弱可測関数のソースを表示

[[数学]]の、特に[[関数解析学]]の分野における、ある[[バナッハ空間]]に値を取る'''弱可測関数'''（じゃくかそくかんすう、{{Lang-en-short|weakly measurable function}}）とは、その[[双対空間]]の任意の元との[[写像の合成|合成]]が通常の（強い）意味での[[可測関数]]であるような[[関数 (数学)|関数]]のことを言う。[[可分空間]]においては、弱可測性と強可測性の概念は一致する。

== 定義 ==
(''X'',&nbsp;&Sigma;) を[[可測空間]]とし、''B'' をある[[可換体|体]]（通常は[[実数|実数体]] '''R''' あるいは[[複素数|複素数体]] '''C'''）上で考えられるバナッハ空間とするとき、''f''&nbsp;:&nbsp;''X''&nbsp;&rarr;&nbsp;''B'' が'''弱可測'''であるとは、全ての[[線型汎関数|連続線型汎関数]] ''g''&nbsp;:&nbsp;''B''&nbsp;&rarr;&nbsp;'''K''' に対する関数

:<math>g \circ f \colon X \to \mathbf{K} \colon x \mapsto g(f(x))</math>

が、&Sigma; および '''K''' 上の通常の[[ボレル集合|ボレル ''&sigma;''-代数]]について可測関数であることを言う。

== 性質 ==
可測性と弱可測性の関係について、'''[[:en:B. J. Pettis|ペティス]]の定理'''あるいは'''ペティスの可測性定理'''として知られる次の結果が得られている。

<blockquote>
関数 ''f'' が'''[[ほとんど (数学)|ほとんど確実に]]可分値'''（あるいは'''本質的に可分値'''）であるとは、''&mu;''(''N'')&nbsp;=&nbsp;0 であり ''f''(''X''&nbsp;\&nbsp;''N'')&nbsp;&sube;&nbsp;''B'' が可分であるような部分集合 ''N''&nbsp;&sube;&nbsp;''X'' が存在することを言う。
</blockquote>

<blockquote>
'''定理''' （ペティス）'''：''' [[測度空間]] (''X'',&nbsp;&Sigma;,&nbsp;''&mu;'') 上で定義され、バナッハ空間 ''B'' に値を取る関数 ''f''&nbsp;:&nbsp;''X''&nbsp;&rarr;&nbsp;''B'' が、&Sigma; および ''B'' 上のボレル ''&sigma;''-代数について（強）可測であるための[[必要十分条件]]は、それが弱可測かつほとんど確実に可分値であることである。
</blockquote>

可分なバナッハ空間の任意の部分集合はそれ自身が可分であることから、''B'' が可分である場合、上述の ''N'' を空集合とすることで、弱可測性と強可測性の概念が一致する。

== 関連項目 ==
* [[ボホナー可測関数]]
* [[ボホナー積分]]
* [[ペティス積分]]
* [[ベクトル測度]]

== 参考文献 ==
* {{cite book
| last = Showalter
| first = Ralph E.
| title = Monotone operators in Banach space and nonlinear partial differential equations
| series = Mathematical Surveys and Monographs 49
| publisher = American Mathematical Society
| location = Providence, RI
| year = 1997
| page = 103
| isbn = 0-8218-0500-2
| id = {{MathSciNet|id=1422252}}
| contribution = Theorem III.1.1}}.

{{DEFAULTSORT:しやくかそくかんすう}}
[[Category:関数解析学]]
[[Category:測度論]]
[[Category:数学に関する記事]]