後退微分法のソースを表示

'''後退微分法'''（こうたいびぶんほう、{{lang-en-short|backward differentiation formula; BDF}}）は[[常微分方程式]]の[[数値解析|数値解法]]の一つである。[[線型多段法]]の一種で、過去の複数の値を用いて現在値を計算する方法である。特に{{仮リンク|硬い微分方程式|en|Stiff equation}}の解を計算するときに使われている。

== 定義 ==
常微分方程式とその[[初期値問題]]を次のように定める。
: <math> y' = f(t,y), \quad y(t_0) = y_0. </math>
一般的に、BDFは次の形で表される<ref name="ascher1998">{{harvnb|Ascher|1998|loc=§5.1.2|p=129}}</ref>。
: <math> \sum_{k=0}^s a_k y_{n+k} = h \beta f(t_{n+s}, y_{n+s}).</math>
ここで、{{mvar|h}} は時間の刻み幅で、<math> t_n = t_0 + nh </math> は離散化した時間であり、係数 <math> a_k </math> と <math> \beta </math> は方法の次数を最大化するために選択される。''s''段法の場合、最大次数は ''s'' である。

BDF方法はすべて陰公式のため、一時刻ごとに（一般的な）[[線型方程式系|非線形方程式系]]を解く必要がある。陰公式を解くためには[[ニュートン法]]のような[[反復法 (数値計算)|反復法]]がよく用いられる。

== 公式 ==
''s''段BDF方法（''s'' < 7)は次通り<ref>{{harvnb|Iserles|1996|p=27}} (for ''s'' = 1, 2, 3); {{harvnb|Süli|Mayers|2003|p=349}} (for all ''s'')</ref>：
* BDF1: <math> y_{n+1} - y_n = h f(t_{n+1}, y_{n+1}) </math>; ([[オイラー法|後退オイラー法]])
* BDF2: <math> y_{n+2} - \tfrac43 y_{n+1} + \tfrac13 y_n = \tfrac23 h f(t_{n+2}, y_{n+2}); </math>
* BDF3: <math> y_{n+3} - \tfrac{18}{11} y_{n+2} + \tfrac9{11} y_{n+1} - \tfrac2{11} y_n = \tfrac6{11} h f(t_{n+3}, y_{n+3}) </math>
* BDF4: <math> y_{n+4} - \tfrac{48}{25} y_{n+3} + \tfrac{36}{25} y_{n+2} - \tfrac{16}{25} y_{n+1} + \tfrac{3}{25} y_n = \tfrac{12}{25} h f(t_{n+4}, y_{n+4}) </math>
* BDF5: <math> y_{n+5} - \tfrac{300}{137} y_{n+4} + \tfrac{300}{137} y_{n+3} - \tfrac{200}{137} y_{n+2} + \tfrac{75}{137} y_{n+1} - \tfrac{12}{137} y_n = \tfrac{60}{137} h f(t_{n+5}, y_{n+5}) </math>
* BDF6: <math> y_{n+6} - \tfrac{360}{147} y_{n+5} + \tfrac{450}{147} y_{n+4} - \tfrac{400}{147} y_{n+3} + \tfrac{225}{147} y_{n+2} - \tfrac{72}{147} y_{n+1} + \tfrac{10}{147} y_n = \tfrac{60}{147} h f(t_{n+6}, y_{n+6}). </math>
s>6の場合、BDF方法は{{仮リンク|零点安定性|en|Linear_multistep_method#Stability_and_convergence}}が失われるため使えなくなる<ref name="suli2003p349">{{harvnb|Süli|Mayers|2003|p=349}}</ref>。

== 安定性 ==
硬い微分方程式の解を計算する数値解法の安定性は、複素数平面に絶対安定性（absolute stability；または線型安定性、linear stability）の保証できるエリアとして示されている。BDF方法の絶対安定性領域 (region of absolute stability) は下記プロットのピンクエリアである。
安定性領域が左複素数平面を含む数値解法はA-安定(A-stable)と呼ばれる。数値解法がA-安定のほうが一番理想的だが、線型多段法に限って3段以上の方法はA-安定ではないと証明できる。プロットから見ると、3段以上のBDFの安定性領域はほとんどの左複素数平面とすべての負の実軸を含んでいる。そのような広い安定性領域を持つ線型多段法の中では、BDFが一番効率的だと考えられる<ref name="suli2003p3492">{{harvnb|Süli|Mayers|2003|p=349}}</ref>。{{Gallery|File:Stability region for BDF1.svg|BDF1
|File:Stability region for BDF2.svg|BDF2
|File:Stability region for BDF3.svg|BDF3
|File:Stability region for BDF4.svg|BDF4
|File:Stability region for BDF5.svg|BDF5
|File:Stability region for BDF6.svg|BDF6|title=ピンクの領域はBDF方法の安定性領域を示している|width=220|align=center}}

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Citation|title=Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations|year=1998|last1=Ascher|last2=Petzold|first1=U. M.|first2=L. R.|author2-link=Linda Petzold|publisher=SIAM, Philadelphia|isbn=0-89871-412-5}}.
* {{Citation|title=A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations|year=1996|last1=Iserles|first1=Arieh|publisher=[[Cambridge University Press]]|isbn=978-0-521-55655-2}}.
* {{Citation|title=An Introduction to Numerical Analysis|year=2003|last1=Süli|last2=Mayers|first1=Endre|first2=David|publisher=[[Cambridge University Press]]|isbn=0-521-00794-1}}.

== 外部リンク ==
* [http://sundials.wikidot.com/bdf-method BDF Methods] at the SUNDIALS wiki (SUNDIALS is a library implementing BDF methods and similar algorithms).

{{デフォルトソート:こうたいびぶんほう}}
[[Category:数値微分方程式]]
[[Category:数学に関する記事]]