弱位相 (極位相)のソースを表示

{{Unreferenced|date=October 2014}}

[[函数解析学]]および関連する[[数学]]の分野において、'''弱位相'''（じゃくいそう、{{Lang-en-short|weak topology}}）とは、{{仮リンク|粗位相|label=粗|en|coarser topology}}[[極位相]]、すなわち、ある[[ベクトル空間の双対系|双対組]]上の最小の[[開集合]]を伴う[[位相空間|位相]]のことを言う。最も細かい（finest）極位相は、[[強位相 (極位相)|強位相]]と呼ばれる。

弱位相の下で、[[有界集合]]は[[相対コンパクト部分空間|相対コンパクト集合]]と一致する。この事実より重要な[[バナッハ＝アラオグルの定理|ブルバキ＝アラオグルの定理]]が導かれる。

== 定義 ==

[[ベクトル空間の双対系|双対組]] <math>(X,Y,\langle , \rangle)</math> が与えられたとき、'''弱位相''' <math>\sigma(X,Y)</math> は <math>X</math> 上の最も弱い極位相である。したがって

: <math>(X,\sigma(X,Y))' \simeq Y</math>

が成り立つ。すなわち、<math>(X,\sigma(X,Y))</math> の[[双対ベクトル空間|連続双対]]は、[[同型を除いて]] <math>Y</math> と等しい。

弱位相は次のように構成される：

<math>Y</math> 内のすべての <math>y</math> に対し、<math>X</math> 上の[[ノルム|半ノルム]]

:<math>p_y:X \to \mathbb{R}</math>

を、次のように定める：

:<math>p_y(x) := \vert \langle x , y \rangle \vert \qquad x \in X. </math>

この半ノルムの族は、<math>X</math> 上の[[局所凸位相ベクトル空間|局所凸位相]]を定義する。

== 例 ==

* [[ノルム線型空間]] <math>X</math> とその[[双対空間|連続双対]] <math>X'</math> が与えられたとき、<math>\sigma(X, X')</math> は <math>X</math> 上の[[弱位相]]と呼ばれ、<math>\sigma(X', X)</math> は <math>X'</math> 上の{{仮リンク|弱スター位相|en|Weak-star topology}}と呼ばれる。

{{DEFAULTSORT:しやくいそう きよくいそう}}
[[Category:関数空間の位相]]
[[Category:数学に関する記事]]