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[[画像:Tricoloring.png|thumb|right|150px|[[三葉結び目]]は3彩色可能である]]
'''彩色数'''（さいしょくすう）とは、[[位相幾何学]]の一分野である[[結び目理論]]において、結び目や絡み目の[[不変量]]のひとつである。

==彩色可能性==
===3彩色可能性===
結び目（絡み目）の射影図において、ある交点から別の交点までつながった一部分で、両端の交点では下を通るが途中では交点の（上を通ったとしても）下を通らない場合にその部分を'''道'''と呼ぶ。ただし自明な結び目の射影図も道とする。
このように道という語を定義したときに、射影図の各交点に3つの道が集まることになる（ただしそのうち2個は重複している可能性もある）。
ここで以下の2つの条件をともに満たすように結び目（絡み目）の射影図の道を3つ以下の異なる色で彩色できるとき、その結び目（絡み目）は3彩色可能であるという。
#任意の交点において、その交点に集まる3つの道は全て同じ色に塗られている、または3色の異なる色で塗られている
#射影図全体に2色以上の色が使われている
たとえば[[三葉結び目]]、2成分の[[自明な絡み目]]が3彩色可能であるのに対して[[8の字結び目]]、ホップ絡み目、ホワイトヘッド絡み目は3彩色不可能である。3彩色可能性は[[ライデマイスター移動]]によって変化しないため、結び目不変量となる。よって三葉結び目が解けていないこと、三葉結び目と8の字結び目が異なる結び目であること、ホップ絡み目やホワイトヘッド絡み目が自明な2成分の絡み目でないことがわかる。<ref>『結び目理論とその応用』59-60頁。</ref><ref>『結び目の数学』23-27頁。</ref>

上の2つの条件のうち、2番目の条件を外すと全ての結び目・絡み目の射影図が3彩色可能となるが、このときの彩色の方法の総数を'''3彩色数'''という<ref>『結び目と量子群』35頁。</ref>。これも結び目の不変量となる<ref>『結び目と量子群』38頁。</ref>。例えば自明な結び目の3彩色数は3、三葉結び目の3彩色数は9である。

===p彩色可能性===
前述の3彩色可能性を拡張し、以下のようにして[[素数]] ''p'' に対してp彩色可能性を定義することができる<ref>『結び目理論とその応用』61頁。</ref>。

まず絡み目の射影図の道に対して、（3つの色の代わりに）0以上 ''p''-1 以下の''p''種類の[[自然数]]を対応させることにする。このとき、前述のように各交点には3つの道が集まっているため、上側を通る道につける自然数をx、下側を通る2つの道につける自然数をy,zとしたとき、
:<math> 2x \equiv y + z\quad (\text{mod }p) \,</math><ref group="注">記号modの意味は[[合同式]]を参照。</ref>
が各交点ごとに成立するように自然数を振る。この条件を満たしなおかつ射影図全体で2種類以上の自然数がふられているような彩色ができたときに、その射影図はp彩色可能であると定義する。

3彩色可能性と同様に、p彩色可能性も絡み目の不変量となる。

==彩色数==
絡み目はいくつかの異なる''p''に対してp彩色可能性を満たすことがありうる。そこで、絡み目がp彩色可能となるような最小のpをその結び目の'''彩色数'''と定義する。彩色数は結び目の不変量となる。<ref>『結び目理論とその応用』62頁。</ref>

==脚注==
{{reflist|group=注}}

==参考文献==
* [[C・C・アダムス]]著、[[金信泰造]]訳 『結び目の数学』 [[培風館]]、1998年。ISBN 978-4563002541。
* [[村杉邦男]] 『結び目理論とその応用』 [[日本評論社]]、1993年。ISBN 978-4535781993。
* [[村上順]] 『結び目と量子群』[[朝倉書店]]、2000年。ISBN 978-4254115536。
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