弾性率のソースを表示

{{出典の明記|date=2011年7月}}
'''弾性率'''（だんせいりつ、{{lang-en|elastic modulus}}）は、[[変形]]のしにくさを表す[[物性値]]であり、[[弾性変形]]における[[応力]]と[[ひずみ]]の間の比例定数の総称である。'''弾性係数'''あるいは'''弾性定数'''とも呼ばれる<ref>{{cite book|和書 |editor=日本機械学会 |title=機械工学辞典
|publisher=丸善 |year=2007 |edition=第2版 |ISBN=978-4-88898-083-8 |page=816 }}</ref>。

1807年に[[トマス・ヤング]]によって導入された<ref>{{cite|和書 |author=小林英男|author2=轟章 |title=固体の弾塑性力学 |publisher=数理工学社 |year=2007 |isbn=978-4-901683-51-7 |page=14}}</ref>。

== 種類 ==
[[File:単純な伸長変形のモデル.jpg|thumb|単純な伸長変形のモデル。L_0は元長、Lは変形後長さ、εは伸長ひずみ、fは力、A_0は変形前における力と垂直な断面積、σは応力、Eは伸長弾性率、η_Eは伸長粘度、上にドットの付いたεは伸長ひずみの時間微分である。]]
[[File:剪断変形.jpg|thumb|単純な剪断変形のモデル。dは変位、hは力と垂直な厚さ、αは倒れ角、γは剪断ひずみ、fは力、A_0は変形前における力と平行な断面積、σは応力、Gは剪断弾性率、ηは剪断粘度、上にドットの付いたγは剪断ひずみの時間微分である。]]
[[File:単純な体積変形のモデル.jpg|thumb|単純な体積変形のモデル。V_0は元体積、Vは変形後体積、κは体積ひずみ、fは力、A_0は変形前における表面積、σは応力、Kは体積弾性率、η_Vは体積粘度、上にドットの付いたκは体積ひずみの時間微分である。]]
弾性率は、[[弾性変形]]における[[応力]]と[[ひずみ]]の間の比例定数(応力/ひずみ)であり、加えられた外力([[応力]])を分子、応力によって引き起こされたひずみを分母とした商である<ref name=Nakamae1988 />。
:弾性率 = 応力/ひずみ
ひずみは無次元であるので、弾性率は応力と同じ[[量の次元|次元]]を持ち、[[国際単位系|SI]]における単位は[[パスカル (単位)|パスカル]]（記号: Pa）、[[ニュートン (単位)|ニュートン]]毎[[平方メートル]]（記号: N/m<sup>2</sup>）が用いられる。また、弾性率の逆数を'''弾性コンプライアンス定数'''や単に'''弾性コンプライアンス'''という。単位は1/Pa、m<sup>2</sup>/N。

弾性変形は伸長(または圧縮)変形、剪断変形、体積変形の3つの種類に分けられ、従って弾性率も3種類ある。それぞれひずみの定義は異なる。
*引張弾性率<math>E</math> ：引張力や圧縮力などの単軸応力についての弾性率。[[ヤング率]]（縦弾性係数）。
:<math>E = \frac{\sigma}{\varepsilon}</math>
: 伸長ひずみ<math>\varepsilon = \frac{L - L_0}{L_0}</math>（<math>L_0</math>は元々の長さ、<math>L</math>は引張後長さ）
:伸長粘度<math>\eta_E = \frac{\sigma}{d\varepsilon / dt}</math>（{{Math|t}}は時間）
*剪断弾性率<math>G</math> ：[[せん断力]]についての弾性率。[[剛性率]]（ずり弾性率・横弾性係数・せん断弾性係数・ラメの第二定数）。
:<math>G = \frac{\sigma}{\gamma}</math>
:剪断ひずみ<math>\gamma = \frac{d}{h} = \tan \alpha</math>（<math>d</math>は剪断により面が剪断力方向に移動した距離、<math>h</math>は剪断力方向と垂直な試料厚さ、<math>\alpha</math>は、試料の面が長方形から[[平行四辺形]]になるときの倒れ角）
:剪断粘度<math>\eta = \frac{\sigma}{d\gamma/dt}</math>
*[[体積弾性率]]<math>K</math> ：[[静水圧]]（直角3方向の力）についての弾性率。
:<math>K = \frac{\sigma}{\kappa}</math>
:体積ひずみ<math>\kappa = \frac{V - V_0}{V_0}</math>（<math>V_0</math>は元々の体積、<math>V</math>は変形後体積）
:体積粘度<math>\eta_V = \frac{\sigma}{d\kappa/dt}</math>
*&lambda;：[[ラメ定数|ラメの第一定数]]（ラメの弾性係数）

== テンソル量としての弾性率 ==
2階のテンソル量である応力{{math|'''&sigma;'''}}とひずみ{{math|'''&epsilon;'''}}に対して、弾性率{{math|'''''D'''''}}は4階の[[テンソル]]量で表すことができる<ref name = "構成方程式の基本知識"/>。
:<math>\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{D} \boldsymbol{\epsilon},</math>
:<math>\sigma_{ij}= D_{ijkl} \epsilon_{kl}\quad(i,j,k,l =1\sim3)</math><ref>[[総和規約]]を用いており、[[総和|総和記号]]が省略されていることに注意。</ref>

弾性率はテンソルであるため、[[材料の構成式#物質客観性の原理|物質客観性の原理]]により座標変換において{{math|&sigma;{{=}}''D''&epsilon;}}の関係を保たねばならない。座標系{{math|O-''x''<sub>1</sub>''x''<sub>2</sub>''x''<sub>3</sub>}}から{{math|O-''x'' '<sub>1</sub>}}{{math|''x'' '<sub>2</sub>}}{{math|''x'' '<sub>3</sub>}}へ変換するとき、弾性率テンソルの成分は
:<math>D'_{ijmn}=D_{pqrs} l_{ip} l_{jq} l_{mr} l_{ns}</math>
と変換される<ref name=nakasone/>。ここで{{math|''l<sub>ip</sub>''}}は、{{math|''x<sub>i</sub>''}}軸と{{math|''x'<sub>p</sub>''}}軸の[[方向余弦]]である。

弾性率テンソルは81(= 3<sup>4</sup>)個の成分を持つが、応力テンソル{{math|'''&sigma;'''}}とひずみテンソル{{math|'''&epsilon;'''}}は対称性、すなわち
:<math>\sigma_{ij}=\sigma_{ji},\quad \epsilon_{ij}=\epsilon_{ji}</math>
によりそれぞれ独立な6成分を持つので、弾性率テンソル{{math|'''''D'''''}}も
:<math>D_{ijkl}=D_{jilk}</math>
の性質を持ち、独立な成分は36(= 6<sup>2</sup>)個となる。さらに単位体積あたりの[[弾性ひずみエネルギー]]
:<math>dW\equiv \sigma_{ij}\,d\epsilon_{ij}</math>
を用いて弾性率が
:<math>D_{ijkl}=\frac{\partial^2 W}{\partial\epsilon_{ij} \partial\epsilon_{kl}}</math>
と表せることから
:<math>D_{ijkl}=D_{klij}</math>
が成り立つため、最終的に弾性率テンソル{{math|'''''D'''''}}の独立な成分は21(= 6&times;(6+1)/2)個となる<ref name=nakasone>{{cite|和書|editor=中曽根祐司|title=異方性材料の弾性論|publisher=コロナ社|year=2014|isbn=978-4-339-04633-5|pages=80-83}}</ref>。

== 等方均質材料の弾性率の相関関係 ==
一般に、等方性物質（無定形ポリマー、非晶性・無配向[[重合体|ポリマー]]など）では3種の弾性率（引張弾性率<math>E</math>、剪断弾性率<math>G</math>、体積弾性率<math>K</math>）の関係について次式が成り立つ<ref name=Nakamae1988 />。
:<math>E = 2G(1 - \nu) = 3K(1 - 2\nu)</math>
ここで、<math>\nu</math>とは、縦方向のひずみと横方向のひずみとの比([[ポアソン比]])である。結晶性ポリマー、繊維、フィルム、繊維充填複合材料、一般の射出成形物などは等方性物質ではない。高分子鎖、充填繊維、結晶相などに配向を持ち、その程度は内部と表面で異なる。これ異方性物質は、独立した2つ以上の弾性率を持つ<ref name=Nielsen1980 />。

材料が等方均質弾性材料とすると、弾性率テンソル'''''D''''' の独立な成分は2個まで絞られ<ref name="構成方程式の基本知識">{{Cite web|和書|author=吉川弘道|authorlink=吉川弘道|url= http://c-pc8.civil.tcu.ac.jp/RC/ciber/conc/conc_pdf/kouseisoku.pdf |title= 構成方程式の基本知識―考え方と定式化― |format=PDF |accessdate=2020-04-26}}</ref>、次式のように書ける<ref>{{cite|和書 |author=井田喜明 |title=自然災害のシミュレーション入門 |publisher=朝倉書店 |year=2014 |isbn=978-4-254-16068-0 |page=14}}</ref>。
:<math>D_{ijkl}=\lambda\delta_{ij}\delta_{kl}+G(\delta_{ik}\delta_{jl}+\delta_{il}\delta{jk})</math>
ここで&delta;は[[クロネッカーのデルタ]]である。

この場合、ヤング率''E'' 、ポアソン比&nu;、体積弾性率''K'' 、剛性率''G'' 、ラメの第一定数&lambda;の5つの弾性率はそれぞれ、2つを用いて残りの3つを表すことができる。その関係を下に示す。ここで、{{math|&alpha; {{=}} (''E''<sup>2</sup> + 9&lambda;<sup>2</sup> + 2''E'' &lambda;)<sup>1/2</sup>}} とする。

{| class="wikitable mw-collapsible" style="margin:0 auto"  align="center"
! colspan=11 |等方均質弾性体における各弾性率間の変換式
|-align="center"
!  !! <math>E</math>（[[ヤング率]]）  !! <math>\nu</math>（[[ポアソン比]]） !! <math>K</math>（[[圧縮率#体積弾性率|体積弾性率]]） !! <math>G</math> （[[剛性率]]）!! <math>\lambda</math>（[[ラメ定数|ラメの第一定数]]）
|-align="center"
! <math>E, \nu</math>
| <math>E</math> || <math>\nu</math> || <math>\dfrac{E}{3(1-2\nu)}</math> || <math>\dfrac{E}{2(1+\nu)}</math> || <math>\dfrac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}</math>
|-align="center"
! <math>E, K</math>
| <math>E</math>
| <math>\dfrac{3K-E}{6K}</math>
| <math>K</math>
| <math>\dfrac{3K E}{9K-E}</math>
| <math>\dfrac{3K(3K-E)}{9K-E}</math>
|-align="center"
! <math>E, G</math>
| <math>E</math>
| <math>\dfrac{E-2G}{2G}</math>
| <math>\dfrac{G E}{3(3G-E)}</math>
| <math>G</math>
| <math>\dfrac{G(E-2G)}{3G-E}</math>
|-align="center"
! <math>E, \lambda</math>
| <math>E</math>
| <math>\dfrac{2\lambda}{E+\lambda+\alpha}</math>
| <math>\dfrac{E+3\lambda+\alpha}{6}</math>
| <math>\dfrac{E-3\lambda+\alpha}{4}</math>
| <math>\lambda</math>
|-align="center"
! <math>\nu, K</math>
| <math>3K(1-2\nu)</math>
| <math>\nu</math>
| <math>K</math>
| <math>\dfrac{3K(1-2\nu)}{2(1+\nu)}</math>
| <math>\dfrac{3K\nu}{1+\nu}</math>
|-align="center"
! <math>\nu, G</math>
| <math>2G(1+\nu)</math>
| <math>\nu</math>
| <math>\dfrac{2G(1+\nu)}{3(1-2\nu)}</math>
| <math>G</math>
| <math>\dfrac{2G\nu}{1-2\nu}</math>
|-align="center"
! <math>\nu, \lambda</math>
| <math>\dfrac{\lambda(1+\nu)(1-2\nu)}{\nu}</math>
| <math>\nu</math>
| <math>\dfrac{\lambda(1+\nu)}{3\nu}</math>
| <math>\dfrac{\lambda(1-2\nu)}{2\nu}</math>
| <math>\lambda</math>
|-align="center"
! <math>K, G</math>
| <math>\dfrac{9KG}{3K+G}</math>
| <math>\dfrac{3K-2G}{6K+2G}</math>
| <math>K</math>
| <math>G</math>
| <math>K-\frac{2}{3}G</math>
|-align="center"
! <math>K, \lambda</math>
| <math>\dfrac{9(K-\lambda)}{3K-\lambda}</math>
| <math>\dfrac{\lambda}{3K-\lambda}</math>
| <math>K</math>
| <math>\frac{3}{2}(K-\lambda)</math>
| <math>\lambda</math>
|-align="center"
! <math>G, \lambda</math>
| <math>\dfrac{G(3\lambda+2G)}{\lambda+G}</math>
| <math>\dfrac{\lambda}{2\lambda+2G}</math>
| <math>\dfrac{3\lambda+2G}{3}</math>
| <math>G</math>
| <math>\lambda</math>
|}

== 複素弾性率 ==
{{main|粘弾性#複素弾性率}}
{{see also|動的弾性率}}
[[粘弾性体]]に対しては、弾性率は[[複素数]]で表される。複素弾性率の実部は貯蔵弾性率、虚部は損失弾性率と呼ばれる。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist|refs=
<ref name=Nakamae1988>{{cite journal |author=中前勝彦 |journal=高分子 |title=入門講座　弾性率および粘弾性 |volume=37 |issue=11 |pages=826-829 |date=Nov 1988 |url=https://doi.org/10.1295/kobunshi.37.826 |doi=10.1295/kobunshi.37.826}}</ref>
<ref name=Nielsen1980>{{cite book |author=L. E. Nielsen：小野木重治 訳 |title=高分子と複合材料の力学的性質 |publisher=化学同人 |date=1980 |pages=26 }}</ref>
}}

== 関連項目 ==
*[[弾性]]
*[[剛性]]
*[[フックの法則]]
*[[ヤング率]]

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:たんせいりつ}}
[[Category:物性値]]
[[Category:物理量]]
[[Category:弾性]]
[[Category:変形]]