径のソースを表示

{{otheruses}}
[[初等幾何学]]における[[図形]]の'''径'''（けい、{{lang-en-short|''diameter''}}）は、その図形の差し渡しをいう。{{lang-el|''διάμετρος''}}（{{el|''δια-''}}「亙りの」+ {{el|''μέτρον''}}「大きさ」）<ref>[http://www.etymonline.com/index.php?term=diameter Online Etymology Dictionary]</ref> に由来する。
[[File:Circle-withsegments.svg|thumb|200px|right|[[円周]]{{mvar|C}}(黒), 直径{{mvar|D}}(水色), 半径{{mvar|R}}(赤), 中心{{mvar|O}}(紫) の円]]
[[円 (数学)|円]]の直径は、その円の中心を通り、両端点がその円周上にある任意の[[線分]]であり、またその円の最長の[[弦 (幾何学)|弦]]でもある。[[球体]]の直径についても同様。

より現代的な用法では、任意の直径の（一意な）長さ自身も同じく「直径」と呼ばれる（一つの円に対して線分の意味での直径は無数にあるが、その何れも同じ長さを持つことに注意する。それゆえ（量化を伴わず）単に円の直径といった場合、ふつうは長さとしての意味である）。長さとして、直径は[[半径]] (radius) の二倍に等しい。

[[平面]]上の[[凸集合|凸図形]]に対して、その径は図形の両側から接する二本の[[平行線]]の間の最長距離として定義される（同様の最小距離は'''幅''' (width) と呼ばれる）。径（および幅）は{{仮リンク|回転キャリパー法|en|rotating calipers}}を用いて効果的に計算することができる<ref>{{cite journal
| author = Toussaint, Godfried T.
| title = Solving geometric problems with the rotating calipers
| publisher=Proc. MELECON '83, Athens 
|url=http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.155.5671 
|year = 1983
}}</ref>。[[ルーローの三角形]]のような[[定幅図形]]では、任意の平行接線が同じ長さを持つから、径と幅は一致する。

== 定義 ==
円や球や凸図形に対して個別に径を定義する代わりに、それらを特別の場合として含む任意の {{mvar|n}}-次元図形（凸または非凸、あるいは連続的または散在的な点集合）に対するより一般の径の定義を与えることができる。

; 定義: [[距離空間]]の'''空でない'''[[部分集合]]の径とは、その部分集合に属する点の任意の対の間の距離全体の成す集合の[[上限 (数学)|上限]]を言う。
: 式では、距離空間 {{math|(''X'', ''d'')}} の部分集合 {{math|''A'' &ne; &empty;}} に対し<math display="block">\operatorname{diam}(A) := \sup\{d(x,y)\mid x,y\in A\}</math>と書ける。
; 注意: 多くの文献では、部分集合 {{mvar|A}} が[[空集合]]である場合への言及を行わない<ref name=Bourbaki>{{citation|first=N. |last= Bourbaki |series= Éléments de mathématique |volume= III |title= Topologie générale}}</ref>{{rp|[{{google books|id=V9LEtm53D0QC&pg=SL267-PA14|plainurl=1}} {{p.|IX.14}}]}}。
: いくつかの文献では、上記の定義を空集合に対しても拡張して、{{math|1=diam(&empty;) = sup(&empty;) = &minus;&infin;}}（[[負の無限大]]）とする<ref>{{Ouvrage|lang=en|titre=Metric Spaces|auteur=Mícheál Ó Searcóid|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|year=2006|url={{google books|id=aP37I4QWFRcC|page=21|plainurl=1}}|page=21}}.</ref><ref>{{Ouvrage|lang=en|titre=Metric Space|auteur=S. C. Sharma|éditeur=Discovery Publishing House|year=2006|url={{google books|id=L_A3HbGYQ0cC|page=156|plainurl=1}}|page=156}}.</ref>。ここで {{math|sup(&empty;)}} の値は考えている全体集合によって変化する相対的なものであることに注意しなければならない。{{math|&minus;&infin;}} とするのは、いま {{mvar|d}} の終域を[[実数直線]] {{math|'''R'''}} と考えていることによる（上限は[[補完数直線]] {{math|'''R''' &cup; {{mset|&plusmn;&infin;}}}} に値をとることに注意）<ref>{{citation|url=http://www.math.titech.ac.jp/~kotaro/class/2011/set/20110614.pdf|format=PDF|title=集合と位相第一講義資料 11|page=4}}</ref>。
: あるいは別の規約として、{{math|1=diam(&empty;) = 0}} とするものもある<ref name=Ramis>{{Ouvrage|titre=Mathématiques. Tout-en-un pour la Licence|volume=2|prénom=Jean-Pierre|nom=Ramis|lien auteur1=Jean-Pierre Ramis|lien auteur2=André Warusfel|prénom2=André|nom2=Warusfel|lien auteur3=et al.|nom3=al.|année=2014|numéro d'édition=2|année première édition=2007|éditeur=[[Dunod]]|isbn=978-2-10-071392-9|url={{google books|id=FhnpAwAAQBAJ|page=400|plainurl=1}}|page=400}}.</ref>。これは {{mvar|d}} の終域を非負実数全体 {{math|[0, +&infin;)}} と見なすことに対応する<ref>[http://at.yorku.ca/cgi-bin/bbqa?forum=ask_a_topologist_2004;task=show_msg;msg=0860.0002 Re: diameter of an empty set]</ref>。

* 空でない部分集合 {{mvar|A}} の径が有限な正の実数となるのは {{mvar|A}} が[[有界集合|有界]]なるときであり、さもなくば {{math|1=diam(''A'') = +∞}} である。
* {{mvar|n}}-次元[[ユークリッド空間]]内の任意の（中身の詰まった）立体あるいは散在点集合の径は、その[[凸包]]の径に等しい。
* [[微分幾何学]]において、径は重要な大域[[リーマン幾何|リーマン]]不変量である。

== 例 ==
* ユークリッド平面において、[[長方形]]の径は[[対角線]]によって与えられる。
* [[一元集合|一点集合]]の径は {{math|0}} に等しい<ref name=Bourbaki/>.
<gallery>
Diameter_Sample01_Tomoyuki_Mogi.gif|円の直径の表れ方の例
</gallery>

=== 異なる定義 ===
上記の定義とは異なる用語法に従うものが存在することに注意が必要である。
* [[回転体]]の径とは、軸に垂直な弦のうち最長のもの、およびその長さを言うのが通例である。これはまた '''module'''<ref>{{CNRTL|module|A, 2, a}} (consulté le 21 mai 2016).</ref> (modulus) とも呼ぶ。
* [[平面幾何学]]における[[楕円]]に対する標準的な用語法では、楕円の中点を通る任意の弦を径と呼ぶ<ref>[http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/ConjugateDiameters.shtml Cut-the-Knot]</ref>。両端点における楕円の接線が互いに平行となるような径は{{仮リンク|共軛径|en|conjugate diameters}}と呼ばれる。また最長の径は{{仮リンク|長径|en|major axis|preserve=1}} (major axis) と言う。同様に、任意の[[円錐曲線]]の径は、典型的にはその中心を通る任意の弦として定義される。このような意味の径は（それが円 ([[離心率]] {{math|1=''e'' = 0}}) でない限り）必ずしも一定の長さを持たない。

== 直径記号 ==
{{特殊文字|対象=節}}
径を表す記号は「&#x2300;」であり、「直径記号（diameter sign）」と呼ぶ。
直径記号は、ゼロ0と区別をつけるために、丸印○に斜線を入れたものである。読みは元来は「まる」であるが、ギリシア文字[[Φ]]「ファイ」との字形の類似から「ファイ」と読まれることがある。

誤ってパイと読まれることがあるがファイの聞き間違いからきたと思われる<ref>Πやπが「パイ」である。</ref>。

直径記号 &#x2300; は、[[空集合]]の記号 [[∅]] やギリシャ文字大文字イタリックの ''[[Φ]]'' あるいは北欧系母音の [[Ø]] (スラッシュ付きオー)とは異なるものであり、混同すべきでない<ref>{{citation|title=Unicode Explained|first=Jukka K.|last=Korpela|publisher=O'Reilly Media, Inc.|year=2006|isbn=978-0-596-10121-3|pages=23–24|url={{google books|id=lxndiWaFMvMC|page=23|plainurl=1|text=diameter}}}}.</ref>。

[[画像:Technical_Drawing_Hole_01.svg|thumb|right|150px|製図における直径記号「まる」の使用例]]

=== 製図分野での規定 ===
{{see|製図}}
JIS Z8317-1:2008 『製図ー寸法及び公差の記入方法ー第1部：一般原則』の規定は、次の通りである<ref>JIS Z8317-1:2008 『製図ー寸法及び公差の記入方法ー 第1部：一般原則』§7.1「寸法補助記号」(p. 12)、§7.2「直径」(p. 13)。</ref>。

* [[寸法補助記号]]のひとつとして、直径を表す記号は、⌀（[[ラテン文字]]の[[Ø|&Oslash;]]でも[[画像:Boundy diameter.svg]]でもない）である。
* 呼び方は、「まる」または「ふぁい」である。
* '''寸法数値の前に'''寸法補助記号⌀を付けるが、弧を張る角度が180°を超える場合には、寸法補助記号⌀を省略する。

呼び方は、以前の[[日本産業規格|JIS]] Z 8317 では「'''まる'''」とされ、その後の改定で「'''ふぁい'''」という呼び方も追加された。直径記号は[[Unicode]]の<code>U+2300</code>として登録されている。

== 符号位置 ==
{| class="wikitable" style="text-align: center"
!記号!![[Unicode]]!![[JIS X 0213]]!![[文字参照]]!!名称
{{CharCode|8960|2300|-|DIAMETER SIGN|font=Unicode}}
|}

== 注 ==
<references />

== 関連項目 ==
{{div col|30em}}
* [[エラトステネス]]: [[地球]]の直径を計算した
* {{仮リンク|円の接線|en|Tangent lines to circles}}
* [[角直径]]
* {{仮リンク|カリパス|en|Calipers}}, [[ノギス]], [[マイクロメータ]]: 直径を計る道具
* {{仮リンク|共軛径|en|Conjugate diameters}}
* {{仮リンク|距離 (グラフ理論)|en|Distance (graph theory)}}
* {{仮リンク|群の直径|en|Diameter of a group}}: [[群 (数学)|群]]の[[ケイリーグラフ|グラフ]]の{{仮リンク|距離 (グラフ理論)|en|Distance (graph theory)|label=直径}}
* {{仮リンク|ザウター平均粒径|en|Sauter mean diameter}}
* [[水力直径]]
* {{仮リンク|内径|en|List of gear nomenclature#Inside diameter}}
* {{ill2|半径 (一般図形)|en|Semidiameter}}: 径の半分。円や球に対しては、この意味での半径 (semi-diameter) は通常の意味での半径 (radius) に一致する。楕円の場合は{{ill2|半長軸と半短軸|en|Semi-major and semi-minor axes}}も参照。
* {{仮リンク|ユングの定理|en|Jung's theorem}}: 外接半径と径を関連付ける不等式
* [[粒径]]
* {{仮リンク|Ø (曖昧さ回避)|en|Ø (disambiguation)}}
{{div col end}}

==外部リンク==
{{Wikidata property}}
*{{Kotobank|2=デジタル大辞泉}}
*[http://www.suriken.com/knowledge/glossary/diameter.html 直径] [[数理検定協会]] 数学情報館 算数用語集

{{sci-stub}}
{{tech-stub}}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:けい}}
[[Category:初等幾何学]]
[[Category:長さ]]
[[Category:数学に関する記事]]