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'''弱い素数'''（よわいそすう、{{lang-en-short|''delicate prime''、''weakly prime number''}}）は[[素数]]であって、その数字のうちどの一つを他の数字に入れ替えても[[合成数]]になるものである<ref name=":12">{{Cite web|last=Nadis|first=Steve|date=30 March 2021|title=Mathematicians Find a New Class of Digitally Delicate Primes|url=https://www.quantamagazine.org/mathematicians-find-a-new-class-of-digitally-delicate-primes-20210330/|url-status=live|access-date=2021-04-01|website=Quanta Magazine}}</ref>。

例えば[[294001]]は素数であって、294001を構成する数字のうち一つを他の数字に入れ替えた54個の数 （{{Nowrap|94001}}={{Nowrap|23}}×{{Nowrap|61}}×{{Nowrap|67}}, {{Nowrap|194001}}=3×{{Nowrap|64667}}, {{Nowrap|394001}}={{Nowrap|47}}×{{Nowrap|83}}×{{Nowrap|101}}, ...）は全て合成数である。従って294001は弱い素数である。

== 歴史 ==
1978年、Murray S. Klamkinは、これらの数字が存在するかどうかという問題を提起した。[[ポール・エルデシュ]]は、どの基数にも「弱い素数」が無数に存在することを証明した<ref name=":12">{{Cite web|last=Nadis|first=Steve|date=30 March 2021|title=Mathematicians Find a New Class of Digitally Delicate Primes|url=https://www.quantamagazine.org/mathematicians-find-a-new-class-of-digitally-delicate-primes-20210330/|url-status=live|access-date=2021-04-01|website=Quanta Magazine}}</ref>。

2007年、Jens Kruse Andersenは、1000桁の弱い素数 <math>(17 \times 10^{1000} - 17) / 99 + 21686652</math> を発見した<ref>{{cite web|author=Carlos Rivera|title=Puzzle 17 – Weakly Primes|url=http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_017.htm|access-date=18 February 2011|work=The Prime Puzzles & Problems Connection}}</ref>。これは、2011年の時点で知られている最大の弱い素数である。

== 例 ==
基数2から10の最小の弱い素数は次のとおり。
{| class="wikitable"
!基数
!基数
![[十進数]]
|-
|2
|1111111<sub>2</sub>
|{{000}}[[127]]
|-
|3
|{{0|000000}}2<sub>3</sub>
|{{0|00000}}[[2]]
|-
|4
|{{00}}11311<sub>4</sub>
|{{000}}[[373]]
|-
|5
|{{0|0000}}313<sub>5</sub>
|{{0|0000}}[[83]]
|-
|6
|{{0}}334155<sub>6</sub>
|{{0}}28151
|-
|7
|{{0|0000}}436<sub>7</sub>
|{{000}}[[223]]
|-
|8
|{{00}}14103<sub>8</sub>
|{{00}}6211
|-
|9
|{{000}}3738<sub>9</sub>
|{{00}}2789
|-
|10
|{{0}}294001<sub>10</sub>
|294001
|}
十進法の弱い素数は、小さい順に
294001, 505447, 584141, 604171, 971767, … と続く<ref>{{OEIS|A050249}}</ref>。

== 最初の桁を0にしない弱い素数 ==
最初の桁を0にしないという条件をつけると、弱い素数は次のようになる。294001, 505447, 584141, 604171, 929573, …<ref>{{OEIS|A158124}}</ref>

929573は最初の桁を0にしないという条件をつける弱い素数で最小の数である。929573の数字の最初の桁を0にした 029573 (29573) は素数で、それ以外は、929573の数字のうちどの一つを他の数字に入れ替えても合成数になる。このような素数は、小さい順に929573, 3070663, 5285767, 5974249, 7810223, … と続く ({{OEIS|A158125}})。

== 極端に弱い素数 ==
'''極端に弱い素数'''（きょくたんによわいそすう、{{lang-en-short|''extreme weakly prime number''}}）は弱い素数であって、その数字のうちどの1つを取り除いても、どこに数を1つ挿入しても合成数になるものである<ref>{{Cite web|和書|title=40144044691：極端に弱い素数|url=https://integers.hatenablog.com/entry/2017/06/15/123040|website=INTEGERS|date=1497497440|accessdate=2021-12-30|language=ja|last=integers}}</ref>。

例えば40144044691は弱い素数であって、その数字のうち1つを取り除いた数
0144044691 (144044691), 4144044691, 4044044691, 4014044691, 4014444691, 4014404691, 4014404491, 4014404461, 4014404469 と、
その数字に数を1つ挿入した '''1'''40144044691, 401'''3'''44044691, 40144044'''7'''691, 40144044691'''9''' などの数<ref group="注">(0)40144044691 = 40144044691は除く。</ref>が合成数になるので、40144044691は極端に弱い素数である。

極端に弱い素数は、小さい順に 40144044691, 58058453543, 89797181359, 185113489357, 213022025663, …<ref>{{OEIS|A199428}}より</ref>となる。

== 双子素数の弱い素数 ==
弱い素数である[[双子素数]]の組は、小さい順に
(64067207819, 64067207821), (86132413439, 86132413441), (343051899689, 343051899691), (841323181889, 841323181891), (889872452759, 889872452761), … となる<ref>{{OEIS|A185188}}</ref>。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Notelist2}}

=== 出典 ===
{{reflist}}

{{素数の分類}}
{{DEFAULTSORT:よわいそすう}}
[[Category:素数の類]]
[[Category:数学に関する記事]]