強位相 (極位相)のソースを表示

[[函数解析学]]と関連する[[数学]]の分野において、'''強位相'''（きょういそう、{{Lang-en-short|strong topology}}）とは、{{仮リンク|位相の比較|label=最も細かい|en|Comparison of topologies}}[[極位相]]、すなわちある[[ベクトル空間の双対系|双対組]]上で最大の[[開集合]]を伴う[[位相空間|位相]]である。{{仮リンク|位相の比較|label=最も粗い|en|comparison of topologies}}極位相は[[弱位相 (極位相)|弱位相]]と呼ばれる。

== 定義 ==
<math>(X,Y,\langle , \rangle)</math> を、[[実数]] <math>{\mathbb R}</math> あるいは[[複素数]] <math>{\mathbb C}</math> の[[可換体|体]] <math>{\mathbb F}</math> 上のベクトル空間の[[ベクトル空間の双対系|双対組]]とする。<math>{\mathcal B}</math> を、次に述べる意味で <math>Y</math> の元によって評価されているすべての部分集合 <math>B\subseteq X</math> の系とする。

:<math>
\forall y\in Y \qquad \sup_{x\in B}|\langle x, y\rangle|<\infty.
</math>

このとき、<math>Y</math> 上の'''強位相''' <math>\beta(Y,X)</math> は、次の形の半ノルムによって生成される <math>Y</math> 上の局所凸位相として定義される。

:<math>
\|y\|_B=\sup_{x\in B}|\langle x, y\rangle|,\qquad y\in Y,\qquad B\in{\mathcal B}.
</math>

<math>X</math> が[[局所凸位相ベクトル空間|局所凸空間]]であるような特別な場合には、（連続）[[双対ベクトル空間|双対空間]] <math>X'</math>（すなわち、すべての連続線型汎函数 <math>f:X\to{\mathbb F}</math> の空間）上の'''強位相'''は、強位相 <math>\beta(X',X)</math> で定義され、それは <math>X</math> 内の{{仮リンク|フォンノイマン有界|en|Bounded set (topological vector space)|label=有界集合}}の一様収束位相、すなわち次の形状の半ノルムによって生成される <math>X'</math> 上の位相と一致する。

:<math>
\|f\|_B=\sup_{x\in B}|f(x)|,\qquad f\in X'.
</math>

ただし <math>B</math> は <math>X</math> 内のすべての{{仮リンク|フォンノイマン有界|en|Bounded set (topological vector space)|label=有界集合}}の族について考えられる。この位相を備える空間 <math>X'</math> は、空間 <math>X</math> の'''強双対空間'''（strong dual space）と呼ばれ、<math>X'_\beta</math> と記述される。

== 例 ==
* <math>X</math> が[[ノルム線型空間]]であるなら、強位相を伴うその（連続）[[双対空間]] <math>X'</math> は、[[バナッハ空間|バナッハ双対空間]] <math>X'</math>、すなわち[[作用素ノルム]]によって誘起される位相を伴う空間 <math>X'</math> と一致する。逆に、<math>X</math> 上の <math>\beta(X, X')</math>-位相は、<math>X</math> 上の[[ノルム]]によって誘起される位相と一致する。

== 性質 ==
* <math>X</math> が[[樽型空間]]であるなら、その位相は <math>X</math> 上の強位相 <math>\beta(X,X')</math> や、組 <math>(X,X')</math> によって生成される <math>X</math> 上の[[マッキー位相]]と一致する。

== 参考文献 ==
* {{cite book
 | last = Schaefer
 | first = Helmuth H.
<!-- | authorlink = Helmuth Schaefer -->
 | year = 1966
 | title = Topological vector spaces
 | series=
 | volume=
 | publisher = The MacMillan Company
 | location = New York
 | isbn = 0-387-98726-6
}}

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{{DEFAULTSORT:きよういそう}}
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