</ref> しかし、そのような解は中点近くでの作用素の挿入かも知れないし、本質的な特異性かもしれず、この問題の重要性は未解決である。
<!---This action has been shown to reproduce tree-level amplitudes and has a tachyon vacuum solution with the correct energy.<ref>Theodore Erler, "Tachyon Vacuum in Cubic Superstring Field Theory", JHEP 0801:013, (2008)</ref>  
The one subtlety in the action is the insertion of picture changing operators at the midpoint, which imply that the linearized equations of motion take the form
:: <math> Y(i)Y(-i) Q_B \Psi = 0 \left.\right. \ .</math>
Because <math> Y(i) Y(-i) </math> has a non-trivial kernel, there are potentially extra solutions that are not in the cohomology of <math> Q_B </math>.<ref>N. Berkovits, "Review of open superstring field theory", hep-th/0105230</ref>  However, such solutions would have operator insertions near the midpoint and would be potentially singular, and importance of this problem remains unclear.-->

===バーコヴィッツの超弦の場の理論===
開弦の場の全く異なった超対称的作用がナタン・バーコヴィッツにより構成されている。<ref>N. Berkovits, "Super-Poincare Invariant Superstring Field Theory", Nucl. Phys. ''' B450 ''' (1995) 90</ref>構成された形は、
:: <math>
  S = \tfrac{1}{2} \langle e^{-\Phi} Q_B e^{\Phi} | e^{-\Phi} \eta_0 e^{\Phi} \rangle
 - \tfrac{1}{2} \int_0^1 dt\langle e^{ -\hat{\Phi}} \partial_t e^{\hat{\Phi}}|\{e^{-\hat{\Phi}} Q_B
e^{\hat{\Phi}} , e^{-\hat{\Phi}} \eta_0 e^{\hat{\Phi}} \} \rangle
</math>
の形をしていて、積の全てが反交換子 <math> \{,\} </math> を含む *-積を使い構成されており、<math>\hat{\Phi}(t) </math> は <math> \hat{\Phi}(0)  = 0</math> でかつ <math> \hat{\Phi}(1)  = \Phi</math> である任意の弦の場である。弦の場 <math> \Phi </math> は大きなヒルベルト空間（つまり、<math> \xi </math> のゼロモードを「意味している」）のNSセクターである。これがどのようにして R セクターと協調するのかについて知られていないが、基本的なアイデアはある。<ref>Y. Michishita, "A covariant action with a constraint and Feynman rules for fermions in open superstring field theory", hep-th/0412215</ref>

運動方程式は
::<math> \eta_0 \left(e^{-\Phi} Q_B e^{\Phi} \right) = 0 </math>
の形をしている。

作用は次のゲージ変換の下で不変である。
:: <math> e^{\Phi} \to e^{Q_B \Lambda} e^{\Phi} e^{\eta_0 \Lambda'} </math>

この作用の主な優位点は、任意のピクチャー数を変更する作用素に影響されないことである。ツリーレベルの振幅が正しく再現されていることが示されていて<ref>N. Berkovits and C. Echevarria, "Four-Point Amplitudes from Open Superstring Field Theory", Phys.Lett. '''B478''' (2000) 343</ref>、数値的には適当なエネルギーを持つタキオン真空を持つことが発見されている。<ref>N. Berkovits, "The Tachyon potential in open Neveu-Schwarz string field theory," JHEP 0004:022 (2000);<br>  N. Berkovits, A. Sen and B. Zwiebach, "Tachyon condensation in superstring field theory",  Nucl.Phys. ''' B587''' (2000) 147</ref> 古典運動方程式の唯一知られている解析解は、臨界での変形として得られる。
<!---A very different supersymmetric action for the open string was constructed by Nathan Berkovits.  It takes the form<ref>N. Berkovits, "Super-Poincare Invariant Superstring Field Theory", Nucl. Phys. ''' B450 ''' (1995) 90</ref>
:: <math>
  S = \tfrac{1}{2} \langle e^{-\Phi} Q_B e^{\Phi} | e^{-\Phi} \eta_0 e^{\Phi} \rangle
 - \tfrac{1}{2} \int_0^1 dt\langle e^{ -\hat{\Phi}} \partial_t e^{\hat{\Phi}}|\{e^{-\hat{\Phi}} Q_B
e^{\hat{\Phi}} , e^{-\hat{\Phi}} \eta_0 e^{\hat{\Phi}} \} \rangle
</math>
where all of the products are performed using the <math>*</math>-product including the anticommutator <math> \{,\} </math>, and <math>\hat{\Phi}(t) </math> is any string field such that <math> \hat{\Phi}(0)  = 0</math> and <math> \hat{\Phi}(1)  = \Phi</math>.  The string field <math> \Phi </math> is taken to be in the NS sector of the large Hilbert space, i.e. ''including'' the zero mode of <math> \xi </math>.  It is not known how to incorporate the R sector, although some preliminary ideas exist.<ref>Y. Michishita, "A covariant action with a constraint and Feynman rules for fermions in open superstring field theory", hep-th/0412215</ref>

The equations of motion take the form
::<math> \eta_0 \left(e^{-\Phi} Q_B e^{\Phi} \right) = 0 .</math>

The action is invariant under the gauge transformation
:: <math> e^{\Phi} \to e^{Q_B \Lambda} e^{\Phi} e^{\eta_0 \Lambda'} .</math>

The principal advantage of this action is that it free from any insertions of picture-changing operators.  It has been shown to reproduce correctly tree level amplitudes<ref>N. Berkovits and C. Echevarria, "Four-Point Amplitudes from Open Superstring Field Theory", Phys.Lett. '''B478''' (2000) 343</ref> and has been found, numerically, to have a tachyon vacuum with appropriate energy.<ref>N. Berkovits, "The Tachyon potential in open Neveu-Schwarz string field theory," JHEP 0004:022 (2000);<br>  N. Berkovits, A. Sen and B. Zwiebach, "Tachyon condensation in superstring field theory",  Nucl.Phys. ''' B587''' (2000) 147</ref>  The only known analytic solutions to the classical equations of motion are marginal deformations.-->

===共変な開いた超弦の場の理論の他の定式化===
最小ではない純粋[[スピノル]]変数を用いた超弦の場の理論の定式は、バーコヴィッツにより導入された。<ref>N. Berkovits, "Pure spinor formalism as an N=2 topological string", hep-th/0509120</ref> 作用は3次で、核が自明である中点での挿入を意味する。純粋スピノルを用いた定式化ではいつもそうであるように、ラモンセクター(Ramond sector)は簡単に扱うことができる。しかしながら、GSO-セクターとどのように協調して定式化の中にいれるかが明らかではない。

上記で問題として提示されている変形された3次の理論の中点への挿入を解決しようとする試みの中で、バーコヴィッツとジーゲルは RNS 弦の非最小拡張を基礎とした超弦の場の理論を提案した。<ref>N. Berkovits and W. Siegel, "Regularizing cubic open Neveu-Schwarz string field theory", arXiv:0901.3386</ref> 理論は核が無い中点への挿入を使用している。そのような方法が、非自明な核を持つ中点の挿入よりも良い方法であるか否かは明らかではない。
<!---A formulation of superstring field theory using the non-minimal pure-spinor variables was introduced by Berkovits.<ref>N. Berkovits, "Pure spinor formalism as an N=2 topological string", hep-th/0509120</ref> The action is cubic and includes a midpoint insertion whose kernel is trivial. As always within the pure-spinor formulation, the Ramond sector can be easily treated. However, it is not known how to incorporate the GSO- sectors into the formalism.

In an attempt to resolve the allegedly problematic midpoint insertion of the modified cubic theory, Berkovits and Siegel proposed a superstring field theory based on a non-minimal extension of the RNS string,<ref>N. Berkovits and W. Siegel, "Regularizing cubic open Neveu-Schwarz string field theory", arXiv:0901.3386</ref> which uses a midpoint insertion with no kernel. It is not clear if such insertions are in any way better than midpoint insertions with non-trivial kernels.-->

==共変な閉弦の場の理論==
共変な閉弦の場の理論は、開弦とその仲間よりも込み入っていると想定される。たとえ閉弦の間の ''ツリーレベル'' の相互作用を生成するだけの弦の場の理論を構成しようとしても、古典的作用が ''無限'' 個の頂点を含んでいる必要がある。<ref>H. Sonoda and B. Zwiebach, "Covariant Closed String Theory Cannot Be Cubic",  Nucl.Phys.''' B336''' (1990) 185</ref> 無限個の頂点は、弦の多面体から構成されている。<ref>M. Saadi and B. Zwiebach, "Closed string field theory from polyhedra", Annals Phys '''192''' (1989) 213; <br> T. Kugo, K. Suehiro, "Nonpolynomian Closed String Field Theory: Action And Its Gauge Invariance", Nucl.Phys. ''' B337''' (1990) 434.</ref>

[[オンシェルとオフシェル|オンシェル]]の散乱図形が弦の結合の全てのオーダーで再現することを要求すると、同じように高い種数から発生する（従って <math> \hbar </math> の高いオーダーの）頂点をさらに含まねばならない。一般には、明らかに BV 不変な量子化された作用は、次の形を取る。<ref>B. Zwiebach, "Closed string field theory: Quantum action and the B-V master equation", Nucl.Phys. ''' B390''' (1993) 33</ref> 
:: <math> S(\Psi) = \hbar \sum_{g \ge 0} (\hbar g_c)^{g-1} \sum_{n \ge 0} \frac{1}{n!} \{\Psi^n \}_g </math>
ここに、<math> \{ \Psi^n \}_g </math> は種数 <math> g </math> の曲面から発生する <math>n</math>次のオーダーの頂点であり、<math> g_c </math> は閉弦の結合である。原理的には、頂点の構造は最小領域の処方により決定される。<ref>
B. Zwiebach, "Quantum closed strings from minimal area", Mod Phys. Lett. ''' A5 ''' (1990) 2753</ref> しかし、[[多面体]]の頂点に対してさえ、明らかに計算されているのは4次のオーダーでしかない。<ref>N. Moeller, "Closed Bosonic String Field Theory at Quintic Order: Five-Tachyon Contact Term and Dilaton Theorem", JHEP 0703:043 (2007); <br> N. Moeller, " Closed Bosonic String Field Theory at Quintic Order. II. Marginal Deformations and Effective Potential", JHEP 0709:118, (2007)</ref>
<!---Covariant closed string field theories are considerably more complicated than their open string cousins.  Even if one wants to construct a string field theory which only reproduces ''tree-level'' interactions between closed strings, the classical action must contain an ''infinite'' number of vertices <ref>H. Sonoda and B. Zwiebach, "Covariant Closed String Theory Cannot Be Cubic",  Nucl.Phys.''' B336''' (1990) 185</ref> consisting of string polyhedra.<ref>M. Saadi and B. Zwiebach, "Closed string field theory from polyhedra", Annals Phys '''192''' (1989) 213; <br> T. Kugo, K. Suehiro, "Nonpolynomian Closed String Field Theory: Action And Its Gauge Invariance", Nucl.Phys. ''' B337''' (1990) 434.</ref>

If one demands that on-shell scattering diagrams be reproduced to all orders in the string coupling, one must also include additional vertices arising from higher genus (and hence higher order in <math> \hbar </math>) as well.  In general, a manifestly BV invariant, quantizable action takes the form<ref>B. Zwiebach, "Closed string field theory: Quantum action and the B-V master equation", Nucl.Phys. ''' B390''' (1993) 33</ref> 
:: <math> S(\Psi) = \hbar \sum_{g \ge 0} (\hbar g_c)^{g-1} \sum_{n \ge 0} \frac{1}{n!} \{\Psi^n \}_g </math>
where <math> \{ \Psi^n \}_g </math> denotes an <math>n</math>th order vertex arising from a genus <math> g </math> surface and <math> g_c </math> is the closed string coupling.  The structure of the vertices is in principle determined by a minimal area prescription,<ref>
B. Zwiebach, "Quantum closed strings from minimal area", Mod Phys. Lett. ''' A5 ''' (1990) 2753</ref> although, even for the polyhedral vertices, explicit computations have only been performed to quintic order.<ref>N. Moeller, "Closed Bosonic String Field Theory at Quintic Order: Five-Tachyon Contact Term and Dilaton Theorem", JHEP 0703:043 (2007); <br> N. Moeller, " Closed Bosonic String Field Theory at Quintic Order. II. Marginal Deformations and Effective Potential", JHEP 0709:118, (2007)</ref>-->

==共変なヘテロ弦の場の理論==
ヘテロ弦のNS セクターの定式化はバーコヴィッツ、大川、ツバイバッハ(Zwiebach)により与えられた。<ref>N. Berkovits, Y. Okawa and B. Zwiebach, "WZW-like action for heterotic string field theory", hep-th/0409018</ref> この定式化は、ボゾン的な弦の場の理論とバーコヴィッツの超弦の場の理論のアマルガムである。
<!---A formulation of the NS sector of the heterotic string was given by Berkovits, Okawa and Zwiebach.<ref>N. Berkovits, Y. Okawa and B. Zwiebach, "WZW-like action for heterotic string field theory", hep-th/0409018</ref>
The formulation amalgams bosonic closed string field theory with Berkovits' superstring field theory.-->

== 脚注 ==
{{Reflist|2}}

== 関連項目 ==
* [[共形場理論]]
* {{仮リンク|F-理論|en|F-theory}}
* {{仮リンク|ファズボール|en|Fuzzballs}}
* {{仮リンク|弦理論トピックスリスト|en|List of string theory topics}}
* {{仮リンク|小弦理論|en|Little string theory}}
* [[ループ量子重力理論]]
* {{仮リンク|弦理論と場の量子論の関係|en|Relationship between string theory and quantum field theory}}
* {{仮リンク|弦の宇宙論|en|String cosmology}}
* [[超重力理論]]
* [[ゼータ函数正規化]]

{{DEFAULTSORT:けんのはのりろん}}
[[Category:弦理論]]
[[Category:量子重力理論]]