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'''弱いゴールドバッハ予想'''（よわいゴールドバッハよそう、{{lang-en|Goldbach's weak conjecture}}）とは[[ゴールドバッハの予想]]に類似した[[素数]]の[[加法|和]]に関する[[数論]]の[[予想 (数学)|予想]]。次のように表現される。
: 5 より大きい[[奇数]]は 3 個の素数の和で表せる。
3 個の素数は同じ数であってもよい。

ゴールドバッハ予想が証明できれば弱いゴールドバッハ予想も証明できる（[[弱いゴールドバッハ予想#ゴールドバッハ予想との関係|後述]]）。しかし弱いゴールドバッハ予想が証明できても（それだけでは）ゴールドバッハ予想は証明できない。ゴールドバッハ予想からこの予想は導かれるが、その逆はないので「弱い」という語を冠している。

大きな奇数ほどその数よりも小さな素数がより多く存在し、それらの組み合わせもより多くなるので、この予想は多くの数学者によって正しいと考えられている。

[[2013年]]、[[ハラルド・ヘルフゴット]]は弱いゴールドバッハ予想を証明したとする論文を発表し、現在広く受け入れられている<ref name="#1">{{cite arXiv |eprint=1305.2897 |title = Major arcs for Goldbach's theorem|last = Helfgott|first = H.A. |class=math.NT |year=2013}}</ref><ref name="#2">{{cite arXiv |eprint=1205.5252 |title = Minor arcs for Goldbach's problem |last = Helfgott|first = H.A.|class=math.NT |year=2012}}</ref>。

== 概要 ==
小さな奇数を順に 3 個の素数の和で表すと以下のようになる。

*7 <nowiki>=</nowiki> 2 + 2 + 3 
*9 <nowiki>=</nowiki> 2 + 2 + 5 <nowiki>=</nowiki> 3 + 3 + 3
*11 <nowiki>=</nowiki> 2 + 2 + 7 <nowiki>=</nowiki> 3 + 3 + 5
*13 <nowiki>=</nowiki> 3 + 3 + 7 <nowiki>=</nowiki> 3 + 5 + 5
*15 <nowiki>=</nowiki> 2 + 2 + 11 <nowiki>=</nowiki> 3 + 5 + 7 <nowiki>=</nowiki> 5 + 5 + 5
*17 <nowiki>=</nowiki> 2 + 2 + 13 <nowiki>=</nowiki> 3 + 3 + 11 <nowiki>=</nowiki> 5 + 5 + 7
*19 <nowiki>=</nowiki> 3 + 3 + 13 <nowiki>=</nowiki> 3 + 5 + 11 <nowiki>=</nowiki> 5 + 7 + 7
*21 <nowiki>=</nowiki> 2 + 2 + 17 <nowiki>=</nowiki> 3 + 5 + 13 <nowiki>=</nowiki> 5 + 5 + 11 <nowiki>=</nowiki> 7 + 7 + 7
*23 <nowiki>=</nowiki> 2 + 2 + 19 <nowiki>=</nowiki> 3 + 3 + 17 <nowiki>=</nowiki> 5 + 5 + 13 <nowiki>=</nowiki> 5 + 7 + 11

3 個の素数の和は 6 以上なので、5 以下の奇数を 3 個の素数の和で表すことはできない。また 3 個の奇素数の和は 9 以上なので、7 は 3 個の奇素数の和で表すことはできない。

「7 より大きい奇数は 3 個の奇素数の和で表せる」という予想もある。これはゴールドバッハ予想の「4 より大きい偶数は 2 個の奇素数の和で表せる」という命題と類似している。

3 個の素数のうち偶数の素数である 2 は 2 個か 0 個であり、残りの 1 個もしくは 3 個全てが奇素数である。

7 以上の奇数が n を [[自然数]]、p を奇素数として
:<math> 2 n - 1 = 2 + 2 + p </math>
と 3 個の素数の和として表せるならば、その次の奇数も
:<math> 2 n + 1 = 3 + 3 + p </math>
と 3 個の素数の和として表せる。

「5より大きい奇数は 1 個の奇素数と 2 個の同じ素数の和で表せる」という予想（[[w:Lemoine's conjecture|Lemoine予想]]）もある。つまり 7 = 3 + (2 × 2) , 9 =  3 + (2 × 3) , 11 = 5 + (2 × 3) などのように
:<math> 2 n + 1 = p + 2 q </math> 　　（p , q は素数）
と表せるという予想である。

== ゴールドバッハ予想との関係 ==
[[ゴールドバッハ予想]]が正しいと仮定すると以下の[[命題]]が成り立つ。
: 4 以上の[[偶数]]は 2 個の素数の和で表せる。
したがって自然数を n とおくと、n 番目の正の偶数について
:<math> 2 n = p_1 + p_2 \qquad n>1 </math>
を満たす素数 p<sub>1</sub> , p<sub>2</sub> が必ず存在することになる。ここから n+2 番目の正の奇数は
:<math> 2 (n+2) -1 = p_1 + p_2 + 3 \qquad n>1 </math>
と 3 個の素数の和で表せるので、弱いゴールドバッハ予想も正しい。

逆に弱いゴールドバッハ予想が正しいと仮定すると n 番目の正の奇数について
:<math> 2 n - 1 = p_1 + p_2 + p_3 \qquad n>3 </math>
を満たす素数  p<sub>1</sub> , p<sub>2</sub> , p<sub>3</sub> が必ず存在することになる。ここから n 番目の正の偶数は
:<math> 2 n = p_1 + (p_2 + p_3 + 1) \qquad n>3 </math>
と表せるが、 p<sub>2</sub> + p<sub>3</sub> + 1 は素数とは限らないので（p<sub>2</sub> = 3 , p<sub>3</sub> = 5 の場合など）<nowiki>''強い''</nowiki> ゴールドバッハ予想は証明できない。

これらのことから、弱いゴールドバッハ予想は<nowiki>''強い''</nowiki> ゴールドバッハ予想の[[系 (数学)|系]]であるといえる。

:<math> 2 n - 1 = p_1 + p_2 + p_3 \qquad n>3 </math>
ならば
:<math> 2 (n + 1) = p_1 + p_2 + p_3 + 3 \qquad n>3 </math>
であるので、この予想が正しければ 8 より大きい偶数は 4 個の素数の和で表せることになる。また、8 も 8 = 2 + 2 + 2 + 2 と 4 個の素数の和で表せるので、弱いゴールドバッハ予想が正しければ 7 以上の自然数は 3 個か 4 個の素数の和で表せる。これは「弱いゴールドバッハ予想が正しければ 4 以上の自然数は[[高々 (数学)|高々]] 4 個の素数の和で表せる」と言いかえることもできる。なお、ゴールドバッハ予想については同様に「ゴールドバッハ予想が正しければ 4 以上の自然数は高々 3 個の素数の和で表せる」といえる。

== 現在までの成果 ==
:'''[[ゴールドバッハの予想#現在までの主な進歩]]'''も参照。
* [[1923年]]、[[ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ|ゴッドフレイ・H・ハーディ]]と[[ジョン・エデンサー・リトルウッド|ジョン・E・リトルウッド]]が、[[一般化されたリーマン予想]]を仮定すると、弱いゴールドバッハ予想が十分大きな奇数について成り立つことを示した。
* [[1937年]]、[[w:Ivan Matveevich Vinogradov|ヴィノグラードフ]]は、一般化されたリーマン予想によらずに、弱いゴールドバッハ予想が十分大きな奇数について成り立つことを示した。（[[ヴィノグラードフの定理]]参照）
* [[1956年]]、ヴィノグラードフの教え子であるK. Borozdinは <math> 3^{3^{15}} \, </math> が「十分大きな奇数」の下限であることを示した。これは[[十進法]]表記で 684万6169 桁の数である。
* [[1995年]]、[[オリヴィエ・ラマレ]]は全ての 5 以上の奇数は[[高々 (数学)|高々]] 7 個の素数の和で表せることを示した。
* [[1997年]]、Deshouillers 、Effinger 、te Riele 、Zinoviev は一般化されたリーマン予想を仮定すると、弱いゴールドバッハ予想が全ての奇数について成り立つことを証明した<ref>{{Citation |doi=10.1090/S1079-6762-97-00031-0 |last=Deshouillers |first=J.-M. |last2=Effinger |first2=G. |last3=te Riele |first3=H. |last4=Zinoviev |first4=D. |name-list-style=amp |year=1997 |title=A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis |journal=Electron. Res. Announc. Amer. Math. Soc. |volume=3 |issue= |pages=99–104 |url=http://www.ams.org/era/1997-03-15/S1079-6762-97-00031-0/S1079-6762-97-00031-0.pdf |issn= }}</ref>。
* [[2002年]]、廖明哲と王天沢は <math> e^{3100} \approx 2 \times 10^{1346} </math> より大きい奇数については弱いゴールドバッハ予想が成り立つことを証明した。
* [[2012年]]、[[テレンス・タオ]]は全ての 3 以上の奇数は高々 5 個の素数の和で表せることを証明した<ref>{{Cite arXiv|last=Tao |first=Terence|title=Every odd number greater than 1 is the sum of at most five primes |eprint=1201.6656v4 |year=2012 |class=math.NT}}</ref>。
* [[2013年]]、[[ハラルド・ヘルフゴット]]は弱いゴールドバッハ予想を無条件で証明したと主張する論文を発表した<ref name="#1"/><ref name="#2"/>。

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[ゴールドバッハの予想]]
* [[クリスティアン・ゴルトバハ|クリスティアン・ゴールドバッハ]]
{{素数に関する予想}}
{{デフォルトソート:よわいこおるとはつは}}
[[Category:数論]]
[[Category:加法的整数論]]
[[Category:素数に関する予想]]
[[Category:素数]]
[[Category:クリスティアン・ゴルトバハ]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]