弾性曲線方程式のソースを表示

[[File:Elastic curve.svg|thumb|right|300px|[[はり部材]]に集中荷重（緑色）が作用した時の弾性（たわみ）曲線（橙色）]]
[[構造力学]]および[[材料力学]]において'''弾性曲線方程式'''（だんせいきょくせんほうていしき、{{lang-en|elastic curve equation}}）は、[[はり部材]]が外力を受けた後の、全変位・変形後の形状を示す曲線（弾性曲線）<ref name="yoshida_76">[[#yoshida|吉田(1967)]]、p.76。</ref>を表す次の方程式のことである<ref name="sakimoto_153">[[#sakimoto|崎本(1991)]]、p.153。</ref>。
{{indent|<math>\frac{d^2v}{dx^2} = -\frac{M}{EI}.</math>}}
ここで、<math>v</math>はたわみ、<math>x</math>は断面の位置、<math>M</math>は[[曲げモーメント]]、<math>EI</math>は[[曲げ剛性]]（材料定数）である。

通常、はりを固定する[[支点]]は変位しないと考えるため、弾性曲線は'''たわみ曲線'''（たわみきょくせん、{{lang-en|deflection curve equation}}）と一致する<ref name="yoshida_76" />（以降は「弾性曲線」と呼ぶが、「たわみ曲線」と言い換えても差し支えない）。
言い換えれば、弾性曲線とは、はり部材に荷重が作用した時のはりの部材中心軸が示す曲線とも言える<ref name="yoneda_147">[[#yoneda|米田(2003)]]、p.147。</ref>。

== たわみ角とたわみ ==
[[File:Deflection of simble beam.svg|thumb|center|400px|{{Anchors|図1}}図1：単純梁のの中央に荷重<math>P</math>がかかった時の、たわみ<math>v</math>とたわみ角<math>\theta</math>]]
この時、変形前のはりの中心軸から、変形後の、はりの中心軸の[[変位]]を'''たわみ'''（{{lang-en|deflection}}<ref name="sakimoto_151">[[#sakimoto|崎本(1991)]]、p.151。</ref>）と呼び、たわみがなす線を'''弾性曲線'''あるいは'''たわみ曲線'''といい、弾性曲線の接線と変形前のはりの中心軸とのなす角を'''たわみ角'''（{{lang-en|deflection angle, slope}}<ref name="sakimoto_151" />）という<ref name="yoneda_147">[[#yoneda|米田(2003)]]、p.147。</ref>。

== 弾性曲線方程式の仮定と誘導 ==
弾性曲線方程式の誘導には、まず、はりの変形に対して
* 変形後も、部材軸に直角な断面は直角なままである（'''ベルヌーイ・オイラーの仮定'''もしくは'''平面直角保持の仮定'''、あるいは'''ベルヌーイ・ナビエの仮説'''）。
* 変形後も、断面の形状は変化しない（'''断面形状不変の仮定'''）。
* 変形は微小である（'''[[微小変位理論]]'''）。
というような状態を仮定する<ref name="nishihase_67">[[#nishihase|西野・長谷川(1983)]]、p.67。</ref>（その妥当性に関しては後述）。

=== ベルヌーイ・オイラーの仮定 ===
{{節stub}}
[[File:Euler-Bernoulli beam theory-2.svg|thumb|200px|right|ベルヌーイ・オイラーの仮定を満たすはり（ベルヌーイ・オイラーばり）は、変形後も断面が軸に垂直となっている。]]
長さ<math>l</math>、1辺の長さが<math>b</math>の[[正方形|正方]]断面はり部材に分布荷重<math>p</math>が作用しているとき、垂直断面にかかる[[垂直応力]]<math>\sigma_{xx}</math>および[[せん断応力]]<math>\sigma_{xz}</math>のオーダー（大きさ）は、
{{indent|<math>\sigma_{xx} = O \left( \frac{pl^2}{b^3} \right),</math>}}
{{indent|<math>\sigma_{xz} = O \left( \frac{pl}{b^2} \right)</math>}}
となる<ref name="nishihase_65-66">[[#nishihase|西野・長谷川(1983)]]、pp.65-66。</ref>。
はり部材は、高さに比べて長さが十分に長いと考えられるので、また、[[せん断弾性係数]]と[[弾性係数]]は同程度のオーダー（大きさ）であるので、結局、軸方向の圧縮引張変形に対して、せん断変形が非常に小さくなる。

よって、はり部材においては、「せん断変形はゼロ」と考えてよく、せん断変形がゼロであるなら「垂直断面は、変形後も部材軸に対して垂直」と考えても問題がない。これが、'''ベルヌーイ・オイラーの仮定'''（ベルヌーイオイラーのかてい、{{lang-en|Bernoulli-Euler theory}}）あるいは'''平面・直角保持の仮定'''（へいめんちょっかくほじのかてい）である<ref name="nishihase_66">[[#nishihase|西野・長谷川(1983)]]、pp.66。</ref>。

=== 断面形状不変の仮定 ===
「[[#ベルヌーイ・オイラーの仮定|ベルヌーイ・オイラーの仮定]]」節と同様の条件で、部材軸と同じ方向の応力<math>\sigma_{zz}</math>を考えると、そのオーダー（大きさ）は、
{{indent|<math>\sigma_{zz} = O \left( \frac{p}{b} \right)</math>}}
となる<ref name="nishihase_67"/>。

ゆえに、同様の議論から、部材軸に垂直方向の変形は、軸方向の圧縮引張変形に比べて非常に小さくなる。
これより、「変形後も断面形状は変化しない」と考えられ、これを'''断面形状不変の仮定'''（だんめんけいじょうふへんのかてい）と言う<ref name="nishihase_67" />。

=== 微小変位 ===
[[File:BeamBendingUpdated.svg|thumb|right|300px|はり部材の一部を切り出した様子。<math>\theta</math>はたわみ角、<math>d\theta</math>は微小長さ<math>dx</math>を取り出した時のたわみ角の変化量、<math>\rho</math>は[[曲率半径]]、<math>w</math>は変位である<ref group="注">記事中ではたわみは<math>v</math>で表されている。</ref>]]
一般的に、ある曲線<math>y = f(x)</math>という曲線に対して、その[[曲率半径]]<math>\rho</math>には
{{indent|<math>\frac{1}{\rho} = \pm \frac{y''}{\left( 1 + (y')^2 \right)^{3/2}}</math>}}
という関係がある<ref name="yoshida_77">[[#yoshida|吉田(1967)]]、p.77。</ref>。

ここで<math>y</math>をはりのたわみとすれば、<math>dy/dx = \tan \theta</math>（<math>\theta</math>はたわみ角）となるが、'''微小変位の仮定'''（びしょうへんいのかてい）により、たわみ角は十分に小さく、<math>\tan \theta \ll 1</math>となるため、微小変位の仮定を用いると、曲率半径とたわみには
{{indent|<math>\frac{1}{\rho} = \pm \frac{d^2y}{dx^2}</math>}}
という関係が得られる。

== 弾性曲線方程式の解法 ==
弾性曲線方程式そのものは微分方程式であるが、これを解く方法には以下のようなものがある<ref name="sakimoto_151">[[#sakimoto|崎本(1991)]]、p.151。</ref>。
# 境界条件を用いて、微分方程式を直接解く方法
# [[モールの定理]]を用いた、弾性荷重法を用いる方法
# エネルギー保存則（[[仮想仕事の原理]]）を用いる方法

=== 微分方程式の直接解法 ===
{{節stub}}
弾性曲線方程式を積分系に直せば、
{{indent|<math>v = -\iint M dx^2 + C_1 x+ C_2</math>}}
となるので、残りの積分定数<math>C_1</math>と<math>C_2</math>を、[[支点]]などの境界条件から決定すれば、弾性曲線を求めることができる<ref name="sakimoto_154">[[#sakimoto|崎本『構造力学 [上]』]]、p.154。</ref>。

=== 弾性荷重法 ===
{{main|モールの定理}}
弾性荷重法では、微分方程式を直接解くことなく、力の釣り合いなどから曲げモーメントを求める操作のみで、以下のようにたわみを求める<ref name="sakimoto_165">[[#sakimoto|崎本『構造力学 [上]』]]、p.165。</ref>
# 曲げモーメント<math>M</math>を求める。
# 与えられたはりに対応する[[共役ばり]]を生成し、そこに[[弾性荷重]]<math>z = M/EI</math>を載荷する。
# 共役ばりのせん断力相当量が、与えられたはりのたわみ角となる。
# 共役ばりの曲げモーメント相当が、与えられたはりのたわみとなる。

=== 仮想仕事の原理を用いる方法 ===
{{main|仮想仕事の原理}}
{{節stub}}

== 各諸量とたわみの関係 ==
たわみ<math>v</math>と曲げモーメント<math>M</math>は、冒頭で述べたとおり、
{{indent|<math>\frac{dv^2}{dx^2} = -\frac{M}{EI}</math>}}
の関係で記述される。
一方、「[[#たわみ角とたわみ|たわみ角とたわみ]]」節で述べたとおり、たわみの1階微分がたわみ角に等しいので、弾性曲線方程式は、
{{indent|<math>\frac{d\theta}{dx} = -\frac{M}{EI}</math>}}
とも書ける。

さらに、曲げモーメント<math>M</math>と[[せん断力]]<math>Q</math>、分布鉛直荷重強度<math>p</math>には
{{indent|<math>Q = \frac{dM}{dx},</math>}}
{{indent|<math>p = -\frac{dQ}{dx}</math>}}
という関係<ref name="yoneda_149">[[#yoneda|米田(2003)]]、p.149。</ref>があるので、これを代入すると、次のような方程式を得る<ref name="sakimoto_153" />。
{{indent|<math>\frac{d^3v}{dx^3} = \frac{Q}{EI},</math>}}
{{indent|<math>\frac{d^4v}{dx^4} = \frac{p}{EI}.</math>}}
つまり、弾性曲線方程式は、「たわみの4階微分が、分布鉛直荷重強度を曲げ剛性で割ったものに等しい」と言い換えられる。

これらの関係は、まとめると次のようになる。
{| class = "wikitable"
|+ 弾性曲線方程式の様々な表示
! 
! たわみ
! たわみ角
! 曲げモーメント
! せん断力
! 分布荷重強度
|-
! たわみ(<math>v=</math>)
| <math>v</math>
| <math>     \int \theta dx   + C_1</math>
| <math>-   \iint      M dx^2 + C_1 x   + C_2</math>
| <math>-  \iiint      Q dx^3 + C_1 x^2 + C_2 x   + C_3</math>
| <math>  \iiiint      p dx^4 + C_1 x^3 + C_2 x^2 + C_3 x + C_4</math>
|-
! たわみ角(<math>\theta=</math>)
| <math>\frac{dv}{dx}</math>
| <math>\theta</math>
| <math>-   \int M dx   + C_1</math>
| <math>-  \iint Q dx^2 + C_1 x   + C_2</math>
| <math>  \iiint p dx^3 + C_1 x^2 + C_2 x   + C_3</math>
|-
! 曲げモーメント(<math>M=</math>)
| <math>-EI \frac{d^2v}{dx^2}</math>
| <math>-EI \frac{d\theta}{dx}</math>
| <math>M</math>
| <math>   \int Q dx   + C_1</math>
| <math>- \iint p dx^2 + C_1 x   + C_2</math>
|-
! せん断力(<math>Q=</math>)
| <math>-EI \frac{d^3v}{dx^3}</math>
| <math>-EI \frac{d^2\theta}{dx^2}</math>
| <math>\frac{dM}{dx}</math>
| <math>Q</math>
| <math>- \int p dx   + C_1</math>
|-
! 分布荷重強度(<math>p=</math>)
| <math>EI \frac{d^4v}{dx^4}</math>
| <math>EI \frac{d^3\theta}{dx^3}</math>
| <math>-\frac{d^2M}{dx^2}</math>
| <math>-\frac{dQ}{dx}</math>
| <math>p</math>
|-
| colspan="6" | <math>C_1</math>、<math>C_2</math>、<math>C_3</math>、<math>C_4</math>はそれぞれ積分定数で、はり部材の各境界条件から決定される値である。
|}

== 注釈 ==
<references group="注" />

== 参考文献 ==
*{{Cite book|和書
 |author    = 崎本達郎
 |year      = 1991
 |title     = 基礎土木工学シリーズ1 構造力学 [上]
 |publisher = [[森北出版]]
 |isbn      = 4-627-42510-4
 |ref       = sakimoto
 }}
*{{Cite book|和書
 |author    = 吉田俊弥
 |year      = 1967
 |title     = 朝倉土木工学講座2 構造力学
 |publisher = [[朝倉書店]]
 |isbn      = 978-4254264326
 |ref       = yoshida
 }}
*{{Cite book|和書
 |author    = 西野文雄、長谷川彰夫
 |editor    = [[土木学会]]
 |year      = 1983
 |title     = 新体系土木工学7 構造物の弾性解析
 |publisher = 技報堂出版
 |isbn      = 4-7655-1107-3
 |ref       = nishihase
 }}
*{{Cite book|和書
 |author    = 二見秀雄
 |year      = 1963
 |title     = 構造力学 改訂版
 |publisher = 市ヶ谷出版社
 |isbn      = 978-4870711013
 |ref       = hutami
 }}
*{{Cite book|和書
 |author    = 米田昌弘
 |year      = 2003
 |title     = 構造力学を学ぶ ～基礎編～
 |publisher = 森北出版
 |isbn      = 4-627-46511-4
 |ref       = yoneda
 }}
{{Reflist|3}}

{{tech-stub}}

{{Normdaten}}
{{デフォルトソート:たんせいきよくせんほうていしき}}
[[カテゴリ:構造力学]]
[[Category:固体力学]]
[[Category:弾性]]
[[Category:レオンハルト・オイラー]]