弾性エネルギーのソースを表示

{{出典の明記|date=2011年7月}}
{{物理学}}
'''弾性エネルギー'''（だんせいエネルギー、{{Lang-en|elastic energy}}）とは、[[ばね]]や[[ゴム]]などの[[弾性体]]の変形に伴う[[エネルギー]]である。[[位置エネルギー]]の一種である。

== 一次元の線形弾性体 ==
[[フックの法則]]に従う[[ばね係数]] {{mvar|k}} のばねの伸びが {{mvar|x}} であるときの弾性エネルギーは
:<math>U=\frac{1}{2}kx^2</math>
で与えられる。

=== 導出 ===
一端が壁に固定されたフックの法則に従うばね係数 {{mvar|k}} のばねに接続された物体を考える。ばねの伸びが {{mvar|x}} のとき、ばねが物体に及ぼす力は {{math|1=''F'' = &minus;''kx''}} である。
ばねの伸びが {{mvar|&Delta;x}} だけ変化するとき、ばねに接続された物体は {{mvar|&Delta;x}} だけ移動する。
ばねの伸びの変化が充分に小さい場合には、ばねが及ぼす力は殆ど変化しないとみなすことができる。このとき、ばねが物体に行う[[仕事 (物理学)|仕事]]は
:<math>W =F\, \Delta x =-kx\, \Delta x</math>
である。
一方、ばねが物体に仕事を行うとき、ばねから物体にエネルギーが移動する。ばねの他端は壁に固定されているので、外部からのエネルギーの流入はない。従って、ばねが行う仕事の分だけばねが蓄えている弾性エネルギーが減少する。弾性エネルギーを {{mvar|U}}、その変化量を {{mvar|&Delta;U}} とすれば
:<math>W =-\Delta U</math>
である。

これら二つの式から
:<math>\Delta U=kx\, \Delta x</math>
が得られる。ばねの伸びが無限小の極限 {{math|''&Delta;x'' &rarr; 0}} で、[[微分係数]]が
:<math>\frac{dU}{dx} =kx</math>
となる。これを[[積分]]すれば
:<math>U=\frac{1}{2}kx^2 +U_0</math>
が導かれる。ここで {{math|''U''{{sub|0}}}} は積分定数であり、これは伸びが {{math|1=''x'' = 0}}、すなわちばねが自然な長さにあるときの弾性エネルギーを意味する。通常は {{math|1=''U''{{sub|0}} = 0}} と定める。

== 弾性エネルギーと応力 ==
先のばねの例において、ばねの伸び {{mvar|x}} を弾性体の歪み {{mvar|&epsilon;}} へ、<!-- ばねが及ぼす力 -kx の反作用 -->物体がばねに及ぼす力 {{mvar|kx}} を、弾性体の[[応力]] {{mvar|&sigma;}} へと置き換えれば、応力が[[偏微分係数]]
{{Indent|
<math>\sigma_a(\epsilon)  =\frac{\partial U}{\partial\epsilon_a}</math>
}}
として表され、弾性エネルギーはこの積分として
{{Indent|
<math>U(\epsilon) =\int \sum_a \sigma_a(\epsilon)\, d\epsilon_a</math>
}}
で与えられる。弾性エネルギーは弾性体の変形の関数として定まるエネルギーであり、先の一次元線形弾性体の例では、ばねの伸び {{mvar|x}} の関数として与えられている。応力と歪みは一般に[[テンソル]]であり、テンソル添え字を {{mvar|a}} で表している。

応力を歪みの関数として与える関係式は[[構成方程式]]であり、弾性エネルギーと構成方程式は一方が分かれば、他方が偏微分あるいは積分として得られる関係にある。[[モデル (自然科学)|理論モデル]]としてはどちらを先に与えても等価であるが、実験的には構成方程式が先に決定され、その積分として弾性エネルギーを導かれる場合が多い。

== 弾性エネルギーの例 ==
弾性エネルギーは例として伸びている「ゴム」や「ばね」などのことを言う。弓が元に戻ろうとする力で飛ぶ矢など。

== 熱力学との関係 ==
弾性エネルギーは、弾性体の性質の力学的な側面だけを考えているが、弾性体の性質は温度によっても変化する。その最たる例として、温度変化による変形である[[熱膨張]]が挙げられる。弾性エネルギーは変形の関数であるが、温度と変形の関数として定まるエネルギーが[[自由エネルギー]]である。自由エネルギーの偏微分としては[[状態方程式 (熱力学)|状態方程式]]が得られる。

== 関連項目 ==
* [[弾性]] - [[構成方程式]]
* [[仕事 (物理学)|仕事]]
* [[力学的エネルギー]]

{{Sci-stub}}

{{DEFAULTSORT:たんせいえねるきい}}
[[Category:力学]]
[[Category:エネルギー]]

[[simple:Elastic energy]]
[[sv:Elastisk energi]]